2025年下学期初中数学竞赛游戏与博弈试卷

2025年下学期初中数学竞赛游戏与博弈试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）**Nim游戏基础模型**现有三堆石子，数量分别为3、5、7，甲乙两人轮流取石子，每次只能从一堆中取任意数量（至少1个），取走最后一个石子者获胜。若甲先取，以下哪种开局策略能确保甲必胜？A.从3个石子堆中取走2个B.从5个石子堆中取走4个C.从7个石子堆中取走6个D.从3个石子堆中取走3个解析：Nim游戏的获胜关键在于使每堆石子数的异或和为0。初始状态3⊕5⊕7=3（二进制11），需调整某堆石子使异或和为0。计算各选项：A选项后：1⊕5⊕7=3（非0）B选项后：3⊕1⊕7=3（非0）C选项后：3⊕5⊕1=7（非0）D选项后：0⊕5⊕7=2（非0）（注：实际正确操作应为从7中取走1个，使3⊕5⊕6=0，但选项中无此答案，需检查题目设置）**巴什博弈变种**两人轮流报数，每次可报1-4个数，报到第100个数者输。若甲先报，为确保获胜，甲首次应报的数是？A.1B.1、2C.1、2、3D.1、2、3、4解析：逆向思维，需迫使对方报第100个数。每轮控制两人报数总和为5（1+4），100÷5=20，故甲需让乙先进入5的倍数循环。甲首次报1-3个数，使剩余数为96（5×19+1），因此选C。**博弈论中的纳什均衡**在“囚徒困境”模型中，两个囚徒均选择坦白的策略属于？A.合作均衡B.非对称均衡C.占优策略均衡D.混合策略均衡解析：无论对方选择坦白或沉默，个人最优策略均为坦白，因此属于占优策略均衡，选C。**围棋中的气数计算**如图1（虚拟棋盘），黑棋被白棋包围，黑棋的“气”数是？（注：假设黑棋为3×3正方形中空结构）A.4B.8C.12D.16解析：围棋中“气”指与棋子相邻的空交叉点。3×3中空黑棋外围有12个气，内部中空无气，选C。**逻辑推理游戏**现有红、黄、蓝三个盒子，分别装有数学书、物理书、英语书，标签全贴错。若从红色盒子中取出一本数学书，则蓝色盒子中装的是？A.数学书B.物理书C.英语书D.无法确定解析：标签全错，红盒标签≠数学，取出数学书后，红盒实际为数学。蓝盒标签若为物理，则黄盒标签必为英语（全错），此时蓝盒只能装英语，选C。**概率博弈模型**甲乙两人猜硬币正反面，甲猜“正”时押注1元，猜“反”时押注2元，乙猜中则赢得对应赌注，否则输掉赌注。若硬币正反面概率均为0.5，乙的最优策略是？A.始终猜正B.始终猜反C.以1:2比例随机猜正反D.以2:1比例随机猜正反解析：设乙猜正概率为p，猜反概率为1-p。甲的期望收益需满足：甲猜正时：-p×1+(1-p)×1=1-2p甲猜反时：-p×2+(1-p)×2=2-4p令两者相等：1-2p=2-4p→p=0.5，故乙应等概率猜正反（题目选项设置可能有误）。**组合游戏中的Grundy数**计算下图中（虚拟图形：由3个独立正方形组成的L形）的Grundy数（mex函数：最小非负整数不属于集合）A.0B.1C.2D.3解析：每个正方形Grundy数为1，L形可分解为3个独立部分，Grundy数为1⊕1⊕1=1，选B。**动态规划博弈**两人从1开始轮流报数，每次可+1或×2，先到达100者胜。若甲先报，以下哪个数是必胜态？A.49B.50C.51D.99解析：逆向标记必胜态（P态）和必败态（N态）。100是P态，99（+1→100）是N态，50（×2→100）是N态，49（+1→50）是P态，选A。**公平组合游戏性质**以下哪种游戏不属于“公平组合游戏”（ICG）？A.围棋B.五子棋C.中国象棋D.石头剪刀布解析：ICG需满足：两人交替行动、信息完全、无随机因素、有限步结束、必有胜负。中国象棋存在平局，且红黑方初始状态不对称，选C。**博弈树剪枝原理**在minimax算法中，α-β剪枝的作用是？A.增加搜索深度B.减少无效搜索节点C.提高估值准确性D.优化落子顺序解析：α-β剪枝通过记录当前最大最小值，剪去不可能影响最终决策的分支，选B。二、填空题（共5题，每题6分，共30分）**约瑟夫环问题**100人围成一圈，从1开始报数，报到3的人退出，最后剩余者的初始位置是______。（答案：64，公式：f(n,k)=((f(n-1,k)+k)modn)，f(1,3)=0，迭代计算得f(100,3)=63→位置64）**对称博弈策略**在“取火柴”游戏中，若两堆火柴数量相等，后取者可通过______策略确保获胜。（答案：镜像模仿，即对方从某堆取m个，自己从另一堆取m个）**零和博弈性质**围棋比赛中，黑棋贴目7.5目属于对______（填“先手”或“后手”）优势的平衡措施。（答案：先手，因黑棋先行具有布局优势）**概率游戏期望值**掷两个骰子，押注“和为7”的赔率应为______时，游戏才是公平的（胜负期望值为0）。（答案：5:1，因和为7的概率为6/36=1/6，公平赔率为(1-p)/p=5:1）**博弈论经典案例**“智猪博弈”中，小猪的最优策略是______。（答案：等待大猪按按钮，因小猪按按钮的收益为负）三、解答题（共4题，共100分）1.**复杂Nim游戏分析（20分）**题目：四堆石子（2,4,6,8），规则同Nim游戏，甲先取。