第6章《反比例函数》单元练习2025~2026学年北师大版九年级数学上学期

/《反比例函数》单元练习一．选择题1．已知反比例函数y=A．（﹣4，﹣2） B．（2，﹣4） C．(1，182．已知反比例函数y=A．图象必经过点（﹣1，2） B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．若x＜0，则y＞03．反比例函数y=kxA．16 B．11 C．8 D．64．充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强p（kPa）与气体体积V（m3）是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（）A．这个反比例函数解析式为p=B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由100kPa减压到80kPa，则气体体积增加了0.24m3 D．若气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于0.64m35．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y=A．B． C． D．6．如图，矩形ABCD对角线的交点M在x轴上，边AB平行于x轴，OE：OF＝1：3，S△BMF＝1，反比例函数y=kx经过点B、DA．2 B．3 C．4 D．57．如图，点A在双曲线y=−4x上，过点A作AB∥x轴交双曲线y=−6x于点B，点C、D都在x轴上，连接AD、BC，若四边形A．1 B．2 C．3 D．48．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，已知点A的横坐标是1．将直线y＝2x向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点D，E，若CDA．5 B．253 C．429．如图，已知正比例函数y=32x与反比例函数y=6x交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段BC交yA．(−8，−34) B．（﹣3，﹣2） C．10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数y=kx(k＞0)的图象经过正方形ABCD的对角线的交点E．若△A．2 B．52 C．3 D．二．填空题11．如下表，如果x和y成正比例，空格里的数是，如果x和y成反比例，空格里的数是．x6030y2012．已知点（﹣2，m+n），（3，n）在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，且m＞2，则13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数y=kx(k≠0)交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△14．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx(m为常数且m≠0）图象的都经过A（﹣1，2），15．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y=kx(k＞0)与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若△ODE的面积为52三．解答题16．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O与原点重合，A（﹣2，m），C（6，2）均在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点B在第四象限，（1）求证：四边形OABC是菱形；（2）求点D的坐标．17．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为12欧姆时，电流I为12安培．（1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数表达式；（2）若4≤R≤16，求电流I的变化范围．18．已知：一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx(k＞0，x（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝mx+n的图象与x轴、y轴的交点分别为C、D，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象关于直线CD的对称的图形，记为图形G，图形G与x轴、（3）点P是反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)图象上A、B间的一个动点（不与A，B重合），过P作PQ∥19．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝3，BC＝5，CD＝6，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C方向运动到C点停止，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以12个单位长度每秒的速度从点A出发，沿着A→D方向运动到D点停止，过点Q作QM⊥AD交AC于点M，设点P运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ACP的面积为y1，△ADC的周长与△AQM的周长之比为y2（1）请直接写出y1与y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1和y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合图象，请直接写出当y1≤y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差范围不超过0.2）20．【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y=kx【构建联系】（1）求证：函数y=kx（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为E．当点E落在x轴上，且点B的坐标为（2，1）时，求k的值．（3）【深入探究】如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=32，当⊙O与△ABC的边有交点时，求

