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文档简介
2025年下学期初中数学几何直观培养试卷一、选择题(共10题,每题4分,共40分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心作圆,使点A、B中有且只有一个点在圆内,则圆的半径r的取值范围是()A.3<r≤4B.4<r≤5C.3≤r<4D.4≤r<5如图2,在平行四边形ABCD中,E是AD中点,连接BE并延长交CD延长线于点F,若△DEF的面积为1,则平行四边形ABCD的面积为()A.4B.6C.8D.12如图3,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,若AB=4,BC=8,则折痕EF的长度为()A.2√5B.3√5C.4√5D.5√5如图4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上,将△ACD绕点C顺时针旋转90°得到△BCE,若AD=2,BD=3,则DE的长为()A.√5B.2√5C.3√5D.5√2如图5,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,CD=8,且AB∥CD,则AB与CD之间的距离为()A.1B.7C.1或7D.无法确定如图6,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,P是BC边上的动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则线段EF长度的最小值是()A.2.4B.2.5C.3D.4如图7,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点,点E在AC上,且AE=2,连接DE,则DE的长为()A.√5B.√10C.√13D.4如图8,在正方形ABCD中,AB=4,点E是BC中点,点F在CD上,且CF=1,连接AE、AF、EF,则△AEF的面积为()A.5B.6C.7D.8如图9,在△ABC中,∠B=60°,AB=4,BC=6,点D在AC上,且AD=2DC,则BD的长为()A.2√3B.4C.2√7D.5如图10,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(0,3),C(3,0),点D是线段BC上的动点,连接AD,则AD长度的最小值是()A.√13B.3C.2√2D.√5二、填空题(共6题,每题4分,共24分)如图11,在△ABC中,DE是中位线,若△ADE的面积为3,则△ABC的面积为______。如图12,在⊙O中,弦AB所对的圆心角∠AOB=120°,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为______。如图13,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是菱形内一点,且PA=PB,则PC的最小值为______。如图14,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E、F分别在BC、CD上,且BE=CF,当△AEF的面积最小时,BE的长度为______。如图15,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P是△ABC内一点,且点P到三边的距离相等,则这个距离为______。如图16,在平面直角坐标系中,点A(0,3),B(4,0),点P是线段AB上的动点,过点P作PD⊥x轴于D,PE⊥y轴于E,则矩形PDOE面积的最大值为______。三、解答题(共6题,共86分)(12分)如图17,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC于F。(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若∠BAC=45°,AB=4,求DF的长。(14分)如图18,在正方形ABCD中,点E是BC边上一点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在点B'处,连接B'D、B'C。(1)求证:∠B'CB=∠B'DA;(2)若AB=4,BE=1,求B'D的长。(14分)如图19,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P是AB边上的动点,过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N。(1)设PM=x,四边形PMCN的面积为S,求S与x之间的函数关系式;(2)当点P运动到什么位置时,四边形PMCN的面积最大?最大面积是多少?(16分)如图20,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(4,0),点C在y轴正半轴上,且OC=2√3。(1)求△ABC的外接圆的圆心坐标;(2)若点P是△ABC外接圆上的动点,求点P到直线AC距离的最大值。(16分)如图21,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60°,点E是AB边上一点,点F是AD边上一点,且AE=AF,连接EF并延长交CD的延长线于点G,连接BD交EF于点H。(1)求证:△AEF∽△CGF;(2)若AE=1,求DH的长;(3)当点E在AB上运动时(不与A、B重合),△DGH的面积是否发生变化?若不变,求出其面积;若变化,说明理由。(20分)如图22,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,过点P作PD⊥x轴于D,交直线BC于点E,当PE=2DE时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,连接PB,将△PBD沿直线PB翻折,得到△PB'D,判断点B'是否在抛物线上,并说明理由。四、拓展探究题(共1题,共20分)如图23,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D是AB中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(不与端点重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF。(1)求证:△DEF是等腰直角三角形;(2)设AE=x,△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的取值范围;(3)在点E、F运动过程中,四边形CEDF的面积是否发生变化?若不变,求出其面积;若变化,说明理由;(4)当△CEF与△ABC相似时,求AE的长。