2025年下学期初中数学基本国际审计创新组织竞赛试卷

2025年下学期初中数学基本国际审计创新组织竞赛试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）若正整数(a,b)满足(a+b=2025)，且(\frac{a}{b}=\frac{4}{5})，则(a-b)的值为（）A.-225B.225C.-450D.450解答：由(\frac{a}{b}=\frac{4}{5})设(a=4k)，(b=5k)，代入(a+b=2025)得(9k=2025)，解得(k=225)。则(a=900)，(b=1125)，(a-b=-225)，选A。已知(x^2-3x+1=0)，则(x^4+\frac{1}{x^4})的值为（）A.47B.49C.51D.53解答：由方程得(x+\frac{1}{x}=3)，平方得(x^2+2+\frac{1}{x^2}=9)，即(x^2+\frac{1}{x^2}=7)；再平方得(x^4+2+\frac{1}{x^4}=49)，故(x^4+\frac{1}{x^4}=47)，选A。如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(D)为(BC)中点，以(D)为圆心作圆与(AB)相切，则圆的半径为（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{6}{5})C.(\frac{8}{5})D.(\frac{16}{5})解答：连接(AD)，则(AD\perpBC)，(AD=4)。设圆与(AB)相切于点(E)，半径为(r)，则(DE=r)。由(\triangleBDE\sim\triangleBAD)得(\frac{DE}{AD}=\frac{BD}{AB})，即(\frac{r}{4}=\frac{3}{5})，解得(r=\frac{12}{5})，选A。若关于(x)的不等式组(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且仅有3个整数解，则(a)的取值范围是（）A.(-2\leqa<-1)B.(-2<a\leq-1)C.(-1\leqa<0)D.(-1<a\leq0)解答：解不等式组得(a<x<2)，整数解为1,0,-1，故(-2\leqa<-1)，选A。某商店销售A、B两种商品，A商品售价为每件10元，B商品售价为每件15元。若该商店一次性购进A、B商品共100件，总进价为1100元，且A商品进价为每件8元，B商品进价为每件12元，则最多可获利（）A.300元B.320元C.340元D.360元解答：设购进A商品(x)件，B商品(100-x)件，成本方程为(8x+12(100-x)=1100)，解得(x=25)。获利((10-8)×25+(15-12)×75=50+225=275)元？（题目可能有误，按选项逻辑调整：若总进价为1000元，则(x=50)，获利(2×50+3×50=250)，此处按原题选最接近的A）。已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像过点((1,0))，((3,0))，且最大值为4，则(c)的值为（）A.3B.-3C.5D.-5解答：设(y=a(x-1)(x-3))，对称轴(x=2)，代入得(4=a(1)(-1))，(a=-4)，展开得(y=-4x^2+16x-12)，故(c=-12)？（题目可能有误，若最大值为3，则(a=-1)，(c=-3)，选B）。在一个不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和5个蓝球，从中随机摸出3个球，至少有一个红球的概率为（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{3}{4})C.(\frac{5}{6})D.(\frac{7}{8})解答：总情况数(C_{10}^3=120)，无红球情况数(C_7^3=35)，至少1红球概率(1-\frac{35}{120}=\frac{17}{24}\approx0.708)，最接近B选项。若(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2025})，且(x,y)为正整数，则(x+y)的最小值为（）A.2025B.1013C.505D.253解答：(\sqrt{2025}=45)，设(\sqrt{x}=a)，(\sqrt{y}=b)，(a+b=45)，(x+y=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2025-2ab)。当(a,b)接近时(ab)最大，(x+y)最小，取(a=22)，(b=23)，(x+y=22^2+23^2=484+529=1013)，选B。如图，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(BC=6)，点(E,F)分别在(BC,CD)上，且(BE=CF=2)，则(\triangleAEF)的面积为（）A.10B.12C.14D.16解答：坐标法：(A(0,0))，(B(4,0))，(C(4,6))，(D(0,6))，(E(4,2))，(F(2,6))。面积(S=4×6-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×2=24-4-4-2=14)，选C。定义新运算“※”：(a※b=a^2-b^2-ab)，则方程((x※2)+(2※x)=0)的解为（）A.(x=0)B.(x=2)C.(x=-2)D.无解解答：代入得((x^2-4-2x)+(4-x^2-2x)=-4x=0)，解得(x=0)，选A。二、填空题（共6题，每题5分，共30分）计算：(\frac{2025^2-2024×2026}{2025}=)________。解答：分母(2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2-1)，原式(=\frac{2025^2-(2025^2-1)}{2025}=\frac{1}{2025})。若(a+b+c=0)，则(a^3+b^3+c^3-3abc=)________。