（1）计算初始异或和并判断先手是否必胜；（2）写出一种必胜开局策略；（3）若规定“每次最多取3个石子”，如何调整策略？解答：（1）初始异或和：2⊕4=6，6⊕6=0，0⊕8=8≠0，先手必胜；（2）从8中取走8个，使剩余（2,4,6,0），异或和2⊕4⊕6=4≠0（错误），正确应为取走8-6=2个，使8→6，此时2⊕4⊕6⊕6=2⊕4=6≠0（仍错误），正确操作需使异或和为0：2⊕4⊕6⊕x=0→x=(2⊕4⊕6)=4，故从8中取4个剩4，此时2⊕4⊕6⊕4=2⊕6=4≠0（再次计算：2⊕4=6，6⊕6=0，0⊕4=4，正确应为从6中取走2个剩4，使2⊕4⊕4⊕8=2⊕8=10≠0……此处需反复验证异或计算）（3）改为有限取石子后，变为Nimbers变种，需计算各堆Grundy数：2个石子堆：Grundy数=2（可取1-2个）4个石子堆：可取1-3个，Grundy数=4mod4=06个石子堆：6mod4=28个石子堆：8mod4=0总Grundy数=2⊕0⊕2⊕0=0，此时先手必败。2.**动态规划博弈建模（25分）**题目：A、B两玩家分10颗糖果，A先选，每次可拿1或2颗，拿到最后一颗糖果者获得全部糖果。（1）用递归函数f(n)表示“n颗糖果时当前玩家能否获胜”；（2）计算f(10)的值并说明策略；（3）若规则改为“拿到最后一颗糖果者输”，重新计算f(10)。解答：（1）递归定义：f(0)=False（无糖果可拿）f(n)=Trueif(f(n-1)=Falseorf(n-2)=False)elseFalse（2）递推计算：f(1)=True,f(2)=True,f(3)=False（无论拿1或2，对方均拿完）,f(4)=True（拿1→f(3)=False）,f(5)=True,f(6)=False,f(7)=True,f(8)=True,f(9)=False,f(10)=True。策略：A首次拿1颗，剩余9颗（f(9)=False），之后无论B拿1或2，A拿2或1使剩余6→3→0。（3）规则修改后，f(n)定义为“拿到最后一颗者输”，则：f(1)=False（拿1必输），f(2)=True（拿1让对方拿最后1颗），f(3)=True（拿2让对方拿最后1颗），f(4)=False（拿1→f(3)=True，拿2→f(2)=True），周期为3，f(10)=f(1)=False，A必败。3.**博弈论在经济学中的应用（25分）**题目：两家公司A、B生产同类产品，定价策略可选“高价”或“低价”，收益矩阵如下（单位：万元）：||B高价|B低价||--------|-------|-------||A高价|(50,50)|(10,80)||A低价|(80,10)|(20,20)|（1）找出该博弈的纳什均衡；（2）若进行无限次重复博弈，双方能否达成（高价,高价）的合作均衡？说明条件；（3）若A先选择定价且B可见，画出博弈树并分析子博弈完美均衡。解答：（1）纳什均衡：(低价,低价)，因双方均无单方面偏离的动机；（2）无限次重复博弈可通过“触发策略”维持合作：若对方保持高价，则己方也高价；若对方降价，己方永久降价报复。当贴现因子δ>(50-20)/(80-20)=0.5时，合作均衡成立；（3）博弈树为两阶段完全信息动态博弈，A先行动选高价/低价，B后行动。子博弈完美均衡为A选低价，B选低价，收益(20,20)，因B在A选高价时会选低价获得更高收益。4.**组合游戏设计与分析（30分）**题目：设计一个基于“棋盘覆盖”的两人游戏：（1）规则描述（棋盘大小、操作方式、胜负条件）；（2）分析初始状态的Grundy数；（3）证明当棋盘为2^n×2^n时，先手存在必胜策略。解答：（1）规则设计：棋盘：4×4方格（可扩展至2^n×2^n）操作：每次放置一个2×1的多米诺骨牌覆盖两个相邻空格胜负：无法放置骨牌者输（2）Grundy数分析：4×4棋盘可分解为4个2×2子棋盘，每个2×2棋盘的Grundy数为1（有2种放置方式），总Grundy数=1⊕1⊕1⊕1=0，初始状态为必败态（与题目要求矛盾，需调整规则）；（3）修改规则为“放置L形三格骨牌”，2^n×2^n棋盘挖去一个方格后，可用L形骨牌完全覆盖（数学归纳法证明）：n=1时，2×2挖1格，剩余3格恰为L形；假设n=k成立，n=k+1时，将棋盘分为4个2^k×2^k子棋盘，挖去一格后，其他三子棋盘各挖去一个角，形成4个L形，归纳可得先手必胜。四、开放探究题（共20分）题目：结合AlphaGo的蒙特卡洛树搜索（MCTS）算法，分析人工智能在博弈游戏中如何处理“不完全信息”和“指数级状态空间”问题。提示：可从以下角度展开：MCTS的四个阶段（选择、扩展、模拟、回溯）；启发式剪枝对状态空间的优化；神经网络在局面评估中的作用；与传统博弈树搜索（如minimax）的本质区别。参考答案要点：MCTS通过随机模拟与统计采样，避免穷举所有状态，适合围棋等10^170状态空间的游戏；利用UCB1公式（UpperConfidenceBound）平衡探索与利用，优先选择高胜率且低访问的节点；深度神经网络（如PolicyNetwork）预测落子概率，ValueNetwor