河南省开封市2026届高三下学期第二次质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市2026届高三下学期第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（）A.1 B. C. D.3【答案】C【解析】.2.已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知角终边过点,根据,其中,可得..3.某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则（）A.80 B.100 C.120 D.160【答案】B【解析】已知四类图片的数量之比为，则厨余垃圾图片占总图片数量的比例为，有害垃圾图片占总图片数量的比例为.因为采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，所以抽到的厨余垃圾图片数量为，抽到的有害垃圾图片数量为.由题意可得，解得.4.定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为集合，集合，集合，，所以，，，选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）；选项B：因为，所以一定成立；选项C：当时，集合，集合，，C错误；选项D：当，时，集合，集合，，D错误.5.设向量，，则（）A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的充分条件C.“”是“”的必要条件 D.“”是“”的充分条件【答案】A【解析】已知两个向量，，若，则，即，解得或.已知两个向量，，若，则，即，解得.对于A选项，由“”，可以推出“”，所以“”是“”的充分条件，A选项正确；对于B选项，由“”，不能推出“”，所以“”不是“”的充分条件，B选项错误；对于C选项，由，解得或，不能推出，所以“”不是“”的必要条件，C选项错误；对于D选项，由，解得，所以“”不是“”的充分条件，D选项错误.6.某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知：一周训练量达标即为游趟或趟，设第一次游趟为事件，第一次游趟为事件，第二次游趟为事件，第二次游趟为事件，可分为以下三种情况：情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标.则由条件概率可得；情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标.则由条件概率可得；情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标.则由条件概率可得，由三种情况为互斥事件，因此，该同学一周训练量达标的概率.7.已知有个和个，共个数，排成一个数列，若对任意，前项和都满足，则满足上述条件的数列的个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若首项为，则，不符合要求，因此首项必须为，剩余个和个排列在后个位置.首项为后，第二位为：剩余个、个进行排列，需满足对任意，前项累加和不小于，即个不能排在前面，此时共种符合条件；首项为后，第二位为：第三位必须为（否则前项和为），剩余个、个且个不能排在前面，此时共种符合条件；所以，总个数为.8.设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（）A.8 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】，周期为，，则是周期，，即是正偶数，当时，，已知最大值与最小值的和为0，最大值与最小值互为相反数，若，区间，最大值为，最小值为1，和不为0；若，区间，最大值为，最小值为，和不为0；若，区间，最大值为，最小值为，和为0；的最小值为6．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，函数的定义域为且，所以函数是偶函数，故A符合题意；对于B，函数的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故B不符合题意；对于C，函数的定义域为且，所以函数是奇函数，故C不符合题意；对于D，函数的定义域为且，所以函数是偶函数，故D符合题意.10.已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（）A.的离心率为2 B.的渐近线方程为C. D.若，则【答案】ABD【解析】双曲线：的渐近线方程为，即.圆：的圆心为，半径为.由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以.对于A：，故A正确.对于B：，所以渐近线方程为，故B正确.对于C：，，因为，所以点的横坐标为，代入双曲线方程，解得.取，则，，所以，故C错误.对于D：若，则，，，，.直线方程为，即.圆心到直线的距离，由垂径定理可得，，故D正确.11.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】设公共值，先确定定义域：，构造函数，求导得，因此在上单调递增，，，，由单调性可得：.选项A：令，则，进而，此时，因此A错误；选项B：单调性可知，移项得，因此B正确；选项C：，整理原式得：，假设，则左边，得，与假设矛盾，因此必有，C正确；选项D：要证，即证，令，已知且，要证，即证，构造函数，求导得：，因为，所以，分母，因此，即在上单调递增，得：，消去得，由单调性得，即，即，因此D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面和直线m，n，给出下列三个论断：①②③以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：如果______，______，则______．（只填写序号）【答案】②，③，①【解析】若以①②为条件,③为结论,即已知,,则直线可能在平面内，也可能与平面平行，所以不能得出，该情况不成立.若以①③为条件,②为结论,即已知,则直线与平面可能相交，平行或者直线在平面内，所以不能得出，该情况不成立.若以②③为条件,①为结论,即已知,因为，所以平面内一定存在一条直线，使得，又，依据直线与平面垂直的性质可知,如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线与平面内任意一条直线垂直,所以，又因此,该情况成立.13.抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，为上一点，若，则__________．【答案】【解析】抛物线的焦点，准线方程为，因此准线与轴交点，可得，由题意.设，在抛物线上满足，又，因此代入整理得，解得正根（抛物线横坐标非负）.在中，由抛物线焦半径性质得，代入得，根据余弦定理代入得.14.已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________．【答案】1150【解析】依题意，，由，令，显然集合中小于的元素有个，集合中不大于的元素有个，因此，由，令，同理，于是，，令，则，由，得，则，又数列单调递增，而，因此，当时，，解得；当时，，无整数解；当时，，无整数解；当时，，无整数解，则，，集合中小于的元素有32个，它们的和为，集合中不大于的元素有6个，它们的和为，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求c的值；（2）若的面积为，D为BC的中点，求AD的长．解：（1）已知，故，根据正弦定理可得.又，故，解得.（2）已知面积，由面积公式，代入，解得，根据余弦定理得，解得，因为为的中点，在中，在中，故，即，将代入上式，化简得，故.16.某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元．（1）若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）；（2）从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率．附：若随机变量，则，，．解：（1）依题意，，则，，所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，.（2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得，单株利润为，由单株利润为正，得，解得，依题意，，则，所以单株利润为正的概率约为.17.如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面．（1）证明：；（2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值；（3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值．（1）证明：平面，则，，平面，则，，，且是平面的法线，平面，又平面，平面平面，，，．（2）证明：平面，且平面，平面平面，交线为，在平面内的投影在上，故直线与平面所成角为的余角，即，设平面与平面的交线为，则，且平面，平面，平面，，又，，二面角的平面角，，，则，，为定值．（3）解：已知平面，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，已知，E为线段的中点，则，设点，，设平面的法向量为，则，令，则，点到平面的距离，当时，分母最小，最大，．18.已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直．（1）求C的标准方程；（2）设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切?若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．解：（1）因为与轴垂直，所以，，又点在椭圆上，，得.所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，.联立得，整理得.，即.，，，即，整理得.原点到直线的距离，将代入得故距离为定值，所以存在定圆与直线相切.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，.联立，，则，.，得，即直线的方程为，此时直线与圆相切，符合题意.综上，存在定圆与直线相切，定圆的方程为.（3）由三角形面积公式得，其中为定值.当直线的斜率存在时，，将代入整理得.令，则.当时，即（此时）时，有最大值.此时三角形面积有最大值，最大值为.此时，代入，得，.直线的方程为或.当直线的斜率不存在时，由（2）可得或.此时，.综上，面积的最大值为，此时直线的方程为或.19.已知函数fx=exax（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列；（3）在（1）（2）的基础上，某学习小组通过指数与对数之间的关系，探究得出：存在直线，其与两条曲线px=ex-ax和qx=ax-（1）解：由，得，易知，若存在极小值，，10由且，得，0所以，又，所以．（2）证明：由（1）知，且它们的极小值为，由（1）可知，当时，且单调递减，当时，且单调递减，此时直线与两条曲线和不可能有三个不同的交点，所