2025年下学期高中数列的概念与表示试卷

2025年下学期高中数列的概念与表示试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）下列说法正确的是（）A.数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列B.数列中的项可以重复出现C.数列的通项公式是唯一的D.数列一定是无穷数列已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ=(-1)ⁿ·n，则a₅的值为（）A.-5B.5C.-10D.10下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A.1，-1，1，-1，…B.2，4，6，8，…，2025C.1，2，3，4，…D.1，1/2，1/3，1/4，…数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+2（n∈N*），则a₄=（）A.5B.7C.9D.11已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ=n²+2n，则a₃=（）A.5B.7C.9D.11下列数列中，是等差数列的是（）A.1，3，6，10，…B.2，4，8，16，…C.1，-1，1，-1，…D.3，5，7，9，…数列{aₙ}的通项公式为aₙ=2n-5，则该数列的第5项到第10项的和为（）A.80B.90C.100D.110已知等比数列{aₙ}中，a₁=2，公比q=3，则a₄=（）A.18B.27C.54D.81数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=3aₙ，则数列的前4项和为（）A.20B.40C.60D.80某工厂2025年1月的产值为100万元，以后每月的产值比上月增长5%，则该工厂2025年第一季度的总产值为（）A.315.25万元B.315.75万元C.320.25万元D.320.75万元二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）数列2，4，6，8，…的通项公式aₙ=________。已知数列{aₙ}的首项a₁=3，且aₙ=aₙ₋₁+2（n≥2），则a₅=________。数列{aₙ}的前n项和Sₙ=2n²-3n，则a₁=，a₂=。等比数列{aₙ}中，a₂=4，a₅=32，则公比q=________。若数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+n，则a₃=________。三、解答题（本大题共5小题，共75分）（12分）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）1，1/2，1/3，1/4；（3）2，-4，8，-16。（15分）已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ=2n-1。（1）判断该数列是否为等差数列，并说明理由；（2）求该数列的前10项和S₁₀；（3）若bₙ=aₙ+2ⁿ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。（15分）已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，a₃=4。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）若数列{bₙ}满足bₙ=aₙ+2n，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ。（18分）某公司计划投资一个项目，第一年年初投入资金100万元，以后每年年初比上一年多投入20万元，共投资5年。（1）求第5年年初的投资额；（2）求这5年的总投资额；（3）若该项目的年收益率为10%，按复利计算（即每年的收益计入下一年的本金），求5年后的本息和（精确到0.1万元）。（15分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1（n∈N*）。（1）写出数列的前4项；（2）猜想数列{aₙ}的通项公式，并证明你的猜想；（3）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ。参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）B2.A3.C4.B5.C6.D7.B8.C9.B10.A二、填空题（每小题5分，共25分）2n12.1113.-1，314.215.4三、解答题（共75分）（12分）（1）aₙ=2n-1（4分）（2）aₙ=1/n（4分）（3）aₙ=(-1)ⁿ⁺¹·2ⁿ（4分）（15分）（1）是等差数列。理由：aₙ₊₁-aₙ=2(n+1)-1-(2n-1)=2，为常数，故公差d=2（5分）（2）S₁₀=10×1+10×9/2×2=100（5分）（3）Tₙ=Sₙ+(2+2²+…+2ⁿ)=n²+2ⁿ⁺¹-2（5分）（15分）（1）设公比为q，由a₃=a₁q²=q²=4，得q=±2。当q=2时，aₙ=2ⁿ⁻¹；当q=-2时，aₙ=(-2)ⁿ⁻¹（7分）（2）当q=2时，Sₙ=(1-2ⁿ)/(1-2)+n(n+1)=2ⁿ+n²+n-1；当q=-2时，Sₙ=[1-(-2)ⁿ]/[1-(-2)]+n(n+1)=[1-(-2)ⁿ]/3+n²+n（8分）（18分）（1）第5年年初的投资额为a₅=100+(5-1)×20=180（万元）（6分）（2）总投资额S₅=5×100+5×4/2×20=700（万元）（6分）（3）本息和=100×1.1⁵+120×1.1⁴+140×1.1³+160×1.1²+180×1.1≈926.2（万元）（6分）（15分）（1）a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₄=15（4分）（2）猜想aₙ=2ⁿ-1。证明：①当n=1时，a₁=2¹-1=1，成立；②假设n=k时成立，即aₖ=2ᵏ-1，