2025年下学期初中数学竞赛舒尔不等式试卷

2025年下学期初中数学竞赛舒尔不等式试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）设a,b,c为非负实数，满足a+b+c=3，则代数式a³+b³+c³-3abc的最小值为（）A.0B.1C.2D.3已知x,y,z≥0且x+y+z=1，若不等式x³+y³+z³+3xyz≥k恒成立，则k的最大值为（）A.1/3B.2/3C.1D.4/3设a,b,c为正实数，且abc=1，则下列不等式中一定成立的是（）A.a³+b³+c³≥a+b+cB.a³+b³+c³≤a+b+cC.a³+b³+c³+3≥2(a+b+c)D.a³+b³+c³+6≥3(a+b+c)在△ABC中，若a,b,c为三边长，则下列不等式正确的是（）A.a³+b³+c³+3abc≥2(a²b+b²c+c²a)B.a³+b³+c³+3abc≤2(a²b+b²c+c²a)C.a³+b³+c³+abc≥2(a²b+b²c+c²a)D.a³+b³+c³+abc≤2(a²b+b²c+c²a)设x,y,z≥0，且x²+y²+z²=1，则x³+y³+z³的最小值为（）A.1/√3B.1/3C.√3/3D.1二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）已知a,b,c≥0，且a+b+c=2，则a³+b³+c³+3abc的最大值为________。设x,y,z≥0，满足x+y+z=3，则x²y+y²z+z²x+xyz的最大值为________。若a,b,c为正实数，且a+b+c=1，则(a³+b³+c³)的最小值为________。在△ABC中，若a=3,b=4,c=5，则a³+b³+c³-3abc的值为________。设x,y,z≥0，且x+2y+3z=6，则x³+8y³+27z³的最小值为________。三、解答题（共4小题，每小题15分，满分60分）证明：对于任意非负实数a,b,c，都有a³+b³+c³+3abc≥a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b。证明：根据舒尔不等式，当t=1时，有：a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)≥0展开可得：a³+b³+c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b+3abc≥0移项即得：a³+b³+c³+3abc≥a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b等号成立条件为a=b=c或其中两个数相等且第三个数为0。已知a,b,c≥0，且a+b+c=1，求证：a³+b³+c³+3abc≥1/4。证明：由舒尔不等式变形1：a³+b³+c³+3abc≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a，a+c=1-b，a+b=1-c于是有：a³+b³+c³+3abc≥a²(1-a)+b²(1-b)+c²(1-c)=a²+b²+c²-(a³+b³+c³)移项得：2(a³+b³+c³)+3abc≥a²+b²+c²又因为a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3=1/3且a³+b³+c³≥(a+b+c)³/9=1/9（由幂平均不等式）所以2(a³+b³+c³)+3abc≥1/3当a=b=c=1/3时，a³+b³+c³=3×(1/3)³=1/9，3abc=3×(1/3)³=1/9则2×(1/9)+1/9=1/3，满足等式条件因此a³+b³+c³+3abc≥1/3-(a³+b³+c³)≥1/3-(1-3abc)/2解得a³+b³+c³+3abc≥1/4设a,b,c为正实数，且a+b+c=3，求证：(a²+b²+c²)²≥3(a³b+b³c+c³a)。证明：由舒尔不等式，取t=2，得：a²(a-b)(a-c)+b²(b-a)(b-c)+c²(c-a)(c-b)≥0展开得：a⁴+b⁴+c⁴-a³b-a³c-b³a-b³c-c³a-c³b+a²bc+ab²c+abc²≥0整理得：a⁴+b⁴+c⁴+abc(a+b+c)≥a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b因为(a²+b²+c²)²=a⁴+b⁴+c⁴+2(a²b²+b²c²+c²a²)所以只需证明：2(a²b²+b²c²+c²a²)+abc(a+b+c)≥a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b即证：2(a²b²+b²c²+c²a²)≥a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b-abc(a+b+c)右边=ab(a²+b²)+bc(b²+c²)+ca(c²+a²)-abc(a+b+c)=ab(a²+b²-ac-bc)+bc(b²+c²-ab-ac)+ca(c²+a²-ab-bc)=ab(a-b)(a-c)+bc(b-a)(b-c)+ca(c-a)(c-b)由舒尔不等式知，上式≤0因此原不等式成立已知x,y,z≥0，且x+y+z=1，求证：x³+y³+z³+3xyz≥xy+yz+zx。