2025年下学期初中数学竞赛面积方法试卷

2025年下学期初中数学竞赛面积方法试卷一、选择题（每题5分，共30分）已知△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，若AD是中线，则△ABD的面积为（）A.6B.12C.24D.30菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长为4，则菱形两条对角线的乘积是（）A.16B.16√3C.32D.32√3如图1，平行四边形ABCD的面积为48，E、F分别是AB、AD的中点，则△CEF的面积是（）A.12B.16C.18D.24两个相似三角形的面积比为4:9，若其中较小三角形的周长为12，则较大三角形的周长是（）A.16B.18C.24D.27如图2，△ABC中，点D在BC上，BD:DC=2:3，E是AD中点，则S△ABE:S△ABC=（）A.1:5B.1:4C.2:5D.2:7正方形ABCD中，E为BC边上一点，BE=2EC，连接AE交BD于F，则S△AFD:S四边形CEFD=（）A.3:5B.4:5C.9:11D.9:16二、填空题（每题5分，共30分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，对应边上的高分别为4、5、3，则a:b:c=______。如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，若S△AOD=4，S△BOC=9，则梯形ABCD的面积是______。等边三角形边长为2，点P是三角形内任意一点，则P到三边距离之和为______。如图4，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为CD中点，BF=2FC，则△AEF的面积是______。两个三角形有一个角互补，且夹这个角的两边乘积之比为3:4，则这两个三角形面积比是______。如图5，△ABC面积为1，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，顺次连接D、E、F得到△DEF，再顺次连接△DEF各边中点得到新三角形，则这个新三角形的面积是______。三、解答题（共40分）（8分）用面积法证明：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。（10分）如图6，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，设BD=x，四边形AEDF面积为S。（1）求S关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？（10分）如图7，正方形ABCD边长为8，E是BC中点，F是CD上一点，CF=2，连接AE、AF、EF。（1）求△AEF的面积；（2）若P是AE上一动点，当点P运动到什么位置时，△PBF的面积等于15？（12分）如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D、E分别在AC、BC上，AD=CE=2，连接BD、AE交于点F。（1）求△ABF的面积；（2）若点M在AB上，且△MEF的面积等于△ABC面积的1/6，求AM的长。四、拓展题（共20分）（10分）如图9，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，S△AOB=4，S△COD=9，求四边形ABCD面积的最小值。（10分）如图10，△ABC中，点P是BC边上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F，连接EF。（1）求证：S△AEF是S△BPF和S△CPE的比例中项；（2）若S△ABC=12，当BP:PC为何值时，四边形AFPE面积最大？最大值是多少？参考答案及评分标准一、选择题A解析：S△ABC=6×4÷2=12，AD是中线，S△ABD=12÷2=6C解析：设对角线AC=2x，BD=2y，由菱形性质得x²+y²=16，∠BAD=60°得60°角所在三角形面积关系：(1/2)×2x×2y×sin60°=4×(√3/4)×4²，解得xy=8，AC×BD=4xy=32C解析：连接AC，S△ABC=24，E是AB中点得S△BCE=12；同理S△CDF=12；F是AD中点得S△AEF=6；S△CEF=48-12-12-6=18B解析：相似比为2:3，周长比=相似比，12÷2×3=18A解析：连接CE，设S△CDE=3k，则S△BDE=2k，E是AD中点得S△ABE=S△BDE=2k，S△ABC=2k+2k+3k=7k，S△ABE:S△ABC=2:7（原答案修正）C解析：设正方形边长3a，S△ABD=(9a²)/2，BE=2a，AD∥BC得AF:FE=AD:BE=3:2，S△AFD=(3/5)S△ABD=(27a²)/10，S四边形CEFD=9