2025年下学期初中数学竞赛人机对战试卷

2025年下学期初中数学竞赛人机对战试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1.已知集合A={x|x²-4x+3＜0}，集合B={x|2x-5＞0}，则A∩B=（）A.（1，3）B.（2.5，3）C.（1，2.5）D.（3，+∞）2.若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像经过点（-1，2）、（0，1）、（1，-2），则a+b+c=（）A.-2B.-1C.0D.13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D为AB中点，以CD为直径作圆，与AC交于点E，则AE的长度为（）A.1.2B.1.5C.1.8D.2.44.已知正整数a、b满足a+b=2025，且a²+b²=2025²-2024，ab的值为（）A.1012B.2024C.4048D.80965.若关于x的方程x³-3x²+mx-1=0的三个根成等差数列，则m=（）A.2B.3C.4D.56.在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与双曲线y=6/x交于点A（m，3）和B（-2，n），则△AOB的面积为（）A.6B.7.5C.9D.127.已知sinα+cosα=√2/2，α∈（0，π），则tanα=（）A.-1B.1-√2C.1+√2D.-（2+√3）8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其体积为（）A.12πB.16πC.20πD.24π9.从1到2025的所有整数中，能被3或5整除的数的个数为（）A.810B.910C.1010D.111010.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先胜3局者获胜，比赛终止。已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且各局比赛相互独立，则甲以3:1获胜的概率为（）A.0.2592B.0.3456C.0.432D.0.5184二、填空题（共6题，每题6分，共36分）11.计算：（2025²-2024×2026）+（√5-2）²⁰²⁴×（√5+2）²⁰²⁵=________。12.如图，圆O的半径为5，弦AB=8，点P为劣弧AB上一动点，连接PA、PB，则PA²+PB²的最大值为________。13.若多项式x⁴+ax³+bx²+cx+d能被（x-1）³整除，则a+b+c+d=________。14.在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，△ADE与四边形BCED的面积比为1:3，则DE=________。15.已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-2025|，则f（x）的最小值为________。16.现有10个不同的小球，放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，且第1个盒子放2个小球，第2个盒子放3个小球，则不同的放法共有________种。三、解答题（共5题，共90分）17.（16分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n·2ⁿ（n∈N*）。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an/2ⁿ，求数列{bn}的前n项和Sn。18.（18分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，点M为PC中点。（1）求证：BM⊥AC；（2）求二面角B-AM-C的余弦值。19.（18分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的离心率为√3/2，且过点（2，1）。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过原点O，求直线l的方程。20.（20分）已知函数f（x）=eˣ-ax²-2x（a∈R）。（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在最小值，求a的取值范围。21.（18分）某科技公司研发了一款AI数学竞赛系统，其题库包含代数、几何、数论、组合四个模块，各模块题目数量之比为4:3:2:1。现从题库中随机抽取n道题组成试卷，且每个模块至少抽取1道题。（1）求n的最小值；（2）若n=10，求抽取的题目中代数模块不少于3道且几何模块不多于2道的概率。四、附加题（共2题，每题25分，共50分，不计入总分，供学有余力的学生选做）22.已知正整数n≥2，证明：（1+1/2²）（1+1/3²）…（1+1/n²）＜2。23.在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（-1，0），点P为动点，且|PA|+|PB|=4，记点P的轨迹为Γ。过点Q（1，1）作直线l与Γ交于M、N两点，若线段MN的中点为R，求点R的轨迹方程。参考答案及解析一、选择题B解析：解集合A得1＜x＜3，解集合B得x＞2.5，故A∩B=（2.5，3）。A解析：代入三点坐标得方程组，解得a=-2，b=-1，c=1，a+b+c=-2。C解析：AB=10，CD=5，圆半径为2.5，连接DE，△CDE∽△CBA，CE=（CD/AB）×BC=4.2，AE=AC-CE=1.8。A解析：由（a+b）²=a²+2ab+b²得2025²=2025²-2024+2ab，解得ab=1012。C解析：设三根为a-d、a、a+d，由韦达定理得3a=3，a=1，代入得m=（a-d）a+a（a+d）+（a-d）（a+d）=4。B解析：代入点A、B得m=2，n=-3，直线方程为y=1.5x，与x轴交于原点，面积=（2×3+2×3）/2=7.5。D解析：平方得sin2α=-1/2，α=105°，tanα=tan（60°+45°）=-（2+√3）。C解析：三视图为圆柱挖去半球，体积=π×3²×4-（2/3）π×3³=20π。B解析：能被3整除的数有675个，能被5整除的有405个，能被15整除的有135个，总数=675+405-135=910。A解析：甲以3:1获胜需前3局2胜1负，第4局胜，概率=C(3,2)×0.6²×0.4×0.6=0.2592。二、填空题11.√5+2解析：前项=2025²-（2025²-1）=1，后项=（√5+2）×[（√5-2）（√5+2）]²⁰²⁴=√5+2，总和=√5+3。12.80解析：设P（x，y），PA²+PB²=2（x²+y²）+AB²/2=50+32=82（此处修正：应为2×5²+8²/2=50+32=82，原答案有误）。13.-1解析：设f（x）=（x-1）³（x+m），展开得a=-3-m，b=3+2m，c=-1-3m，d=m，令x=1得f（1）=0=a+b+c+d。14.4解析：面积比=1:4，相似比=1:2，DE=BC×1/2=4。15.512568解析：当x=1013时，f（x）=2（1+2+…+1012）=1012×1013=512568。16.25200解析：分三步：C(10,2)×C(8,3)×A(2,2)=45×56×2=5040（原答案有误，应为C(10,2)×C(8,3)×2!×2!=45×56×2×2=10080）。三、解答题17.（1）由递推公式得an=（n²-n+2）·2ⁿ⁻²；（2）Sn=（n²-3n+4）·2ⁿ⁻¹-2。18.（1）建立坐标系，证明向量BM·AC=0；（2）法向量夹角余弦值=√15/5。19.（1）椭圆方程x²/8+y²/2=1；（2）直线方程y=±√2x+2。20.（1）单调递减区间（-∞，ln2），递增区间（ln2，+∞）；（2）a＞（e-2）/4。21.（1）n=1+2+3+4=10；（2）概率=（C(4,3)C(3,1)C(2,1)C(1,1)+C(4,4)C(3,1)C(2,1)C(1,1)）/C(10,10)=（4×3×2×1+1×3×2×1）/1=30（原答案有误，需用组合数分步计算）。四、附加题22.利用放缩法：1+1/k²＜k²/（k²-1）=k²/[（k-1）（k+1）]，连乘后得2n/（n+1）＜2。23.轨迹为椭圆x²/4+y²/3=1与直线x+4y=5的交点，消元得19x²-40x+16=