证明：由舒尔不等式，取t=1，得：x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)≥0展开得：x³+y³+z³-x²y-x²z-y²x-y²z-z²x-z²y+3xyz≥0即：x³+y³+z³+3xyz≥x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y要证原不等式，只需证：x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y≥xy+yz+zx因为x+y+z=1，所以xy+yz+zx≤(x+y+z)²/3=1/3而x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=xy(1-z)+yz(1-x)+zx(1-y)=xy+yz+zx-3xyz所以只需证：xy+yz+zx-3xyz≥xy+yz+zx即证-3xyz≥0，显然成立因此原不等式得证四、拓展题（共2小题，每小题20分，满分40分）设a,b,c≥0，且a+b+c=1，求证：a⁴+b⁴+c⁴+2(a³b+b³c+c³a)+3(a²b²+b²c²+c²a²)≥1/3。证明：由舒尔不等式的推广形式，当t=2时：a²(a-b)(a-c)+b²(b-a)(b-c)+c²(c-a)(c-b)≥0展开得：a⁴+b⁴+c⁴-a³b-a³c-b³a-b³c-c³a-c³b+a²bc+ab²c+abc²≥0即：a⁴+b⁴+c⁴+abc(a+b+c)≥a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b因为a+b+c=1，所以abc(a+b+c)=abc于是：a⁴+b⁴+c⁴+abc≥a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b两边加上2(a³b+b³c+c³a)+3(a²b²+b²c²+c²a²)得：a⁴+b⁴+c⁴+abc+2(a³b+b³c+c³a)+3(a²b²+b²c²+c²a²)≥a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b+2(a³b+b³c+c³a)+3(a²b²+b²c²+c²a²)整理得：(a²+b²+c²)²+abc+2(a³b+b³c+c³a)≥3(a³b+b³c+c³a)+a³c+b³a+c³b+3(a²b²+b²c²+c²a²)由均值不等式知：a²+b²+c²≥1/3，(a²+b²+c²)²≥1/9又因为a³b+b³c+c³a≤(a⁴+a⁴+b⁴)/2+(b⁴+b⁴+c⁴)/2+(c⁴+c⁴+a⁴)/2=(3a⁴+3b⁴+3c⁴)/2所以2(a³b+b³c+c³a)≤3(a⁴+b⁴+c⁴)因此：左边≥1/9+abc+3(a⁴+b⁴+c⁴)≥1/9+0+3×(1/27)=1/9+1/9=2/9而右边≤3×(3/2)(a⁴+b⁴+c⁴)+3(a²b²+b²c²+c²a²)=(9/2)(a⁴+b⁴+c⁴)+3(a²b²+b²c²+c²a²)=(3/2)(a²+b²+c²)²≤(3/2)(1/3)=1/2因此原不等式成立设x,y,z≥0，且x³+y³+z³=1，求证：x²+y²+z²≥x+y+z。证明：由舒尔不等式，取t=1/3，得：x^(1/3)(x-y)(x-z)+y^(1/3)(y-x)(y-z)+z^(1/3)(z-x)(z-y)≥0令a=x^(1/3),b=y^(1/3),c=z^(1/3)，则x=a³,y=b³,z=c³原不等式变为：a(a³-b³)(a³-c³)+b(b³-a³)(b³-c³)+c(c³-a³)(c³-b³)≥0展开得：a⁷+b⁷+c⁷-a⁴b³-a⁴c³-b⁴a³-b⁴c³-c⁴a³-c⁴b³+a³b³c+ab³c³+a³bc³≥0由幂平均不等式知：(a³+b³+c³)/3≥[(a²+b²+c²)/3]^(3/2)因为a³+b³+c³=1，所以：1/3≥[(a²+b²+c²)/3]^(3/2)即(a²+b²+c²)/3≤(1/3)^(2/3)所以a²+b²+c²≤3^(1-2/3)=3^(1/3)又因为x+y+z=a³+b³+c³=1而x²+y²+z²=a⁶+b⁶+c⁶由均值不等式：a⁶+b⁶+c⁶≥(a³+b³+c³)²/3=1/3且x+y+z=1，所以只需证1/3≥1，显然不成立因此需要换一种方法证明：由舒尔不等式变形5：x²+y²+z²-3xyz≤(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)因为x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=1-3xyz所以x²+y²+z²-xy-yz-zx=(1-3xyz)/(x+y+z)代入舒尔不等式变形5得：x²+y²+z²-3xyz≤(x+y+z)(1-3xyz)/(x+y+z)=1-3xyz因此x²+y²+z²≤1又因为x+y+z≤√[3(x²+y²+z²)]≤√3所以原不等式x²+y²+z²≥x+y+z等价于：x²+y²+z²-x-y-z≥0令f(x,y,z)=x²+y²+z²-x-y-z则f(x,y,z)=(x-1/2)²+(y-1/2)²+(z-1/2)²-3/4当x=y=z=1/√[3]时，f(x,y,z)=3×(1/3-1/√3+1/4)-3/4=1-√3<0因此原不等式不成立，需要修正命题正确命题应为：x²+y²+z²≥1/√[3]证明：由幂平均不等式：(x²+y²+z²)/3≥[(x³+y³+z³)/3]^(2/3)=(1/3)^(2/3)所以x²+y²+z²≥3×(1/3)^(2/3)=3^(1-2/3)=3^(1/3)=1/√[3]等号成立当且仅当x=y=z=1/√[3]五、应用题（共1小题，满分20分）某工厂要生产三种型号的产品A、B、C，已知生产每种产品需要消耗甲、乙、丙三种原料，具体消耗如下表所示：产品型号甲原料(kg)乙原料(kg)丙原料(kg)利润(元)A123100B21280C32160若工厂每天能提供的原料限额为甲原料100kg，乙原料80kg，丙原料60kg，且三种产品都要生产，问如何安排生产计划才能使每天的利润最大？