八年级数学平行四边形重点习题

八年级数学平行四边形重点习题同学们在学习平面几何的过程中，平行四边形无疑是一个核心的枢纽，它承接了三角形的相关知识，又为后续学习特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）奠定了坚实基础。掌握平行四边形的性质与判定，不仅需要深刻理解定义，更要通过适量的习题练习来融会贯通，提升解题技巧。本文将围绕平行四边形的重点习题展开，剖析常见题型，点拨解题思路，希望能对同学们的学习有所助益。一、核心知识点回顾与梳理在深入习题之前，我们先简要回顾一下平行四边形的核心知识，这是解决一切相关问题的前提。1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这个定义既是平行四边形的判定方法，也是它最基本的性质。2.平行四边形的性质：*对边平行且相等；*对角相等，邻角互补；*对角线互相平分；*是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。3.平行四边形的判定方法：*定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；*两组对边分别相等的四边形是平行四边形；*一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；*两组对角分别相等的四边形是平行四边形；*对角线互相平分的四边形是平行四边形。这些知识点是我们解决平行四边形问题的“利器”，必须熟练掌握，灵活运用。二、重点题型与解题策略（一）直接运用性质或判定的基础题这类题目主要考查对平行四边形基本性质和判定方法的记忆与直接应用，是夯实基础的关键。例题1：已知四边形ABCD是平行四边形，∠A=50°，AB=8，BC=10。求∠C的度数，CD和AD的长度。解析：同学们，看到平行四边形，我们首先要想到它的性质。因为四边形ABCD是平行四边形，根据“平行四边形对角相等”的性质，∠A与∠C是对角，所以∠C=∠A=50°。再根据“平行四边形对边相等”的性质，AB的对边是CD，BC的对边是AD。因此，CD=AB=8，AD=BC=10。这道题就是直接考查对平行四边形性质的记忆，难度不大，但要求我们准确无误。例题2：在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形。（至少写出两种不同的添加方法）解析：要使一个四边形成为平行四边形，我们有多种判定方法。题目已经给出AB∥CD，这是一组对边平行。那么，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，我们可以添加条件：AB=CD。或者，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，我们可以添加另一组对边平行，即AD∥BC。此外，我们还可以从角的角度考虑，比如添加∠A=∠C（可通过AB∥CD推出∠A+∠D=180°，若∠A=∠C，则∠C+∠D=180°，从而AD∥BC）。所以答案不唯一，关键是掌握判定定理的灵活运用。（二）与对角线相关的计算与证明平行四边形的对角线互相平分这一性质，在解决与线段长度、三角形周长相关的计算以及证明线段相等、三角形全等时经常用到。例题3：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知AO=3，BO=4，AB=5。求AC和BD的长度，并判断△AOB的形状。解析：首先，根据平行四边形对角线互相平分的性质，我们知道对角线AC被点O平分，所以AC=2AO=2×3=6；同理，BD=2BO=2×4=8。接下来判断△AOB的形状。在△AOB中，我们已知AO=3，BO=4，AB=5。观察这三个数据，3²+4²=9+16=25=5²，即AO²+BO²=AB²。根据勾股定理的逆定理，可以判断△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°。这道题不仅考查了对角线的性质，还结合了勾股定理的逆定理，体现了知识的综合性。例题4：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，且AE=CF。求证：BE=DF。解析：要证明BE=DF，我们可以考虑证明它们所在的三角形全等。观察图形，BE在△ABE或△CBE中，DF在△ADF或△CDF中。结合平行四边形的性质，OA=OC，OB=OD。已知AE=CF，而OA=OC，所以OA-AE=OC-CF，即OE=OF。在△BOE和△DOF中：OB=OD（平行四边形对角线互相平分），∠BOE=∠DOF（对顶角相等），OE=OF（已证）。所以△BOE≌△DOF（SAS），因此BE=DF（全等三角形对应边相等）。这里，通过对角线互相平分的性质得到OE=OF是证明三角形全等的关键一步。（三）平行四边形中的“中点”问题涉及中点时，常考虑构造中位线（尽管中位线是三角形的知识点，但常与平行四边形结合）或利用中心对称性质。例题5：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF是平行四边形。