a²-S△ABE-S△AFD=9a²-3a²-(27a²)/10=(33a²)/10，比值为9:11二、填空题15:12:20解析：设面积为S，a=2S/4=S/2，b=2S/5，c=2S/3，a:b:c=1/2:1/5:1/3=15:12:2025解析：由相似三角形性质得AO:OC=2:3，S△AOB=S△DOC=6，总面积=4+9+6+6=25√3解析：设距离分别为h1、h2、h3，面积关系得(2h1+2h2+2h3)/2=(√3/4)×2²，h1+h2+h3=√310解析：S矩形=48，S△ADE=12，S△ECF=4，S△ABF=18，S△AEF=48-12-4-18=14（原答案修正）3:4解析：S1=(1/2)absinθ，S2=(1/2)cdsin(180°-θ)=(1/2)cdsinθ，S1:S2=ab:cd=3:41/16解析：每次连接中点得到的三角形面积是原三角形的1/4，经过两次后面积为1×(1/4)²=1/16三、解答题证明：连接DE，设△ABC中，D、E分别是AB、AC中点∵D是AB中点，∴S△ADC=S△BDC=S△ABC/2同理S△AEB=S△CEB=S△ABC/2∴S△ADC=S△AEB，都减去S△AED得S△CDE=S△BDE∵△CDE和△BDE共底边DE，∴点B、C到DE距离相等∴DE∥BC（4分）延长DE到F使EF=DE，连接CF，易证△ADE≌△CFE∴CF=AD=BD，四边形BCFD是平行四边形∴DF=BC，DE=DF/2=BC/2（8分）解：（1）作AG⊥BC于G，AB=AC=5，BC=6得BG=3，AG=4BD=x，则DC=6-x，DE⊥AB，DF⊥AC由△BDE∽△BAG得DE=(4/5)x同理DF=(4/5)(6-x)（3分）S△BDE=(1/2)×x×(4/5)x=(2/5)x²S△CDF=(1/2)×(6-x)×(4/5)(6-x)=(2/5)(6-x)²S=S△ABC-S△BDE-S△CDF=12-(2/5)[x²+(6-x)²]=12-(2/5)(2x²-12x+36)=-(4/5)x²+(24/5)x+12/5（6分）（2）S=-(4/5)(x²-6x)+12/5=-(4/5)(x-3)²+12当x=3时，S有最大值12（10分）解：（1）建立坐标系，A(0,8)，B(8,8)，C(8,0)，D(0,0)E(8,4)，F(6,0)（2分）直线AE：y=-0.5x+8直线AF：y=(4/3)x+8直线EF：y=2x-12（4分）AE=√(8²+4²)=4√5，点F到AE距离d=|-0.5×6-0+8|/√(0.25+1)=5/√5=√5S△AEF=(4√5×√5)/2=10（5分）（2）设P(t,-0.5t+8)，B(8,8)，F(6,0)S△PBF=|(8×8+6×(-0.5t+8)+t×0)-(8×6+8×t+0×(-0.5t+8))|/2=|64-3t+48-48-8t|/2=|64-11t|/2=15解得t=(64±30)/11，t=8（舍去）或t=34/11∴P(34/11,8-17/11)=(34/11,71/11)，即AP:PE=34/11:(88/11-34/11)=34:54=17:27（10分）解：（1）建立坐标系，C(0,0)，A(0,6)，B(6,0)D(0,4)，E(2,0)（2分）直线BD：y=-(2/3)x+4直线AE：y=-3x+6（4分）交点F(6/7,24/7)（6分）S△ABF=S△ABC-S△ADF-S△BEF-S四边形DCEF=18-(1/2×2×6/7)-(1/2×4×12/7)-(2×4-1/2×2×4/7)=18-6/7-24/7-8+4/7=10-26/7=44/7（8分）（2）设M(m,6-m)，△MEF面积=18×1/6=3S△MEF=|(6/7×0+2×(6-m)+m×24/7)-(24/7×2+0×m+(6-m)×6/7)|/2=3解得m=3±√2，AM=√(m²+(m-6)²)=√(2m²-12m+36)=√(2(9±6√2+2)-36±12√2+36)=√(22±12√2-36±12√2+36)=√(22±24√2)（此处计算复杂，可简化为AM=3√2±2）（12分）四、拓展题解：设S△AOD=m，S△BOC=n由蝴蝶定理得m/n=(S△AOD/S△COD)=(S△AOB/S△BOC)=4/9，设m=4k，n=9k（4分）S四边形ABCD=4+9+4k+9k=13+13k≥13+13×2=39（当且仅当k=1时取等号）（8分）最小值为39（10分）（1）证明：设BP:PC=m:n，PE∥AB得△CPE∽△CBA，S△CPE=(n/(m+n))²S同理S△BPF=(m/(m+n))²S（3分）S△AEF=S四边形AFPE/2=[S-(m²+n²)/(m+n)²S]/2=mn/(m+n)²S（5分）(S△AEF)²=m²n²/(m+n)^4S²=S△BPF·S△CPE，得证（6分）（2）设BP:PC=x:1，S四边形AFPE=S-S△BPF-S△CPE=12[1-x²/(x+1)²-1/(x+1)²]=12[(x+1