2025年下学期初中数学基本南南合作试卷

2025年下学期初中数学基本南南合作试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列各数中，最小的数是（）A．-3B．0C．1D．2下列计算正确的是（）A．a²+a³=a⁵B．a²·a³=a⁶C．(a²)³=a⁶D．a⁶÷a²=a³如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．130°D．150°下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正五边形若关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥1某班50名学生的身高情况如下表所示：身高（cm）150155160165170175人数351215105则该班学生身高的众数和中位数分别是（）A．165，165B．165，160C．160，165D．160，1607.已知点A（-1，y₁），B（2，y₂）在反比例函数y=k/x（k＞0）的图象上，则y₁，y₂的大小关系是（）A．y₁＞y₂B．y₁=y₂C．y₁＜y₂D．无法确定8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是（）A．3/4B．3/5C．4/5D．4/39.若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞010.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，若∠CAB=30°，则∠ADC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）分解因式：x³-4x=______。若分式x-1/x+2的值为0，则x的值是______。已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是______。如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=4，则EC的长是______。一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______。如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点，点F在AD上，且AF=2FD，连接EF，则EF的长是______。三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分8分）计算：(-1)²⁰²⁵+√16-|2-√3|+2sin60°。18.（本小题满分8分）先化简，再求值：(x+1-3/x-1)÷x²-4x+4/x-1，其中x=2+√2。19.（本小题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，连接BE，CD交于点O。求证：△ABE≌△ACD。20.（本小题满分8分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图。请根据统计图信息解答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1200名学生，估计该校课外阅读时间不少于6小时的学生有多少名？21.（本小题满分8分）某商店准备购进A，B两种商品，已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？22.（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求DE的长。23.（本小题满分10分）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E。当点P在第一象限时，求线段PE的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。24.（本小题满分12分）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF。（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）在点E，F运动过程中，四边形CEDF的面积是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出其面积；（3）当△CEF的面积最大时，求线段EF的长。参考答案及解析一、选择题A【解析】根据有理数比较大小的方法，可得-3＜0＜1＜2，所以最小的数是-3。C【解析】A选项，a²与a³不是同类项，不能合并，故A错误；B选项，a²·a³=a²⁺³=a⁵，故B错误；C选项，(a²)³=a²ˣ³=a⁶，故C正确；D选项，a⁶÷a²=a⁶⁻²=a⁴，故D错误。C【解析】∵直线a∥b，∴∠1+∠2=180°，∵∠1=50°，∴∠2=180°-50°=130°。C【解析】A选项，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B选项，平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C选项，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故C正确；D选项，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误。A【解析】∵一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=(-2)²-4×1×k=4-4k＞0，解得k＜1。A【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，165出现了15次，出现的次数最多，则众数是165；把这组数据从小到大排列，最中间的两个数都是165，则中位数是165。A【解析】∵反比例函数y=k/x（k＞0）的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，点A（-1，y₁）在第三象限，y₁＜0，点B（2，y₂）在第一象限，y₂＞0，∴y₁＜y₂。C【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5，∴sinA=BC/AB=4/5。B【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0；∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴-b/2a＞0，又∵a＞0，∴b＜0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0。C【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，∵∠ADC=∠ABC，∴∠ADC=60°。二、填空题x(x+2)(x-2)【解析】x³-4x=x(x²-4)=x(x+2)(x-2)。1【解析】由题意得，x-1=0且x+2≠0，解得x=1。8【解析】设这个多边形的边数是n，根据题意得，(n-2)·180°=3×360°，解得n=8。6【解析】∵DE∥BC，∴AD/DB=AE/EC，即2/3=4/EC，解得EC=6。3/5【解析】袋子中共有3+2=5个球，其中红球有3个，所以摸到红球的概率是3/5。5【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，AD∥BC，∵AF=2FD，∴AF=4，FD=2，∵点E是BC的中点，∴BE=EC=3，过点F作FG⊥BC于点G，则FG=AB=4，EG=BE-FD=3-2=1，在Rt△FGE中，EF=√(FG²+EG²)=√(4²+1²)=√17。三、解答题解：原式=-1+4-(2-√3)+2×√3/2=-1+4-2+√3+√3=1+2√3解：原式=[(x+1)(x-1)-3]/(x-1)÷(x-2)²/(x-1)=(x²-1-3)/(x-1)·(x-1)/(x-2)²=(x²-4)/(x-2)²=(x+2)(x-2)/(x-2)²=(x+2)/(x-2)当x=2+√2时，原式=(2+√2+2)/(2+√2-2)=(4+√2)/√2=2√2+1证明：∵AB=AC，AD=AE，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS）。解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：10÷20%=50（名）。（2）课外阅读时间为6小时的学生人数为：50-10-15-5=20（名），补全条形统计图略。（3）该校课外阅读时间不少于6小时的学生人数约为：1200×(20+5)/50=600（名）。解：（1）设A商品每件的进价是x元，B商品每件的进价是y元，根据题意得，{3x+2y=120,5x+4y=220}解得{x=20,y=30}答：A商品每件的进价是20元，B商品每件的进价是30元。（2）设购进A商品m件，B商品n件，根据题意得，{20m+30n≤1000,m≥2n}由m≥2n得n≤m/2，代入20m+30n≤1000得20m+30×m/2≤1000，解得m≤28.57，∵m为整数，∴m的最大值为28。答：最多能购进28件A商品。（1）证明：连接OD，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠OAD+∠EBD=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线。（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵OA=2，∴OC=4，OD=2，设DE=BE=x，则CE=8-x，∵∠ODE=∠C=90°，∴OD²+DE²=OE²=OC²+CE²，即2²+x²=4²+(8-x)²，解得x=4.75，即DE的长为4.75。解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将点C（0，3）代入得，3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3。（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，{3k+b=0,b=3}，解得{k=-1,b=3}，∴直线BC的解析式为y=-x+3，设点P的坐标为（m，-m²+2m+3）（0＜m＜3），则点E的坐标为（m，-m+3），∴PE=-m²+2m+3-(-m+3)=-m²+3m=-(m-1.5)²+2.25，∴当m=1.5时，PE的最大值为2.25。（3）抛物线的对称轴为直线x=1，设点Q的坐标为（1，n），∵B（3，0），C（0，3），∴BC=3√2，BQ=√(2²+n²)，CQ=√(1²+(n-3)²)，当BC=BQ时，3√2=√(4+n²)，解得n=±√14，∴点Q的坐标为（1，√14）或（1，-√14）；当BC=CQ时，3√2=√(1+(n-3)²)，解得n=6或n=0，∴点Q的坐标为（1，6）或（1，0）；当BQ=CQ时，√(4+n²)=√(1+(n-3)²)，解得n=1，∴点Q的坐标为（1，1）。综上，点Q的坐标为（1，√14），（1，-√14），（1，6），（1，0），（1，1）。（1）证明：连接CD，∵∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=90°，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，∴△DEF是等腰直角三角形。（2）