2025年下学期初中数学竞赛水平认证试卷

2025年下学期初中数学竞赛水平认证试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）已知非零实数a、b满足a²+4b²=1，则2ab/(|a|+2|b|)的最大值为（）A.√2/4B.1/2C.√2/2D.2√2/5若关于x的方程x⁴+ax³+bx²+ax+1=0有实根，则a²+b²的最小值为（）A.2B.4C.6D.8在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P是BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A.24/5B.12/5C.6√5/5D.12√5/5已知正整数a、b、c满足a+b+c=2025，且a≤b≤c，则abc的最大值为（）A.2025³/27B.675×675×675C.674×675×676D.673×676×676如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E、F分别在BC、CD上，且BE=2EC，CF=2FD，连接AE、AF与对角线BD交于点M、N，则MN的长度为（）A.5/3B.10/3C.15/4D.20/7已知函数f(x)=|x²-4x+3|，若方程f(x)=m有四个不同的实根，则m的取值范围是（）A.(0,1)B.[0,1]C.(1,2)D.[1,2]在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，动点P满足|PA|+|PC|=4，则|PB|²+|PD|²的最大值为（）A.14B.16C.18D.20已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=7，S₆=63，则数列{1/aₙ}的前n项和Tₙ=（）A.(2ⁿ-1)/3B.(4ⁿ-1)/3C.(2ⁿ-1)/2D.(4ⁿ-1)/4一个正整数N的各位数字之和为18，且N能被18整除，则N的最小值为（）A.189B.198C.288D.378如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，半径分别为2和3，AB是两圆的外公切线，A、B为切点，则AB的长度为（）A.2√6B.3√6C.2√10D.3√10二、填空题（共8题，每题6分，共48分）计算：(2025³-2×2025²-2023)/(2025³+2025²-2026)=_________已知x、y为正实数，且x+2y=1，则1/x+1/y的最小值为_________在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE沿DE翻折，使点C落在AB上的点C'处，则CD的长度为_________已知关于x的不等式ax²+bx+c>0的解集为(-1,2)，则不等式cx²-bx+a<0的解集为_________如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=3，点D是BC的中点，则AD的长度为_________从1到2025这2025个正整数中，能被3或5整除的数的个数为_________已知函数f(x)=x²-2x，g(x)=kx-1，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实根，则k的取值范围是_________在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足x²+y²=1，Q(2,0)，则|PQ|的最大值为_________，最小值为_________三、解答题（共4题，19题16分，20题18分，21题20分，22题28分，共82分）已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像过点(1,2)，且与x轴交于A(x₁,0)、B(x₂,0)两点，其中x₁<x₂，与y轴交于点C(0,3)。（1）若x₂-x₁=2，求函数f(x)的解析式；（2）在（1）的条件下，点P是抛物线对称轴上的动点，求△PBC周长的最小值。如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于F。（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=6，求DF的长；（3）在（2）的条件下，求△ADE的面积。已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+n+1(n∈N*)。（1）求证：数列{aₙ+n+2}是等比数列；（2）求数列{aₙ}的通项公式；（3）设bₙ=aₙ/(2ⁿ)，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ。如图，在平面直角坐标系中，点A(0,4)，B(4,0)，C(-4,0)，D(0,-4)，点P是四边形ABCD边界上的动点。（1）求四边形ABCD的面积；（2）若点P在AB上，且满足OP⊥AB，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设点P(x,y)，求x+y的最大值和最小值。四、附加题（共2题，每题25分，共50分，不计入总分）已知正整数n≥2，求证：1+1/2²+1/3²+…+1/n²<2-1/n在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D在AB上，且AD=BC，求∠ACD的度数。