参考答案一．选择题题号12345678910答案ACBDDBBDDD二．填空题11．10，40．12．﹣3（答案不唯一）．13．﹣6．14．x＜﹣1或0＜x＜2．15．26．三．解答题16．（1）证明：∵A（﹣2，m），C（6，2）均在反比例函数y=kx2=k解得：k＝12，∴反比例函数解析式为y=把点A的坐标代入y=m=∴A（﹣2，﹣6）．∴AO=∴AO＝OC，∵四边形OABC是平行四边形，且AO＝OC，∴四边形OABC是菱形；（2）解：设OC的解析式为y＝k1x（k≠0），将点C的坐标代入得：2＝6k1，解得：k1∴OC的解析式为y=由（1）得四边形OABC是菱形，A（﹣2，﹣6），∴CO∥AB，则设AB的解析式为y=13−6=1解得：q=−∴y=当x＝0时，得：y=∴D(0，−17．解：（1）∵当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，∴设I=∵当R＝12时，I＝12，∴12=k∴k＝144，∴I=（2）∵I=∴在R＞0时，I随R的增大而减小，∵4≤R≤16，∴14416即9≤I≤36．18．解：（1）一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象交于1=k解得：k＝3，∴反比例函数表达式为y=将点B的坐标代入y=∴t=∴B（1，3）．将点A，点B的坐标分别代入一次函数解析式y＝mx+n得：3m解得：m=−1∴一次函数表达式为y＝﹣x+4；（2）一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴、y轴的交点分别为C、D，当y＝0时，得：﹣x+4＝0，解得：x＝4；当x＝0时，得：y＝4，∴C（4，0），D（0，4），∴OC＝OD＝4，如图1，过点D作DM⊥OD交y=3x于点I，过点C作CM⊥OC交y=3x于点H，DM交∵OD＝OC＝4，∴四边形OCMD是正方形，∴DM与OD关于直线CD对称，OC与CM关于直线CD对称，∵反比例函数y=3x的图象关于直线CD∴E与I关于直线CD对称，F与H关于直线CD对称，∴OE＝IM，MH＝OF，对于y=当y＝4时，得：4=3x，解得当x＝4时，得：y=∴OE＝IM＝4−34=134，MHEF=（3）如图2，设P(x，3x)（1＜x＜3），令PQ交直线CD于点S，过S作RS∥∵OD＝OC＝4，∠COD＝90°，RS∥x轴，∴∠RSD＝∠OCD＝45°，∵PQ∥y轴，RS∥x轴，∴RS⊥PQ，∴∠RSQ＝90°，∴∠QSD＝90°﹣45°＝45°＝∠RSD，∴RS和QS关于CD对称，∵反比例函数y=3x的图象关于直线CD∴点R和点Q关于直线CD对称，即RS＝QS，∵设P(x，∴S（x，﹣x+4），R(∴PQ＝PS+QS＝RS+PS，∴PS=−x+4−∴PQ＝PS+QS＝RS+PS=x=4−3=4+12=4+12当x＝2时（x﹣2）2﹣4有最小值，即PQ取最大值，此时最大PQ19．解：（1）y1=2如图1.1，AB∥CD，AB⊥AD，过点B作BH⊥CD于H，则∠BHD＝∠BHC＝90°，∴∠BAD＝∠D＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝3，AD＝BH，∴CH＝CD﹣DH＝6﹣3＝3，在直角三角形BCH中，BC＝5，由勾股定理得：BH=∴AD＝BH＝4，当0＜x≤3时，y1当3＜x＜8时，如图1.2，过点P作PG⊥AB的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠PBG＝∠BCH，又∵∠G＝∠BHC＝90°，∴△PBG∽△BCH，∴PBBC∵PB＝x﹣3，∴x−3∴PG=∵S△ACP＝S△ABC﹣S△ABP，∴y1综上所述，y1∵QM⊥AD，∴∠AQM＝∠D＝90°，∴QM∥CD，∴△AQM∽△ADC，∴AQAD∵AQ=在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC=∴12∴QM=34∴y2即y2（2）函数y1和y2的图象，如图2即为所求；由图象可知，当0＜x≤3时，y1随着x的增大而增大；当3＜x＜8时，y1随着x的增大而减小；（3）当0＜x≤2.0或7.1≤x＜8.0时，y1≤y2．由函数图象可知，当0＜x≤2.0或7.1≤x＜8.0时，y1≤y2．20．（1）证明：∵点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），反比例函数y=kx∴设B（m，ma），则A(∵AD∥x轴，∴D点的纵坐标为km∴将y=km代入y＝ax解得：x=∴D(∵以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴，∴C(将x=kma代入y=k∴函数y=kx（2）解：∵点B（2，1）在直线y＝ax上，∴a=∴y=∴A点的横坐标为2，C点的纵坐标为1，∵函数y=kx的图象经过点A∴C（k，1），A(2，∴D(∴AB=DC=k2−1，∵把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为E，∴BE=AB=k2∴DCBC如图2，过点D作DH⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，∵AB∥CD，∴H，F，E三点共线，∴∠HED+∠BEF＝90°，∠EBF+∠BEF＝90°，∴∠HED＝∠EBF，∵∠EHD＝∠EFB＝90°，∴△DHE∽△EFB，∴DHEF∵BF＝1，DH=∴HE＝2，EF=∴HF=2+由图知，HF＝AD，∴2+k解得：k=（3）解：∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD为正方形，∴∠ABP＝∠DBC＝45°，∴AB=BC=CD=DA=∵BC∥x轴，∴直线y＝ax为一，三象限的夹角平分线，∴y＝x，当⊙O过点B时，如图3，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线，∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，OP=3∴OP=∴AP=∴AB=AD=2AP∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB，∴HOAB∴HO2∴HO＝HD＝4，∴HA＝HD﹣DA＝4﹣2＝2，∴A（2，4），∴k＝2×4＝8，当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称可知，⊙O必过点C，如