《概率论》课件-第三章 二维随机变量及其分布

到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。在打靶时，命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的。飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定的等等。第三章多维随机变量及其分布对于这样的多个随机变量，首先要将其作为一个整体（称为多维随机变量，例如(X,Y)）研究其统计规律，其次还要讨论构成这个多维随机变量的各个随机变量（例如X,Y）的统计规律，并进一步讨论各随机变量间相互影响的情况.这些问题就是本章要讨论的主要内容，我们重点讨论二维随机变量，相应结论不难推广到n维随机变量.在本章的最后还将给出关于二维随机变量函数分布的一些结果.第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布3.1.二维随机变量及其分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量3.1.二维随机变量及其分布3.1.1.二维随机变量及其分布函数3.1.2.二维离散型随机变量及其分布律3.1.3.二维连续型随机变量及其概率密度3.1.4.两个重要的二维连续型随机变量——1.均匀分布——2.二维正态分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布3.1.1.二维随机变量及其分布函数二维及二维以上的随机变量统称为多维随机变量或多维随机向量.对于二维随机变量，首先需要考察二维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布.和一维随机变量的情况类似,我们引入二维随机变量分布函数的概念.注意到分布函数是普通的二元实函数，这样，我们就把对二维随机变量统计规律的研究问题转化为对此二元函数性质的研究.3.1.1.二维随机变量及其分布函数分布函数：函数值的几何解释一维随机变量分布函数F(x)是随机点X落在x左侧的概率。二维随机变量将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数

在点处的函数值就是随机点落在点左下方的无穷矩形域内的概率。分布函数：函数值的几何解释二维随机变量分布函数：函数值的几何解释随机点落在点左下方无穷矩形域内的概率。随机点落在矩形域内的概率为提示：分布函数在点处的函数值就是随机点落在点左下方的无穷矩形域内的概率。问题：怎样用分布函数来表示这个概率呢？随机点落在矩形域内的概率为单调性有界性右连续性即F(x,y)关于x，y是右连续的。4.对任意的，下述不等式成立：注意：二维随机变量的这个性质不能由单调性推出，是独立的性质。而一维随机变量可以由单调性推出非负性。非负性单调性、有界性、右连续性，一维随机变量也具备。仅仅满足这3条性质，并不足以表明这个二元函数是某个二维随机变量的分布函数。下面看一个反例。不满足非负性！3.1.二维随机变量及其分布3.1.1.二维随机变量及其分布函数3.1.2.二维离散型随机变量及其分布律3.1.3.二维连续型随机变量及其概率密度3.1.4.两个重要的二维连续型随机变量——1.均匀分布——2.二维正态分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布3.1.2.二维离散型随机变量及其分布律对比二维离散型随机变量一维离散型随机变量X的分布律k=1,2,…也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律。3.1.2.二维离散型随机变量及其分布律3.1.二维随机变量及其分布3.1.1.二维随机变量及其分布函数3.1.2.二维离散型随机变量及其分布律3.1.3.二维连续型随机变量及其概率密度3.1.4.两个重要的二维连续型随机变量——1.均匀分布——2.二维正态分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布3.1.3.二维连续型随机变量及其概率密度3.1.3.二维连续型随机变量及其概率密度反之，若二元函数具有性质1和性质2，则它一定是某二维连续型随机变量的概率密度.对比：一维情况

在

的连续点,有。=3.1.3.二维连续型随机变量及其概率密度你切过西瓜吗？西瓜皮：概率密度函数西瓜瓤：曲面下的柱体体积更直观的示意图：切西瓜！3.1.二维随机变量及其分布3.1.1.二维随机变量及其分布函数3.1.2.二维离散型随机变量及其分布律3.1.3.二维连续型随机变量及其概率密度3.1.4.两个重要的二维连续型随机变量——1.均匀分布——2.二维正态分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布下面我们介绍两个常见的二维分布：1.二维均匀分布2.二维正态分布3.1.4.两个重要的二维连续型随机变量1.二维均匀分布1.二维均匀分布ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为

。ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为

。2.二维正态分布多维正态分布是一种重要的分布，它在概率论、数理统计、随机过程中都占有重要地位。有关一般的n维正态分布的定义及许多重要性质，我们将在后面陆续介绍。2.二维正态分布3.1.二维随机变量及其分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.2.1.边缘分布——1.二维随机变量的边缘分布函数——2.二维离散型随机变量的边缘分布律——3.二维连续型随机变量的边缘概率密度3.2.2.两个随机变量的独立性——1.两个随机变量的独立性——2.两个离散型随机变量独立的等价条件——3.两个连续型随机变量独立的等价条件3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布必然事件{}3.2.1.边缘分布1.二维随机变量的边缘分布函数2.二维离散型随机变量的边缘分布律一般地，对离散型随机变量(X,Y)，X和Y的联合分布律为记为则(X,Y)关于X的边缘分布律为：只关心X=xi这个事件是否发生，Y取任何值都可以事件的角度看：划分！我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词。3.二维连续型随机变量的边缘概率密度3.1.二维随机变量及其分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.2.1.边缘分布——1.二维随机变量的边缘分布函数——2.二维离散型随机变量的边缘分布律——3.二维连续型随机变量的边缘概率密度3.2.2.两个随机变量的独立性——1.两个随机变量的独立性——2.两个离散型随机变量独立的等价条件——3.两个连续型随机变量独立的等价条件3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布3.2.2.两个随机变量的独立性两个事件A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B)两个随机变量X,Y相互独立对任意的x,y,有则称随机变量X和Y相互独立。它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积。1.两个随机变量的独立性2.两个离散型随机变量独立的等价条件若(X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立。对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有联合分布律&边缘分布律2.两个离散型随机变量独立的等价条件3.两个连续型随机变量独立的等价条件设证明例3.2.6二维正态分布X与Y相互独立()⇔ρ=0严格来讲是：几乎处处成立但由于概率密度函数是连续函数故对于任意x,y都成立设证明例3.2.6二维正态分布X与Y相互独立()⇔ρ=0⇐⇐ρ=0

ρ=0时，X和Y相互独立

⇒⇒ρ=0故ρ=0。特别，令得，等式成立，则任取参数等式依然成立。3.1.二维随机变量及其分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.3.1.二维离散型随机变量的条件分布律3.3.2.二维连续型随机变量的条件概率密度3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念。在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个随机变量X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布。这个分布就是条件分布。第三章多维随机变量及其分布3.3.1.二维离散型随机变量的条件分布律条件分布是条件概率在另一种形式下的重复。事件A={X=xi}事件B={Y=yj}P{X=xi|Y=yj}=对固定的j，P{Y=yj}>0等式成立条件：对固定的事件B，P(B)>0随机事件

随机变量3.3.1.二维离散型随机变量的条件分布律定义3.3.1

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对固定的j，若P{Y=yj}>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。P{X=xi|Y=yj}=，i=1,2,…联合分布律边缘分布律类似定义在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。注记：作为条件的那个随机变量，认为取值是给定的，在此条件下求另一随机变量的概率分布。3.3.1.二维离散型随机变量的条件分布律3.3.1.二维离散型随机变量的条件分布律给出与教材不同的解法解：定义事件{X=m}表示首次击中目标时射击了m次。{Y=n}表示第二次击中目标时射击了n次。即在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标。解：{X=m}表示首次击中目标时射击了m次。

