12高等数学课件详细

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第十二章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理第一节一、常数项级数的概念

引例1.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为(s)设

tk

表示第k

次小球落地的时间,定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为二、无穷级数的基本性质性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.

说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如例4.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.三、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数

.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”定理2(比较审敛法)设且(1)若级数则级数(2)若级数则级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(n=1,2,3…)例1.

讨论P

级数(常数p>0)的敛散性.调和级数与P级数是两个常用的比较级数.若存在对一切证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.的敛散性.～例3.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～定理4

.

比值审敛法(D’ALEMBERT判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.(3)当时,级数可能收敛可能发散;说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.例5.

讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;定理5.根值审敛法(CAUCHY判别法)设为正项级则数,且时,级数可能收敛也可能发散.(3)例如

,p–

级数但级数收敛;级数发散.例6.

证明级数收敛于S,似代替和S

时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn

近二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足收敛收敛用LEIBNITZ判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛

.定理7.

绝对收敛的级数一定收敛.证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令例7.

证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.EX:1.

判别级数的敛散性:解:

(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.第三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数称它例如,

等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,

级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称发散发散收敛收敛发散定理1.(ABEL定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=

时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散定理2.

若的系数满足1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,则的收敛半径为说明:据此定理对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1例3.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由例4.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是定理4

若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:例5.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,例6.

求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,因此由和函数的连续性得:而及内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为2.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:

不能.因为当时级数收敛,时级数发散,说明:

可以证明比值判别法成立根值判别法成立阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,EX:

求极限其中解:

令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒(TAYLOR)级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项

.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n

阶泰勒公式,该邻域内有:为f(x)

的泰勒级数.则称当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数

.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,定理1

.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理2.若f(x)能展成x

的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开例1.

将函数展开成x

的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数例2.

将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足类似可推出:例3.

将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解:

易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,称为二项展开式

.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m

有关.(2)当m为正整数时,级数为x

的m

次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得对应的二项展开式分别为2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.

将函数展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.例5.

将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x

积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x

＝1

收敛,所以展开式对x

＝1也是成立的,于是收敛例6.

将展成解:

的幂级数.例7.

将展成x－1的幂级数.解:

内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当m=–1时思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:

后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:例3附注EX:1.将下列函数展开成x

的幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,因此2.

将在x=0处展为幂级数.解:因此第五节一、近似计算

二、欧拉公式函数幂级数展开式的应用机动目录上页下页返回结束一、近似计算例1.

计算的近似值,精确到解:

机动目录上页下页返回结束例2.

计算的近似值,使准确到解:

已知故令得于是有机动目录上页下页返回结束在上述展开式中取前四项,机动目录上页下页返回结束说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),机动目录上页下页返回结束例3.

利用求误差.解:

先把角度化为弧度(弧度)误差不超过的近似值,并估计机动目录上页下页返回结束(取

例4.

计算积分的近似值,精确到解:机动目录上页下页返回结束则n

应满足则所求积分近似值为欲使截断误差机动目录上页下页返回结束例5.

计算积分的近似值,精确到解:

由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在

x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:机动目录上页下页返回结束二、欧拉(EULER)公式则称①收敛

,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数①绝对收敛则称①绝对收敛.由于,故知欧拉目录上页下页返回结束定义:

复变量的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.机动目录上页下页返回结束（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则机动目录上页下页返回结束据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有第六节目录上页下页返回结束欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理》,《积分学原理》等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名字命名的重要常数,公式和定理.机动目录上页下页返回结束函数项级数的一致收敛性*第六节一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质机动目录上页下页返回结束

第十一章一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点.例如,

级数每项在[0,1]上都连续,其前n项之和为和函数该和函数在x＝1间断.机动目录上页下页返回结束因为对任意x

都有:所以它的收敛域为(－∞,+∞),但逐项求导后的级数其一般项不趋于0,所以对任意x

都发散.又如,

函数项级数问题:

对什么样的函数项级数才有:逐项连续和函数连续;逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分机动目录上页下页返回结束定义.设S(x)为若对都有一个只依赖于

的自然数N,使当n>N

时,对区间I

上的一切x

都有则称该级数在区间I

上一致收敛于和函数S(x).在区间

I

上的和函数,任意给定的

>0,显然,在区间I

上一致收敛于和函数S(x)部分和序列一致收敛于S(x)余项一致收敛于0机动目录上页下页返回结束几何解释:(如图)当n>N

时,曲线总位于曲线之间.机动目录上页下页返回结束例1.研究级数在区间[0,+∞)上的收敛性.解:机动目录上页下页返回结束余项的绝对值:因此,任给

>0,取自然数则当n>N

时有这说明级数在[0,+∞)上一致收敛于机动目录上页下页返回结束例2.证明级数在[0,1]上不一致收敛.证:取正数对无论多么大的正数N,因此级数在[0,1]上不一致收敛.机动目录上页下页返回结束说明:对任意正数r<1,级数在[0,r]上一致收敛.事实上,因为在[0,r]上任给

>0,欲使只要因此取只要即级数在[0,r]上一致收敛.机动目录上页下页返回结束维尔斯特拉斯(WEIERSTRASS)判别法用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出这往往比较困难.下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数在区间I上满足:则函数项级数在区间I上一致收敛.简介目录上页下页返回结束证:由条件2),根据柯西审敛原理,当n>N时,

