2025年下学期初中数学竞赛综合素质试卷

2025年下学期初中数学竞赛综合素质试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1.已知集合(A={x|x^2-4x+3<0})，(B={x|2x-5>0})，则(A\capB=)（）A.((1,\frac{5}{2}))B.((\frac{5}{2},3))C.((1,3))D.((3,+\infty))2.若(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5})，且(0<\alpha<\pi)，则(\tan\alpha=)（）A.(-\frac{3}{4})B.(-\frac{4}{3})C.(\frac{3}{4})D.(\frac{4}{3})3.如图，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(BC=6)，点(E)为(BC)中点，点(F)在(CD)上，且(CF=1)。连接(AE)、(BF)交于点(G)，则(AG)的长度为（）A.(\frac{12\sqrt{5}}{5})B.(\frac{18\sqrt{5}}{5})C.(\frac{6\sqrt{5}}{5})D.(\frac{9\sqrt{5}}{5})4.已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像过点((1,2))、((2,1))、((3,6))，则当(x=-1)时，(y)的值为（）A.10B.14C.18D.225.从1到2025的所有正整数中，既不是2的倍数，也不是3的倍数的数共有（）A.675个B.1013个C.1350个D.1680个二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6.若(x+y=5)，(xy=3)，则(x^3+y^3=)________。7.如图，(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(O)为(\triangleABC)的外心，则(AO)的长度为________。8.已知关于(x)的方程(x^2-(k+2)x+2k=0)的两根为等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为11，则(k=)________。9.在平面直角坐标系中，点(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，动点(P)满足(PA^2+PC^2=PB^2+PD^2)，则点(P)的轨迹方程为________。10.现有5张卡片，分别写有数字1、2、3、4、5，从中随机抽取2张卡片，将卡片上的数字相乘，则乘积为偶数的概率为________。三、解答题（共4小题，第11-13题每题20分，第14题25分，满分85分）11.（本题满分20分）已知关于(x)的方程(x^2-2(m+1)x+m^2+5=0)有两个不相等的实数根。（1）求(m)的取值范围；（2）若该方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条直角边长，且该直角三角形的斜边长为(2\sqrt{5})，求(m)的值。12.（本题满分20分）如图，(\odotO)为(\triangleABC)的外接圆，(AD)为(\angleBAC)的平分线，交(\odotO)于点(D)，交(BC)于点(E)，过点(D)作(DF\parallelBC)交(AC)的延长线于点(F)。（1）求证：(DF=DC)；（2）若(AB=6)，(AC=4)，(BC=5)，求(CF)的长度。13.（本题满分20分）某商店销售一种成本为每件30元的商品，经市场调查发现，该商品的日销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足一次函数关系：(y=-2x+160)（(40\leqx\leq60)）。（1）求商店销售该商品的日利润(w)（元）与销售单价(x)（元）的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少？（3）若该商店每日的固定成本为200元，要使每日的净利润不低于800元，销售单价应控制在什么范围内？14.（本题满分25分）在平面直角坐标系中，点(A(0,3))，(B(4,0))，点(P)为线段(AB)上一动点（不与(A)、(B)重合），过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，(PE\perpy)轴于点(E)，连接(DE)。（1）设点(P)的横坐标为(t)，用含(t)的代数式表示(DE)的长度；（2）当(t)为何值时，(\trianglePDE)的面积最大？最大值为多少？（3）在点(P)运动过程中，是否存在点(P)，使得(\triangleADE)为等腰三角形？若存在，求出点(P)的坐标；若不存在，说明理由。四、综合探究题（共1小题，满分25分）15.定义：对于任意正整数(n)，若(n)能表示为两个连续正整数的平方差，则称(n)为“智慧数”。例如：(3=2^2-1^2)，(5=3^2-2^2)，所以3和5都是“智慧数”。（1）判断11和17是否为“智慧数”，并说明理由；（2）求出不大于100的所有“智慧数”之和；（3）对于任意正整数(k)，证明：(k(k+2))一定是“智慧数”。五、实践应用题（共1小题，满分25分）16.某学校计划在校园内修建一个矩形花园，花园的一边靠墙（墙长25米），另三边用总长为40米的栅栏围成。（1）设花园垂直于墙的一边长为(x)米，花园的面积为(S)平方米，求(S)与(x)的函数关系式，并写出自变量(x)的取值范围；（2）若在花园内开辟一个小矩形区域作为花圃，花圃四周与花园边界的距离均为1米（如图所示），求花圃面积