2025年下学期初中数学竞赛纵向思维试卷

2025年下学期初中数学竞赛纵向思维试卷一、代数综合题（共30分）1.多项式运算与方程求解（15分）已知多项式(f(x)=x^4-6x^3+ax^2+bx+c)满足以下条件：被((x-1)^2)整除当(x=2)时函数值为-4有两个互为相反数的根（1）求实数(a,b,c)的值（2）解不等式(f(x)\leq0)解析思路：①利用多项式整除性质：若((x-1)^2\midf(x))，则(f(1)=0)且(f'(1)=0)②构造根与系数关系：设根为(1,1,m,-m)，通过韦达定理建立方程组③结合导数工具(f'(x)=4x^3-18x^2+2ax+b)建立等式④最终解得(a=11,b=-6,c=0)，不等式解集为([0,3-\sqrt{2}]\cup[3+\sqrt{2},+\infty))2.函数性质综合应用（15分）定义函数(g(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}+\log_2\frac{1+x}{1-x})，定义域为((-1,1))（1）证明(g(x))是奇函数（2）判断单调性并证明（3）解不等式(g(x^2-1)+g(2x)<0)关键步骤：①奇函数证明需验证(g(-x)=-g(x))，注意对数运算性质(\log_2\frac{1-x}{1+x}=-\log_2\frac{1+x}{1-x})②单调性可通过复合函数分析法：指数部分(\frac{2^x-1}{2^x+1}=1-\frac{2}{2^x+1})单增，对数部分单增，故整体单增③利用奇偶性转化不等式为(g(x^2-1)<g(-2x))，结合单调性和定义域得(-1<x<\sqrt{2}-1)二、几何证明题（共30分）3.三角形五心综合（15分）在锐角(\triangleABC)中，(O)为外心，(H)为垂心，(AD\perpBC)于(D)，且(AD=BC)（1）求证(\angleBOC=\angleBHC)（2）若(BC=4)，求(OH)的长度辅助线策略：①外心性质：(\angleBOC=2\angleA)；垂心性质：(\angleBHC=180^\circ-\angleA)，需证明(\angleA=60^\circ)②利用(AD=BC=4)，在(Rt\triangleABD)中建立边角关系，结合正弦定理(a=2R\sinA)（其中(a=BC=4)）③欧拉定理(OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2))，最终解得(OH=2\sqrt{3})4.圆幂定理与几何计算（15分）如图，PA、PB为⊙O切线，切点分别为A、B，过P作割线PCD交⊙O于C、D，M为CD中点，连接OM交AB于E，已知PA=4，PD=6（1）求PC长（2）求证(OE\cdotOM=OA^2)（3）若∠APB=60°，求△OCD的面积核心定理：①切割线定理：(PA^2=PC\cdotPD)，解得(PC=\frac{8}{3})②射影定理应用：OM⊥CD，OA⊥PA，通过四点共圆性质转化比例关系③面积计算需先求半径(R=\frac{4\sqrt{3}}{3})，弦长(CD=PD-PC=\frac{10}{3})，高(OM=\frac{2\sqrt{3}}{3})，面积(S=\frac{10\sqrt{3}}{9})三、数论与组合数学（共25分）5.不定方程与同余（12分）（1）求方程(3x+5y=2025)的正整数解个数（2）解同余方程组：[\begin{cases}x\equiv2\pmod{3}\x\equiv3\pmod{5}\x\equiv4\pmod{7}\end{cases}]解题要点：①不定方程变形为(x=\frac{2025-5y}{3}=675-\frac{5y}{3})，需(y\equiv0\pmod{3})，正整数解个数405个②中国剩余定理：逐步满足法，先解(x=3k+2)代入第二个方程得(k\equiv2\pmod{5})，再合并为(x=15m+8)代入第三个方程得(m\equiv3\pmod{7})，最小正解(x=53)，通解(x=105n+53)6.组合计数与概率（13分）在1~2025的整数中：（1）能被2、3、5中至少一个整除的数有多少个？（2）随机抽取两个数，求其和为偶数的概率（3）将这些数分为两组，证明必有一组包含两个数的差为2025的约数关键公式：①容斥原理：(|A\cupB\cupC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|)，计算得1485个②奇偶性分析：奇数1013个，偶数1012个，和为偶数概率(\frac{C_{1013}^2+C_{1012}^2}{C_{2025}^2}=\frac{1013\times1012+1012\times1011}{2025\times2024}=\frac{1012\times2024}{2025\times2024}=\frac{1012}{2025})③抽屉原理：2025的正约数有15个，构造15个抽屉，利用鸽巢原理得证四、创新题型（共15分）7.数学建模与优化（15分）某工厂生产两种零件A、B，相关数据如下：生产A需甲材料3kg/个，乙材料2kg/个，利润50元/个生产B需甲材料1kg/个，乙材料4kg/个，利润30元/个每日甲材料供应≤120kg，乙材料供应≤160kg新增环保要求：A、B总产量≥30个，且A不超过B的2倍（1）建立线性规划模型，求最大利润（2）若乙材料价格上涨导致成本增加，当B的利润降至多少时应停止生产B？模型构建：设生产A(x)个，B(y)个，则目标函数：(z=50x+30y)约束条件：[\begin{cases}3x+y\leq120\2x+4y\leq160\x+y\geq30\x\leq2y\x,y\geq0,x,y\in\mathbb{N}\end{cases}]最优解在交点((20,30))处取得，最大利润2900元；当B利润≤10元时应停产五、附加题（共10分）在平面直角坐标系中，点集(S={(x,y)|x,y\in\mathbb{Z},1\leqx,y\leq2025})，定义两点距离为曼哈顿距离(d(P,Q)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|)（1）求集合中距离为2025的点对个数（2）证明：存在无穷多个点构成的子集，其中任意两点距离不为完全平方数深度解析：①曼哈顿距离为2025的点对满足(|a|+|b|=2025)，整数解((a,b))有4×2025组，故点对个数为2025×4×2025=16402500②构造子集({(n,0)|n\in\mathbb{N}})，距离为(|m-n|)，需证明存在无穷多自然数不能表示为完全平方数，利用抽屉原理可证命题说明本试卷严格遵循《义务教育数学课程标准》核心素养要求，突出以下特点：纵向思维梯度：每个模块从基础概念延伸至竞赛拓展，如多项式问题从整除到导数应用跨领域融合：几何题结合代数计算（如用解析法验证欧拉线性质），数论题