解答：公式(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0)。一个多边形的内角和比外角和多(720^\circ)，则该多边形的边数为________。解答：内角和(=360+720=1080^\circ)，边数(n=\frac{1080}{180}+2=8)。已知(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5})，且(0<\alpha<\pi)，则(\tan\alpha=)________。解答：平方得(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25})，(\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{12}{25})，解得(\sin\alpha=\frac{4}{5})，(\cos\alpha=-\frac{3}{5})，(\tan\alpha=-\frac{4}{3})。若关于(x)的方程(x^2-2mx+m^2-1=0)的两根均大于1，则(m)的取值范围是________。解答：方程((x-m)^2=1)，根(x=m\pm1)，由(m-1>1)得(m>2)。在平面直角坐标系中，点(A(1,2))，(B(3,4))，点(P)在(x)轴上，则(PA+PB)的最小值为________。解答：作(A)关于(x)轴对称点(A'(1,-2))，连接(A'B)交(x)轴于(P)，(A'B=\sqrt{(3-1)^2+(4+2)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10})。三、解答题（共5题，共70分）（12分）解方程组：[\begin{cases}\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}\x+y+z=27\end{cases}]解答：设(\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}=k)，则(x+y=2k)，(y+z=3k)，(z+x=4k)，三式相加得(2(x+y+z)=9k)，即(54=9k)，(k=6)。解得(x=2k+4k-3k=3k=18)？（修正：(x=(2k+4k-3k)/2=\frac{3k}{2}=9)，(y=\frac{2k+3k-4k}{2}=\frac{k}{2}=3)，(z=\frac{3k+4k-2k}{2}=\frac{5k}{2}=15)）。（14分）如图，在(\odotO)中，弦(AB)与(CD)交于点(E)，且(AE=CE)，求证：(AD=CB)。解答：连接(AC)，由(AE=CE)得(\angleEAC=\angleECA)，又(\angleADC=\angleABC)（同弧所对圆周角），(\angleAED=\angleCEB)，故(\triangleAED\cong\triangleCEB)（AAS），因此(AD=CB)。（14分）某工厂生产一种零件，每个零件成本为20元，销售单价为30元时，每天可售出100个。若销售单价每上涨1元，每天销量减少5个。设销售单价上涨(x)元，每天利润为(y)元。（1）求(y)与(x)的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？解答：（1）(y=(30+x-20)(100-5x)=(10+x)(100-5x)=-5x^2+50x+1000)；（2）对称轴(x=-\frac{50}{2×(-5)}=5)，此时单价(30+5=35)元，最大利润(y=-5×25+250+1000=1125)元。（15分）已知(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，点(P)从点(A)出发沿(AC)向点(C)运动，速度为1单位/秒；点(Q)从点(C)出发沿(CB)向点(B)运动，速度为2单位/秒。两点同时出发，设运动时间为(t)秒（(0<t<4)）。（1）用含(t)的代数式表示(PQ)的长度；（2）当(t)为何值时，(\trianglePCQ)与(\triangleACB)相似？解答：（1）(PC=6-t)，(CQ=2t)，(PQ=\sqrt{(6-t)^2+(2t)^2}=\sqrt{5t^2-12t+36})；（2）分两种情况：(\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC})：(\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8})，解得(t=2.4)；(\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC})：(\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6})，解得(t=\frac{18}{11}\approx1.64)。（15分）已知二次函数(y=x^2-(m+2)x+m+1)（(m)为常数）。（1）求证：不论(m)为何值，该函数图像与(x)轴总有两个交点；（2）设函数图像与(x)轴交于(A,B)两点（(A)在(B)左侧），与(y)轴交于点(C)，若(\triangleABC)的面积为2，求(m)的值。解答：（1）判别式(\Delta=(m+2)^2-4(m+1)=m^2+4m+4-4m-4=m^2\geq0)，因(m^2=0)时(m=0)，此时方程有两个相等实根，题目可能应为“总有交点”，若严格按“两个交点”则(m\neq0)；（2）令(y=0)，解得(x=1)或(x=m+1)，故(A(1,0))，(B(m+1,0))（若(m+1>1)），(C(0,m+1))。面积(S=\frac{1}{2}|m+1-1||m+1|=\frac{1}{2}|m(m+1)|=2)，即(m(m+1)=\pm4)。(m^2+m-4=0)，解得(m=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2})；(m^2+m+4=0)，无实根。综上，(m=\frac{-1+\