{Y=n}表示第二次击中目标时射击了n次。目标：求X和Y的联合分布律及条件分布律。联合分布律边缘分布律(1)求击中2nn-11………m击中n次射击不论m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都应等于击中两次(发生在第m和n次射击时)，未击中n-2次每次射击的结果是相互独立的。击中的概率均为p、未击中的概率为1-p。这就是X和Y的联合分布律，其中n=2,3,…；m=1,2,…,n-1。没有系数，因为不需要选择击中事件发生的位置联合分布律(2)求(m=1,2,…)击中nn-1……n次射击请回答？21m击中…边缘分布律(3)求(n=2,3,…)于是可求得：当n=2,3,…时，m=1,2,…,n-1n=m+1,m+2,…当m=1,2,…时，联合分布律边缘分布律等于什么？几何分布的无记忆性！注记：教材中是这样求边缘分布律的！(m=1,2,…)Y的边缘分布律是：(n=2,3,…)利用：边缘分布律的定义。3.1.二维随机变量及其分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.3.1.二维离散型随机变量的条件分布律3.3.2.二维连续型随机变量的条件概率密度3.4.两个随机变量函数的分布3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布分布律概率密度P{X=xi|Y=yj}=设(X,Y)是二维连续型随机变量。由于对任意x,y，P{X=x}=0，P{Y=y}=0，所以不能直接用如上条件概率公式得到条件分布。联合分布律边缘分布律条件分布律联合概率密度边缘概率密度条件概率密度3.3.2.二维连续型随机变量的条件概率密度3.3.2.二维连续型随机变量的条件概率密度3.3.2.二维连续型随机变量的条件概率密度3.3.2.二维连续型随机变量的条件概率密度

1在X=x条件下，Y的条件概率密度为条件分布也服从正态分布结论：正态分布的条件分布仍服从正态分布.上一题的特例思考解题流程缺点：计算二重积分比较繁琐。思考：有没有更好的求解方法呢？按照这个思路练习一下吧对比写出5个参数；写出参数A和条件概率密度。解法二小结条件分布律边缘分布律联合分布律联合概率密度边缘概率密度条件概率密度条件分布离散型

连续型3.1.二维随机变量及其分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.4.1.二维离散型随机变量函数的分布3.4.2.二维连续型随机变量函数的分布——1.分布函数法——2.几个简单函数的分布(1)和Z=X+Y的分布(2)M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布——*3.随机向量变换的定理——4.几个公式3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布3.4.1.二维离散型随机变量函数的分布下面看两个特例3.1.二维随机变量及其分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.4.1.二维离散型随机变量函数的分布3.4.2.二维连续型随机变量函数的分布——1.分布函数法——2.几个简单函数的分布(1)和Z=X+Y的分布(2)M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布——*3.随机向量变换的定理——4.几个公式3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布1.分布函数法3.1.二维随机变量及其分布3.2.边缘分布与随机变量的独立性3.3.条件分布3.4.两个随机变量函数的分布3.4.1.二维离散型随机变量函数的分布3.4.2.二维连续型随机变量函数的分布——1.分布函数法——2.几个简单函数的分布(1)和Z=X+Y的分布(2)M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布——*3.随机向量变换的定理——4.几个公式3.5.n维随机变量第三章多维随机变量及其分布2.几个简单函数的分布证明过程课后自学2.几个简单函数的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，分布函数为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。由于X和Y相互独立，于是得到M=max(X,Y)的分布函数为：=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)即有：FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)1.M=max(X,Y)的分布函数=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函数即有：FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

由于X和Y相互独立，于是得到N=min(X,Y)的分布函数为：=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)另一种写法更容易记忆1-FN(z)=[1-FX(z)][1-FY(z)]设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数。(i=1,…,n)用与二维时完全类似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函数为：M=max(X1,…,Xn)的分布函数为：特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有解：因为X的概率密度为所以X的分布函数为当x>0时，当x0时，故类似地，可求得Y的分布函数为也可以直接写出(i)串联的情况由于当系统中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以此时L的寿命为于是的分布函数为=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]的概率密度为XY什么分布？XY(ii)并联的情况由于当且仅当系统都损坏时，系统L才停止工作，所以此时L的寿命为故的分布函数为于是的概率密度为XY(iii)备用的情况因此整个系统L的寿命为由于当系统损坏时，系统才开始工作，即时,当且仅当上述积分的被积函数不等于零。当z0时，当z>0时，故于是的概率密度为当z0时，当z>0