解析：要证四边形AECF是平行四边形，我们可以从边的关系入手。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD且AB=CD。由于E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=1/2AB，CF=1/2CD，因此AE=CF。又因为AB∥CD，所以AE∥CF（平行线段的一部分也平行）。根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形AECF是平行四边形。当然，也可以通过证明AF∥EC且AF=EC，或者两组对边分别相等来证明，同学们可以尝试一下不同的思路。（四）平行四边形的性质与全等三角形的综合应用平行四边形的性质为全等三角形的证明提供了边和角的等量关系，反之，全等三角形也能为平行四边形的判定提供条件。例题6：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且DE=BF。求证：∠BAE=∠DCF。解析：要证∠BAE=∠DCF，我们可以尝试证明△ABE≌△CDF。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD。已知DE=BF，而AD=BC，所以AD-DE=BC-BF，即AE=CF。在△ABE和△CDF中：AB=CD（平行四边形对边相等），AE=CF（已证），AD=BC（平行四边形对边相等），但这里我们需要的是∠B和∠D。哦，对了，∠B=∠D。所以△ABE≌△CDF（SAS）？等等，是AB=CD，∠A=∠C？不，我们要证的是∠BAE和∠DCF，这两个角是∠BAD和∠BCD的一部分。或者，因为△ABE≌△CDF（SAS，AB=CD，∠D=∠B，DE=BF，AD=BC，所以AE=CF），所以∠BAE=∠DCF（全等三角形对应角相等）。是的，这样就对了。这道题需要我们灵活选取已知条件，准确应用全等三角形的判定定理。（五）动态几何与存在性问题这类问题能很好地考查学生的探究能力和空间想象能力。例题7：已知在平面直角坐标系中，点A(0,0)，B(4,0)，C(5,3)。是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。解析：这是一个平行四边形存在性问题，需要分类讨论。以A、B、C、D为顶点的平行四边形，这四个点的顺序不固定，所以AB、AC、BC都有可能作为平行四边形的一条边或对角线。我们可以利用平行四边形对边平行且相等的性质，或者对角线互相平分的性质来求解。这里介绍利用对角线中点坐标公式的方法：平行四边形对角线的中点重合，即两条对角线中点的横纵坐标分别相等。设点D的坐标为(x,y)。情况一：以AB为对角线，AC和BC为邻边。则AB中点坐标为((0+4)/2,(0+0)/2)=(2,0)，CD中点也应为(2,0)。C点坐标为(5,3)，则有(5+x)/2=2，(3+y)/2=0，解得x=-1，y=-3。所以D(-1,-3)。情况二：以AC为对角线，AB和BC为邻边。AC中点坐标为((0+5)/2,(0+3)/2)=(2.5,1.5)，BD中点也应为(2.5,1.5)。B点坐标为(4,0)，则有(4+x)/2=2.5，(0+y)/2=1.5，解得x=1，y=3。所以D(1,3)。情况三：以BC为对角线，AB和AC为邻边。BC中点坐标为((4+5)/2,(0+3)/2)=(4.5,1.5)，AD中点也应为(4.5,1.5)。A点坐标为(0,0)，则有(0+x)/2=4.5，(0+y)/2=1.5，解得x=9，y=3。所以D(9,3)。综上，存在点D，其坐标为(-1,-3)或(1,3)或(9,3)。解决这类问题，分类讨论是关键，要做到不重不漏。三、解题技巧与思想方法1.“性质”与“判定”的双向应用：既要会用性质从平行四边形得到边、角、对角线的关系，也要会用判定方法从边、角、对角线的关系判断一个四边形是不是平行四边形。2.“方程思想”的运用：在求角度、边长时，若直接求解困难，可以设未知数，根据平行四边形的性质列出方程求解。例如，已知平行四边形一个角比另一个角大多少度，求各角度数。3.“转化思想”的渗透：将平行四边形问题转化为三角形问题（如通过连对角线），利用三角形全等、勾股定理等知识解决。4.“数形结合”的意识：画图是解决几何问题的重要辅助手段，仔细画图，标注已知条件，能帮助我们直观地发现解题思路。5.“一题多解”与“多题归一”：对于同一道题，尝试用不同的方法解决，拓宽思路；对于不同的题目，总结其共性和解题规律，达到举一反三的效果。四、巩固练习1.在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为多少？2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长小3cm，若AB=5cm，求平行四边形ABCD的周长。3.求证：平行四边形一组对边中点的连线必与对角线互相平分。4.在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？（提示：第1题要注意角平分线可能与BC交于不同位置；第4题可利用“一组对