参考答案及评分标准一、选择题A2.C3.A4.B5.C6.A7.B8.C9.C10.D二、填空题1212.2√313.√3-114.315.216.2.25三、解答题(1)证明:连接OD,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线;(6分)(2)解:连接AD,∵AB是直径,∴AD⊥BC,∵AB=AC=4,∠BAC=45°,∴BD=CD=AD=2√2,∵DF⊥AC,∴DF=AD·sin45°=2√2×√2/2=2(6分)(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠ADC=90°,∵△ABE沿AE折叠得到△AB'E,∴AB=AB',BE=B'E,∠ABE=∠AB'E=90°,∴AB'=AD,∠AB'D=∠ADB',∵∠AB'C=∠AB'D+∠DB'C=90°,∠ADB'=∠ADC-∠B'DC=90°-∠B'DC,∴∠DB'C=∠B'DC,∴B'C=B'D,∵BC=CD,B'C=B'D,∠B'CB=∠B'DC,∠B'DA=∠B'DC,∴∠B'CB=∠B'DA;(8分)(2)解:过点B'作B'G⊥AD于G,B'H⊥CD于H,设AG=x,DG=4-x,B'G=y,∵AB'=AB=4,∴x²+y²=16,∵B'E=BE=1,EC=3,∴(4-y)²+(4-x)²=9,解得x=2.4,y=3.2,∴B'D=√[(4-x)²+y²]=√[(1.6)²+(3.2)²]=√(2.56+10.24)=√12.8=(8√5)/5(6分)(1)解:∵PM⊥AC,PN⊥BC,∠C=90°,∴四边形PMCN是矩形,∵AC=6,BC=8,∴AB=10,∵PM=x,∴AM=(3/5)x,MC=6-(3/5)x,∵△AMP∽△ACB,∴PM/BC=AM/AC,∴PN=MC=6-(3/5)x,∴S=PM·PN=x(6-(3/5)x)=-(3/5)x²+6x(8分)(2)解:S=-(3/5)x²+6x=-(3/5)(x-5)²+15,∵0<x<8,∴当x=5时,S有最大值15,此时AM=3,MC=3,∴点P是AB的中点(6分)(1)解:设外接圆的圆心为M(h,k),∵A(-2,0),B(4,0),C(0,2√3),∴MA=MB=MC,∴(h+2)²+k²=(h-4)²+k²=(h)²+(k-2√3)²,解得h=1,k=0,∴圆心坐标为(1,0)(8分)(2)解:直线AC的解析式为y=√3x+2√3,圆心M(1,0)到直线AC的距离d=|√3×1-0+2√3|/√((√3)²+(-1)²)=|3√3|/2=(3√3)/2,∵圆的半径r=MA=3,∴点P到直线AC距离的最大值为d+r=(3√3)/2+3(8分)(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠AEF=∠CGF,∠AFE=∠CFG,∴△AEF∽△CGF;(4分)(2)解:∵AE=AF=1,AB=AD=4,∴BE=3,DF=3,∵AB∥CD,∴△AEH∽△DGH,∴AH/DH=AE/DG,∵AE=1,DG=CD+CG=4+CG,由△AEF∽△CGF得AE/CG=AF/CF=1/3,∴CG=3,DG=7,∴AH/DH=1/7,∵BD=4√3,∴DH=(7/8)BD=(7/8)×4√3=(7√3)/2(6分)(3)解:不变,S=3√3。设AE=AF=x,则BE=DF=4-x,由△AEF∽△CGF得AE/CG=AF/CF=x/(4-x),∴CG=(4-x)²/x,DG=4+(4-x)²/x=(x²-8x+16+4x)/x=(x²-4x+16)/x,∵△AEH∽△DGH,∴AH/DH=AE/DG=x/[(x²-4x+16)/x]=x²/(x²-4x+16),∴DH=BD×(x²-4x+16)/(x²+x²-4x+16)=4√3×(x²-4x+16)/(2x²-4x+16)=2√3×(x²-4x+16)/(x²-2x+8),过点H作HM⊥CD于M,HM=DH×sin30°=√3×(x²-4x+16)/(x²-2x+8),∴S△DGH=(1/2)×DG×HM=(1/2)×(x²-4x+16)/x×√3×(x²-4x+16)/(x²-2x+8)=(√3/2)×(x²-4x+16)²/[x(x²-2x+8)],化简得S=3√3(6分)(1)解:设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),将C(0,3)代入得3=a(0+1)(0-3)=-3a,∴a=-1,∴y=-x²+2x+3(4分)(2)解:直线BC的解析式为y=-x+3,设P(m,-m²+2m+3),E(m,-m+3),D(m,0),当点P在x轴上方时,PE=-m²+2m+3-(-m+3)=-m²+3m,DE=-m+3,由PE=2DE得-m²+3m=2(-m+3),解得m=2或m=3(舍),∴P(2,3);当点P在x轴下方时,PE=-m+3-(-m²+2m+3)=m²-3m,DE=m-3,由PE=2DE得m²-3m=2(m-3),解得m=2(舍)或m=3(舍),∴P(2,3)(8分)(3)解:点B'不在抛物线上。过点B'作B'N⊥x轴于N,∵P(2,3),B(3,0),∴PB=√[(3-2)²+(0-3)²]=√10,tan∠PBD=3/1=3,∴∠PBD=71.57°,∴∠PB'N=180°-2×71.57°=36.86°,B'N=PB'×sin∠PB'N=√10×0.6=(3√10)/5,PN=PB'×cos∠PB'N=√10×0.8=(4√10)/5,ON=2+PN=2+(4√10)/5≈2+2.53=4.53,∴B'(4.53,1.89),代入抛物线y=-x²+2x+3得y≈-20.52+9.06+3=-8.46≠1.89,∴点B'不在抛物线上(8分)(1)证明:连接CD,∵AC=BC,∠ACB=90°,D是AB中点,∴CD=AD=BD,∠ACD=∠BCD=45°,∠A=∠B=45°,∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,∵∠ADC=90°,∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°,∴△DEF是等腰直角三角形;(5分)(2)解:AE=x,CE=4-x,CF=x,BF=4-x,S△ADE=(1/2)AE·AD·sin45°=(1/2)x·2√2·√2/2=x,同理S△CDF=x,S△BEF=(1/2)(4-x)²,S△ABC=8,∴S△DEF=8-2x-(1/2)(4-x)²=-(1/2)x²+2x,∵0<x<4,∴当x=2时,Smax=2;当x=0或4时,Smin=0,∴0<S≤2(5分)(3)解:不变,S=4。S四边形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ACD=(1/2)S△ABC=4(5分)(4)解:当△CEF∽△CAB时,CE/CF=CA/CB=1,∴4
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