2025年下学期高中数学竞赛创新潜质试卷

2025年下学期高中数学竞赛创新潜质试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）周期函数与复合函数零点问题已知函数$f(x)=\sin(\pix)+\cos(\pix)$，$g(x)=f(x+\theta)+f(x-\theta)$，其中$\theta\in(0,\frac{1}{2})$。若函数$y=g(x)-1$在区间$[0,2025]$内有且仅有2025个零点，则$\theta$的值为（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{2}$组合计数与数字谜题“幸运数组”是指由3个正整数$a,b,c$组成的数组，满足$a+b+c=2025$且$a,b,c$的各位数字之和均为9。则“幸运数组”的个数为（）A.12B.18C.24D.36复数与几何变换在复平面内，点$A,B,C$对应的复数分别为$z_1=1+i$，$z_2=2-i$，$z_3=3+2i$。将$\triangleABC$绕原点顺时针旋转$\frac{\pi}{4}$后得到$\triangleA'B'C'$，则点$A'$对应的复数为（）A.$\sqrt{2}(1-2i)$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}(1-2i)$C.$\sqrt{2}(2-i)$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}(2-i)$立体几何与动态体积在棱长为4的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$在棱$AA_1$上运动（不含端点），过$P,B,D$三点的平面截正方体所得截面为多边形，则该截面面积的取值范围是（）A.$[4\sqrt{6},8\sqrt{3}]$B.$[4\sqrt{6},12]$C.$[8\sqrt{2},8\sqrt{3}]$D.$[8\sqrt{2},12]$数论与同余方程满足$2^n\equivn^2\pmod{5}$的正整数$n$的个数为（）A.无穷多个B.3C.2D.1概率与统计模型某实验室进行病毒检测，已知检测结果呈阳性的概率为0.1%，且真阳性率为99%（患病者检测呈阳性的概率），假阳性率为1%（未患病者检测呈阳性的概率）。若某人检测结果为阳性，则其实际患病的概率为（）A.9%B.9.9%C.90%D.99%解析几何与新定义定义“好圆”：若圆$C$与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的两条渐近线均相切，且圆心在双曲线的右支上，则“好圆”的半径$r$的取值范围是（）A.$(0,\frac{\sqrt{5}}{3}]$B.$(0,\frac{2\sqrt{5}}{3}]$C.$[\frac{\sqrt{5}}{3},+\infty)$D.$[\frac{2\sqrt{5}}{3},+\infty)$组合几何与极端原理平面上有2025个点，任意三点不共线，将其中$k$个点染为红色，其余点染为蓝色。若任意两个红点之间的距离都大于$\sqrt{2}$，则$k$的最大值为（）A.45B.506C.1012D.2025二、填空题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）数列与递归关系已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n}$，则$\sum_{k=1}^{2025}\frac{1}{a_k^2-2}=$________。平面几何与塞瓦定理在$\triangleABC$中，$AB=5$，$BC=7$，$CA=6$，点$D,E,F$分别在边$BC,CA,AB$上，且$\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=t$。若$AD,BE,CF$三线共点，则$t=$________。不等式与柯西放缩设正实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$，则$\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{c^2}{1+c}$的最小值为________。数论与高斯函数方程$[x]+[2x]+[3x]=2025$的正整数解的个数为________（其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数）。三、解答题（本大题共3小题，共54分）代数综合题（16分）已知函数$f(x)=\frac{e^x}{x}-a\lnx$（$a\in\mathbb{R}$），其定义域为$(0,+\infty)$。（1）若$a=e$，求$f(x)$的单调区间；（2）若对任意$x\in(1,+\infty)$，都有$f(x)>\frac{e^x}{x^2}$，求$a$的取值范围。几何综合题（20分）如图，在$\triangleABC$中，$O$为外心，$H$为垂心，$AD\perpBC$于点$D$，$E$为$AD$的中点。延长$OE$至点$F$，使得$OE=EF$。证明：（1）$FH\parallelBC$；（2）$BF\perpCF$。组合与数论综合题（20分）（1）证明：存在无穷多个正整数$n$，使得$n^2+1$能被$n+2025$整除；（2）设$S$是由前2025个正整数组成的集合，将$S$划分为两个非空子集$A$和$B$。证明：$A$或$B$中存在三个数$a,b,c$（可以相同），满足$a+b=c$。四、创新拓展题（本大题共2小题，共40分）数学文化与动态规划（20分）《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升。（1）求此等差数列的公差；（2）若将此竹子均分为$n$段（$n\geq2$），每段由连续的若干节组成，且每段容积之和均为整数升，求$n$的所有可能值。开放探究题（20分）定义“$k$-完全数”：对于正整数$n$，若其所有正因数（含1和$n$）之和为$kn$，则称$n$为“$k$-完全数”。例如，6是“2-完全数”（$1+2+3+6=12=2\times6$）。（1）证明：28是“2-完全数”；（2）是否存在“3-完全数”？若存在，举出一例；若不存在，说明理由；（3）若$n$是“$k$-完全数”且$n$