2025年下学期初中数学基本国际前卫艺术创新组织竞赛试卷

2025年下学期初中数学基本国际前卫艺术创新组织竞赛试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）若函数(f(x)=\sqrt{x^2-4x+5})的图像与某前卫艺术装置的曲线重合，该装置以坐标原点为对称中心，且在(x=2)处达到最低高度，则此函数的最小值为（）A.1B.√2C.2D.√5在某立体主义画作中，一个三棱锥被分解为多个几何切面，已知该三棱锥的三条侧棱长分别为3、4、5，且两两垂直，则其外接球的表面积与画作中所有切面面积之和的比值为（）A.(\frac{25\pi}{24})B.(\frac{15\pi}{16})C.(\frac{5\pi}{4})D.(\frac{3\pi}{2})某算法艺术作品通过迭代生成斐波那契数列图案，数列满足(F_1=1)，(F_2=1)，(F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2})（(n\geq3)）。若图案中第(k)个图形由(F_k)个全等菱形组成，则第10个图形中菱形的个数为（）A.34B.55C.89D.144某光影装置通过坐标平面内的投影呈现动态效果，已知点(P(2,3))在矩阵(\begin{pmatrix}1&a\b&2\end{pmatrix})对应的线性变换下投影为点(Q(4,7))，则(a+b)的值为（）A.1B.2C.3D.4在分形艺术中，“科赫雪花”的周长具有无限性而面积有限。若初始正三角形边长为1，每次变换将每条边三等分并以中间段为边向外作正三角形，则第3次变换后图形的面积为初始面积的（）A.(\frac{16}{9})B.(\frac{20}{9})C.(\frac{28}{27})D.(\frac{40}{27})某涂鸦艺术家在平面直角坐标系中绘制一条曲线，其方程满足(x^2+y^2-6x+2y+1=0)，则该曲线与直线(y=x-1)的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3某声音艺术装置通过声波频率的数学关系生成音乐，已知频率(f)（Hz）与波长(\lambda)（m）满足(f=\frac{340}{\lambda})（声速为340m/s）。若装置同时发出两个波长分别为0.5m和0.8m的声波，则它们的频率之比与某黄金分割比例（(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618)）的误差绝对值为（）A.0.018B.0.032C.0.054D.0.076某几何镶嵌作品用正多边形瓷砖铺满平面，要求每个顶点处由3种不同正多边形组成，且内角和为360°。若其中一种为正六边形（内角120°），另一种为正方形（内角90°），则第三种正多边形的边数为（）A.3B.4C.5D.8在数字艺术中，二进制代码被转化为色彩值，已知某像素点的RGB值（红、绿、蓝）由三位二进制数表示，其中红色通道为((101)_2)，绿色通道为((110)_2)，蓝色通道为((011)_2)，则该像素点的十六进制颜色码为（）A.563B.A3DC.7B9D.3F5某拓扑艺术展览中，一个莫比乌斯环被沿中线剪开后形成的曲面与下列哪个几何体同胚（）A.圆柱面B.双环面C.克莱因瓶D.球面二、填空题（共5题，每题6分，共30分）某动态雕塑的底座为抛物线(y=x^2-2x+3)与直线(y=kx+1)围成的封闭区域，若该区域的面积为前卫艺术评分体系中的“复杂度指标”，则当(k=)______时，复杂度指标达到最小值。在参数化艺术设计中，一个螺旋线的参数方程为(\begin{cases}x=t\cost\y=t\sint\z=t\end{cases})（(t\geq0)），当(t=\pi)时，该螺旋线上对应点的切线方向向量为______。某概率艺术装置通过随机抛洒棋子生成图案，已知棋子落在单位圆内的概率为(\frac{\pi}{4})（模拟圆周率），若连续抛洒1000次，其中落在第一象限的棋子数约为______。在分形几何中，“谢尔宾斯基三角形”的维数计算公式为(D=\frac{\logN}{\logS})，其中(N)为自相似份数，(S)为放大比例。若每次变换将三角形分为4个小三角形（保留3个），放大比例为2，则其分形维数(D=)______（精确到小数点后两位）。某对称艺术作品的平面图可抽象为椭圆(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)），已知其焦距与长轴长的比值为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))，则该椭圆的离心率为______。三、解答题（共5题，共70分）（12分）某装置艺术作品由两个相同的抛物面镜组成，其轴截面为抛物线(C_1:y^2=4x)和(C_2:y^2=-4x)，两抛物线的焦点分别为(F_1)和(F_2)。（1）求以(F_1)、(F_2)为焦点，且与直线(x+y=5)相切的椭圆方程；（2）若一束光线从(F_1)射出，经(C_1)上一点(P(4,4))反射后，判断反射光线是否经过(F_2)，并说明理由。（14分）在某算法生成艺术中，图案的迭代规则如下：初始图形为边长为1的正方形（第0代），第1代将每个边三等分，以中间段为边向外作正方形；第2代对所有新生成的正方形重复上述操作，以此类推。（1）求第(n)代图形的周长(L_n)和面积(S_n)的表达式；（2）若该艺术作品的“视觉冲击指数”定义为(\lim_{n\to\infty}(L_n+S_n))，判断此极限是否存在，若存在求出其值，若不存在说明理由。（14分）某立体艺术雕塑由一个圆柱体和一个半球体组合而成，圆柱体底面半径为(r)，高为(h)，半球体半径与圆柱体底面半径相同，且球心与圆柱体上底面中心重合。（1）若雕塑的表面积（含底面）为(24\pi)，求其体积(V)关于(r)的函数表达式，并求(V)的最大值；（2）若在雕塑表面绘制螺旋线，从圆柱体下底面圆周上一点(A)出发，绕圆柱侧面一周后到达半球体表面上一点(B)，且(B)到圆柱体上底面的距离为(\frac{r}{2})，求螺旋线的最短长度。（15分）某数字媒体艺术作品通过复数平面呈现动态效果，定义“艺术变换”为对复数(z=a+bi)（(a,b\in\mathbb{R})）进行如下操作：①将(z)对应的点绕原点逆时针旋转(60^\circ)，得到(z_1)；②将(z_1)的实部与虚部交换，得到(z_2)；③若(|z_2|>2)，则重复操作①②，否则停止。（1）若初始复数(z_0=1+i)，求经过一次变换后得到的(z_2)；（2）若某复数经过两次变换后停止，求其初始模长的取值范围。（15分）在跨学科艺术项目中，某团队用数学模型设计“声音雕塑”，其频率分布满足以下规则：基础频率集为({f_1,f_2,\dots,f_n})，其中(f_k=261.63\times2^{\frac{k-1}{12}})Hz（对应钢琴键盘第(k)个白键）；和谐度指标(H)定义为频率集的方差(\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(f_k-\bar{f})^2)，其中(\bar{f})为平均频率；（1）若(n=3)，且(k=1,5,9)，求和谐度指标(H)（精确到小数点后两位）；（2）证明：对于任意(n\geq2)，当频率集为连续(n)个白键时，和谐度指标(H)随(n)的增大而增大。四、创新实践题（共20分）某前卫艺术策展人要求用数学方法设计一个“动态平衡装置”，装置由以下部分组成：底座：半径为1的圆形平台，圆心为坐标原点(O)；支柱：3根长度分别为(l_1,l_2,l_3)的细杆，下端固定在平台圆周上的点(A,B,C)处，上端连接同一个质点(P)；要求：质点(P)在空间中的坐标((x,y,z))满足装置的平衡条件：(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0})，且(|\overrightarrow{PA}|=l_1)，(|\overrightarrow{PB}|=l_2)，(|\overrightarrow{PC}|=