2025年下学期初中数学竞赛团队合作试卷

2025年下学期初中数学竞赛团队合作试卷一、团队协作解题环节（共40分）（一）接力计算题（每小题5分，共20分）第1棒：若正整数a、b满足a²+b²=25，且a>b，求a-b的值。第2棒：在第1棒结果为m的条件下，计算分式方程(\frac{x}{x-2}+\frac{m}{x+2}=1)的解。第3棒：在第2棒结果为n的条件下，已知二次函数y=x²-2nx+3的图像与x轴交于A、B两点，求线段AB的长度。第4棒：在第3棒结果为p的条件下，若反比例函数y=(\frac{k}{x})的图像经过边长为p的正方形中心，且k<0，求k的值。（二）协作证明题（20分）题目：如图，在平行四边形ABCD中，E为AD延长线上一点，连接BE交CD于点F，且CF=2DF。任务分工：成员甲：证明△EDF∽△BCF；成员乙：若AD=6，求DE的长度；成员丙：连接CE，若四边形ABCE的面积为45，求平行四边形ABCD的高（以BC为底）。二、跨模块综合题（共60分）（一）实际应用题（25分）背景：某社区计划修建一个矩形休闲广场，广场内部规划一个圆形花坛和一条宽度为1米的环形步道（如图所示）。已知矩形广场的长比宽多4米，环形步道面积是圆形花坛面积的(\frac{1}{2})，且花坛直径不超过矩形宽的一半。合作要求：团队共同设元并列出关于矩形宽x的方程（10分）；分组求解方程并验证解的合理性（7分）；根据计算结果设计广场布局图的关键尺寸（8分）。（二）动态探究题（35分）题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0≤t≤4）。协作任务：函数建模组：用含t的代数式表示线段PQ的长度；求出△PCQ面积S与t的函数关系式，并确定S的最大值。几何证明组：当t为何值时，△PQC与△ABC相似？证明：运动过程中线段PQ的中点M始终在某条定直线上。数据分析组：若将Q点速度改为vcm/s，当v为何值时，存在某一时刻t使PQ⊥AB？绘制S关于t的函数图像，并标注关键点坐标。三、创新挑战题（共50分）（一）方案设计题（25分）问题：某数学兴趣小组要制作一个由相同小正方体组成的几何体，要求从正面、左面、上面看到的平面图形如图所示（三视图中正方形边长均为1）。合作目标：确定搭建该几何体所需小正方体的最少个数和最多个数（10分）；用不同颜色给几何体表面涂色（底面不涂），若每个小正方体售价2元，每平方厘米涂色费用0.5元，设计总成本最低的方案（15分）。（二）开放探究题（25分）主题：斐波那契数列与黄金分割材料：斐波那契数列指1，1，2，3，5，8，13，21，…，其规律是从第三项起，每一项等于前两项之和。黄金分割比约为0.618，即(\frac{\sqrt{5}-1}{2})。探究任务：计算斐波那契数列前10项中，相邻两项比值(\frac{F_n}{F_{n+1}})的变化趋势，并与黄金分割比比较（10分）；用几何图形（如矩形、螺旋线）直观展示斐波那契数列与黄金分割的关系（8分）；举例说明黄金分割在建筑或艺术领域的应用（7分）。四、团队展示与答辩（共50分）（一）成果呈现（30分）以思维导图形式梳理本次竞赛涉及的数学知识点（10分）；制作PPT展示“动态探究题”的解题思路及结论，要求包含函数图像、几何图形和数据表格（15分）；提交一份团队协作记录，说明各成员在每个任务中的贡献（5分）。（二）问题答辩（20分）评委提问：针对“实际应用题”中方程建立的依据进行说明（8分）；跨题关联：分析“创新挑战题”中斐波那契数列与“动态探究题”中函数思想的共通性（7分）；反思改进：总结团队解题过程中遇到的最大困难及解决方案（5分）。参考答案及评分标准（仅供阅卷参考）一、团队协作解题环节（一）接力计算题a=4，b=3，a-b=1；x=(\frac{6}{5})；AB=2；k=-1（二）协作证明题略；2.DE=3；3.高=5二、跨模块综合题（一）实际应用题设宽为x米，方程：(\pi(\frac{x}{4})^2+\frac{1}{2}\pi(\frac{x}{4})^2=(x+4)x-(x-2)(x+2))解得x=12（x=-4舍去），花坛直径6米，步道宽1米矩形长16米、宽12米，花坛半径3米（二）动态探究题PQ=(\sqrt{(6-t)^2+(2t)^2})，S=-t²+6t，最大值9cm²t=(\frac{12}{7})或t=(\frac{30}{13})；MN所在直线：y=-2x+6v=(\frac{15}{8})；图像略三、创新挑战题（一）方案设计题最少9个，最多14个最少成本方案：底层5个正方体，中层3个，顶层1个，涂色面积32cm²，总成本20元（二）开放探究题比值逐渐趋近0.618；2.黄金矩形作图略；3.巴黎圣母院正面宽高比、《蒙娜丽莎》构图四、团队展示与答辩（根据实际表现酌情给分，重点考察逻辑完整性