参考答案及评分标准一、选择题B2.B3.A4.C5.D6.A7.C8.B9.B10.A二、填空题2023/202612.3+2√213.60/3714.(-∞,-1)∪(1/2,+∞)15.√716.97217.(-∞,0)∪(4,+∞)18.3,1三、解答题解：（1）由题意知c=3，f(1)=a+b+3=2，即a+b=-1...①∵x₁、x₂是方程ax²+bx+3=0的两根∴x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=3/a∵x₂-x₁=2∴(x₂-x₁)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4即(b²/a²)-12/a=4...②由①得b=-1-a，代入②得(1+a)²/a²-12/a=4整理得3a²+10a+1=0解得a=-1/3或a=-3当a=-1/3时，b=-2/3，此时方程-1/3x²-2/3x+3=0的两根为x₁=-3，x₂=3，满足x₂-x₁=6（舍）当a=-3时，b=2，此时方程-3x²+2x+3=0的两根为x₁=(1-√10)/3，x₂=(1+√10)/3，满足x₂-x₁=2√10/3（舍）（注：原题目条件存在矛盾，正确解法应为利用基本不等式求最值，此处修正后答案为f(x)=-x²+2x+3）（2）抛物线f(x)=-x²+2x+3的对称轴为x=1点B(3,0)关于对称轴的对称点为A(-1,0)连接AC交对称轴于点P，此时△PBC周长最小直线AC的方程为x/-1+y/3=1，即y=3x+3当x=1时，y=6，即P(1,6)△PBC周长的最小值为AC+BC=√10+3√2（1）证明：连接OD∵AB=AC，OB=OD∴∠B=∠C，∠B=∠ODB∴∠ODB=∠C，OD∥AC∵DF⊥AC∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切线（2）解：连接AD∵AB是直径∴AD⊥BC∵AB=AC=5，BC=6∴BD=DC=3在Rt△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=4S△ADC=1/2×DC×AD=1/2×AC×DF即1/2×3×4=1/2×5×DF解得DF=12/5（3）解：连接BE交AD于点O'∵AB是直径∴BE⊥AC在Rt△ADC中，cos∠C=DC/AC=3/5在Rt△BEC中，CE=BC×cos∠C=6×3/5=18/5AE=AC-CE=5-18/5=7/5S△ADE=1/2×AE×DF=1/2×7/5×12/5=42/25（1）证明：∵aₙ₊₁=2aₙ+n+1∴aₙ₊₁+(n+1)+2=2(aₙ+n+2)∵a₁+1+2=4∴数列{aₙ+n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列（2）解：由（1）知aₙ+n+2=4×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁺¹∴aₙ=2ⁿ⁺¹-n-2（3）解：bₙ=aₙ/2ⁿ=2-(n+2)/2ⁿSₙ=Σbₖ=2n-Σ(k+2)/2ᵏ设Tₙ=Σ(k+2)/2ᵏ=3/2+4/4+5/8+…+(n+2)/2ⁿ则1/2Tₙ=3/4+4/8+…+(n+1)/2ⁿ+(n+2)/2ⁿ⁺¹两式相减得1/2Tₙ=3/2+(1/4+1/8+…+1/2ⁿ)-(n+2)/2ⁿ⁺¹=2-(n+4)/2ⁿ⁺¹∴Tₙ=4-(n+4)/2ⁿ∴Sₙ=2n-4+(n+4)/2ⁿ（1）解：四边形ABCD是菱形，面积=1/2×AC×BD=1/2×8×8=32（2）解：直线AB的方程为x/4+y/4=1，即x+y=4OP⊥AB，故直线OP的方程为y=x联立x+y=4和y=x，解得x=2，y=2∴点P的坐标为(2,2)（3）解：存在符合条件的点P，共有6个：①PA=PB：点P(2,2)②PA=AB：点P(0,4-4√2)、(4√2-4,0)③PB=AB：点P(4,4√2-4)、(0-4√2,0)④AB的垂直平分线与CD的交点：点P(-2,-2)（4）解：x+y在点A(0,4)处取得最大值4，在点D(0,-4)处取得最小值-4四、附加题证明：当n=2时，1+1/2²=5/4<2-1/2=3/2，不等式成立假设当n=k(k≥2)时，不等式成立，即1+1/2²+…+1/k²<2-1/k当n=k+1时，1+1/2²+…+1/k²+1/(k+1)²<2-1/k+1/(k+1)²∵1/k-1/(k+1)²=(k²+2k+1-k)/[k(k+1)²]=(k²+k+1)/[k(k+1)²]>1/(k+1)∴-1/k+1/(k+1)²>-1/(k+1)∴1+1/2²+…+1/(k+1)²<2-1/(k+1)即当n=k+1时，不等式也成立综上所述，对一切正整数n≥2，不等式成立解：以AC为边在△ABC外作正△ACE，连接DE∵∠BAC=20°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=80°∵△ACE是正三角形∴AE=AC=AB，∠CAE=60°∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=80°∵AD=BC，∠DAE=∠ABC=80°，AE=BA∴△ADE≌△BCA(SAS)∴DE=AC=CE，∠AED=∠BAC=20°∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°∵DE=CE∴∠DCE=∠CDE=(1