2025年下学期高中数学入学摸底试卷

2025年下学期高中数学入学摸底试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，(B={x|x^2-4x-5\leq0})，则(A\capB=)（）A.((1,5])B.([1,5])C.((1,4))D.([1,4))函数(f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)})的定义域是（）A.((-1,2])B.((-1,0)\cup(0,2])C.([-2,0)\cup(0,2])D.((-1,2))已知(\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3})，且(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right))，则(\cos\alpha=)（）A.(\frac{2\sqrt{6}-1}{6})B.(\frac{2\sqrt{6}+1}{6})C.(\frac{\sqrt{6}-1}{3})D.(\frac{\sqrt{6}+1}{3})已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_2=2)，(S_3=7)，则公比(q=)（）A.2B.(\frac{1}{2})C.2或(\frac{1}{2})D.-2或(-\frac{1}{2})某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.(12\pi,\text{cm}^3)B.(18\pi,\text{cm}^3)C.(24\pi,\text{cm}^3)D.(36\pi,\text{cm}^3)（注：此处假设三视图为“一个底面半径为2cm、高为3cm的圆柱，顶部挖去一个半径为1cm的半球”）已知直线(l:ax+by-1=0)与圆(C:x^2+y^2-2x-4y+1=0)相切，且(a,b>0)，则(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})的最小值为（）A.(4+2\sqrt{2})B.(8+4\sqrt{2})C.(8)D.(12)已知函数(f(x)=x^3-3x^2+mx+n)，若曲线(y=f(x))在点((1,f(1)))处的切线方程为(y=2x+1)，则(m+n=)（）A.3B.4C.5D.6在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，则(\triangleABC)的面积为（）A.(2\sqrt{2})B.(3\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(6\sqrt{2})已知向量(\overrightarrow{a}=(2,1))，(\overrightarrow{b}=(1,k))，若((\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\perp(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}))，则(k=)（）A.-2B.2C.-3D.3已知函数(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分图像如图所示，则(\omega+\varphi=)（）A.(\frac{\pi}{3})B.(\frac{\pi}{6})C.(\frac{2\pi}{3})D.(\frac{5\pi}{6})（注：此处假设图像显示周期为(\pi)，且过点(\left(\frac{\pi}{6},2\right))）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左、右焦点分别为(F_1,F_2)，离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，过(F_1)的直线交椭圆于(A,B)两点，若(\triangleABF_2)的周长为8，则椭圆(C)的方程为（）A.(\frac{x^2}{4}+y^2=1)B.(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)C.(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1)D.(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1)已知函数(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若关于(x)的方程(f(x)=kx+1)有三个不同的实根，则实数(k)的取值范围是（）A.((-1,0))B.((-1,0])C.((-2,-1))D.((-2,0))二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，则数列({a_n})的通项公式为(a_n=)________。某三棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为________(\text{cm}^2)。（注：此处假设三视图对应三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为1cm、2cm、2cm）已知函数(f(x)=x^3-3x+m)，若(f(x))在区间([-2,2])上的最大值为2，则其最小值为________。已知随机变量(X)服从正态分布(N(2,\sigma^2))，若(P(X<4)=0.8)，则(P(0\leqX<2)=)________。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分12分）已知函数(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx-\frac{1}{2})。（1）求(f(x))的最小正周期；（2）求(f(x))在区间(\left[0,\frac{\pi}{2}\right])上的最大值和最小值。（本小题满分14分）已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(S_n=2a_n-n)（(n\in\mathbf{N}^*)）。（1）证明：数列({a_n+1})是等比数列；（2）设(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分14分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)是(BC)的中点，(E)是(A_1B)上一点，且(A_1E=2EB)。（1）证明：(DE\parallel)平面(ACC_1A_1)；（2）求三棱锥(E-B_1DC_1)的体积。（本小题满分15分）已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线(l)与抛物线交于(A,B)两点（点(A)在第一象限）。（1）若(|AF|=3|BF|)，求直线(l)的方程；（2）设点(M)在抛物线(C)的准线上，且(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0)，证明：直线(AB)过定点。（本小题满分16分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbf{R})）。（1）当(