对任意正整数p,都有由条件1),对x∈I,有故函数项级数在区间I上一致收敛.证毕机动目录上页下页返回结束推论.若幂级数的收敛半径R>0,则此级数在(－R,R)内任一闭区间[a,b]上一致收敛.证:则对[a,b]上的一切x,都有由阿贝尔定理(第三节定理1)级数绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明:

若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点.证毕

机动目录上页下页返回结束例3.证明级数在(－∞,+∞)上一致收敛.证:而级数收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(－∞,+∞)上一致收敛.机动目录上页下页返回结束说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式可利用导数求例如,

级数用求导法可得已知收敛,因此原级数在[0,+∞)上一致收敛.机动目录上页下页返回结束二、一致收敛级数的基本性质定理1.若级数证:只需证明由于机动目录上页下页返回结束因为级数一致收敛于S(x),使当n>N

时,有对这样选定的

n,从而必存在

>0,从而得证毕机动目录上页下页返回结束说明:(1)定理1表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,即有(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,

级数在区间[0,1]上处处收敛,而其和函数在x=1处不连续.机动目录上页下页返回结束定理2.若级数则该级数在[a,b]上可逐项积分,且上式右端级数在[a,b]上也一致收敛.证:

因为机动目录上页下页返回结束所以只需证明对任意

一致有

根据级数的一致收敛性,使当n>N时,有于是,当

n>N时,对一切

有因此定理结论正确.证毕机动目录上页下页返回结束说明:若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,

级数它的部分和因此级数在[0,1]上收敛于S(x)=0,所以但是①为什么对级数①定理结论不成立?分析它是否满足机动目录上页下页返回结束定理2条件.级数的余项可见级数①在[0,1]上不一致收敛,此即定理2结论对级数①不成立的原因.机动目录上页下页返回结束定理3.若级数且可逐项求导,即证:先证可逐项求导.根据定理2,机动目录上页下页返回结束上式两边对x

求导,得再证根据定理2,而机动目录上页下页返回结束所以级数一致收敛并不保证可以逐项求导.例如,例3中的级数说明:在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数其一般项不趋于0,所以对任意

x

都发散.证毕机动目录上页下页返回结束例4.证明函数对任意x

有连续导数.解:显然所给级数对任意x

都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数故级数②在(－∞,+∞)上一致收敛,故由定理3可知②再由定理1可知机动目录上页下页返回结束定理4

.

若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证:

关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯特拉斯判别法的推论及定理1,2立即可得.

下面证明逐项可导的结论:机动目录上页下页返回结束证:则由比值审敛法知级数故故存在M>0,使得由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束上一致收敛,故原级数内任一闭区间上满足定理3条件,从而可逐项求导,即知再证级数的收敛半径由前面的证明可知若将幂级数机动目录上页下页返回结束级数的收敛半径不会缩小,因逐项积分所得幂级数(－R,R)内有任意阶导数,且有其收敛半径都为R.推论.的和函数S(x)在收敛区间证毕作业P2371;3(2);4(2),(4),(5)第七节目录上页下页返回结束维尔斯特拉斯(1815–1897)德国数学家.他的主要贡献是在函数论及分析学方面.1854年,他解决了椭圆

以后还建立了椭圆函数的新结构.他在分析学中建立了实数理论,引进了极限的

–

定义,

定义及性质,还构造了一个处处不可微的连续函数:积分的逆转问题,给出了连续函数的严格为分析学的算术化作出了重要贡献.第七节一、三角级数及三角函数系的正交性

二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数

为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.定理1.

组成三角级数的函数系正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在二、函数展开成傅里叶级数定理2.

设f(x)是周期为2

的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有①②叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数

.称为函数

定理3(收敛定理,展开定理)设

f(x)是周期为2

的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x

为间断点其中为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.例1.

设

f(x)是周期为2

的周期函数,它在上的表达式为解:

先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.1)

根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:

设

f(x)是周期为2

的周期函数,它在说明:

当时,级数收敛于周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–

,]上的函数F(X)的傅氏级数展开法其它例3.

将函数级数.则解:

将f(x)延拓成以展成傅里叶2

为周期的函数F(x),利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:三、正弦级数和余弦级数1.周期为2

的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.

对周期为2

的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2

的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为例4.

设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2

的周期函数,它在解:

若不计周期为2

的奇函数,因此n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5例5.将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:是周期为2

的周期偶函数,因此2.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成例6.

将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:

先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,注意:在端点x=0,

,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,说明:

令

x=0

可得即内容小结1.周期为2

的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:

若为间断点,则级数收敛于2.周期为2

的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数1.

在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:

不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于

.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为

,4.

写出函数傅氏级数的和函数.答案:EX:1.叶级数展式为则其中系提示:的傅里傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.

最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一,并论文都收在《狄利克雷论文集(1889一1897)中.1829年他得到了给定证明第八节一般周期的函数的傅里叶级数一、以2l

为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式一、以2L

为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2

函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式设周期为2l

的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.说明:其中(在f(x)的连续点处)如果

f(x)

为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果

f(x)为奇函数,则有例1.

把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k

处级数收敛于何值?(2)将作偶周期延拓,则有说明:

此式对也成立,据此有利用欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式设f(x)是周期为2l的周期函数,则注意到同理傅里叶级数的复数形式:因此得式的傅里叶级数.例4.

把宽为

,高为H,周期为T的矩形波展成复数形解:

在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为内矩形波的函数表达式为为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x

间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)思考与练习1