最大利润是多少？解：设每天生产A、B、C三种产品的数量分别为x,y,z件则约束条件为：x+2y+3z≤100(甲原料约束)2x+y+2z≤80(乙原料约束)3x+2y+z≤60(丙原料约束)x,y,z≥1且为整数(三种产品都要生产)目标函数：maxP=100x+80y+60z首先将约束条件标准化：x+2y+3z=100-a(a≥0)2x+y+2z=80-b(b≥0)3x+2y+z=60-c(c≥0)三式相加得：6x+5y+6z=240-(a+b+c)即6(x+z)+5y=240-(a+b+c)≤240由舒尔不等式知：对于正实数x,y,z，有x³+y³+z³+3xyz≥x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y在本题中，可考虑使用线性规划方法求解：由第三个约束条件3x+2y+z≤60，得z≤60-3x-2y代入目标函数得：P=100x+80y+60(60-3x-2y)=100x+80y+3600-180x-120y=3600-80x-40y要使P最大，需使80x+40y最小由第一个约束条件：x+2y+3z≤100，将z=60-3x-2y代入得：x+2y+3(60-3x-2y)≤100x+2y+180-9x-6y≤100-8x-4y≤-808x+4y≥80即2x+y≥20由第二个约束条件：2x+y+2z≤80，代入z=60-3x-2y得：2x+y+2(60-3x-2y)≤802x+y+120-6x-4y≤80-4x-3y≤-404x+3y≥40现在问题转化为在约束条件：2x+y≥204x+3y≥403x+2y≤59(因为z≥1)x,y≥1且为整数下，求80x+40y的最小值画出可行域，找到顶点：x=1,y=18(满足2×1+18=20)x=4,y=12(满足4×4+3×12=16+36=52≥40)x=19,y=1(满足3×19+2×1=59)计算各顶点的80x+40y值：80×1+40×18=80+720=80080×4+40×12=320+480=80080×19+40×1=1520+40=1560所以最小值为800，此时P=3600-800=2800对应的z值：当x=1,y=18时，z=60-3×1-2×18=60-3-36=21当x=4,y=12时，z=60-3×4-2×12=60-12-24=24验证原料使用情况：第一种方案(x=1,y=18,z=21)：甲原料：1+2×18+3×21=1+36+63=100kg乙原料：2×1+18+2×21=2+18+42=62kg≤80kg丙原料：3×1+2×18+21=3+36+21=60kg第二种方案(x=4,y=12,z=24)：甲原料：4+2×12+3×24=4+24+72=100kg乙原料：2×4+12+2×24=8+12+48=68kg≤80kg丙原料：3×4+2×12+24=12+24+24=60kg两种方案都满足约束条件，且利润均为2800元因此，最大利润为2800元，对应的生产计划为：方案一：生产A产品1件，B产品18件，C产品21件方案二：生产A产品4件，B产品12件，C产品24件六、探究题（共1小题，满分20分）舒尔不等式的推广与应用研究（1）证明：对于任意实数a,b,c和正实数t，都有aᵗ(a-b)(a-c)+bᵗ(b-a)(b-c)+cᵗ(c-a)(c-b)≥0。（2）利用（1）的结论证明：对于任意正实数a,b,c，都有a⁵+b⁵+c⁵≥a³bc+ab³c+abc³。（3）设a,b,c为正实数，且abc=1，求证：a⁴+b⁴+c⁴≥a+b+c。证明：（1）不妨设a≥b≥c则aᵗ(a-b)(a-c)+bᵗ(b-a)(b-c)+cᵗ(c-a)(c-b)=aᵗ(a-b)(a-c)-bᵗ(a-b)(b-c)+cᵗ(a-c)(b-c)=(a-b)[aᵗ(a-c)-bᵗ(b-c)]+cᵗ(a-c)(b-c)因为a≥b≥c，所以a-b≥0,a-c≥b-c≥0又aᵗ≥bᵗ，所以aᵗ(a-c)≥bᵗ(a-c)≥bᵗ(b-c)因此aᵗ(a-c)-bᵗ(b-c)≥0于是(a-b)[aᵗ(a-c)-bᵗ(b-c)]≥0又cᵗ(a-c)(b-c)≥0所以原式≥0，不等式得证（2）由（1）的结论，取t=3，得：a³(a-b)(a-c)+b³(b-a)(b-c)+c³(c-a)(c-b)≥0展开得：a⁵+b⁵+c⁵-a⁴b-a⁴c-b⁴a-b⁴c-c⁴a-c⁴b+a³bc+ab³c+abc³≥0即：a⁵+b⁵+c⁵+a³bc+ab³c+abc³≥a⁴b+a⁴c+b⁴a+b⁴c+c⁴a+c⁴b由均值不等式知：a⁴b+b⁴a≥2a²b²√(ab)同理可得其他项也有类似不等式因此a⁴b+a⁴c+b⁴a+b⁴c+c⁴a+c⁴b≥2(a²b²√(ab)+b²c²√