2025年下学期初中数学审美创造能力测试试卷

2025年下学期初中数学审美创造能力测试试卷一、选择题（每题3分，共30分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形，且对称轴数量与对称中心数量之和为5的是（）A.正三角形（3条对称轴，无对称中心）B.正方形（4条对称轴，1个对称中心）C.正五边形（5条对称轴，无对称中心）D.圆（无数条对称轴，1个对称中心）古希腊数学家毕达哥拉斯发现“黄金分割率”（约0.618），其几何意义为：若线段AB上一点C满足AC²=BC·AB，则点C为AB的黄金分割点。如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，若该矩形为“黄金矩形”（即宽与长的比为黄金分割率），则x的值为（）A.√5-1B.3-√5C.2√5-2D.√5+1我国古代建筑中的窗棂图案蕴含丰富的数学美感，下列窗棂图案中，既是旋转对称图形又是由全等图形密铺而成的是（）A.冰裂纹（无规律多边形密铺）B.回形纹（以90°为旋转角的旋转对称图形）C.步步锦（由全等矩形和菱形密铺）D.缠枝纹（非旋转对称的曲线图形）数学中的“分形几何”具有自相似性，即图形的局部与整体形状相似。如图是雪花曲线的分形过程：第1步是正三角形，第2步在每边三等分后以中间线段为边向外作正三角形，第3步重复上述操作。若第1步正三角形边长为1，则第3步图形的周长为（）A.4B.16/3C.64/9D.256/27跨学科实践中，某小组用数学方法设计校徽图案：以正六边形ABCDEF的中心O为圆心，OA为半径作圆，连接AC、CE、EA得到内部三角形。若正六边形边长为2，则阴影部分（三角形ACE与圆重叠区域）的面积为（）A.3√3B.π+√3C.2π-3√3D.2π数据可视化中的“雷达图”可直观展示多维度数据。某同学绘制数学素养雷达图，将“数学抽象”“逻辑推理”“数学建模”“直观想象”“数学运算”“数据分析”6个维度分别对应正六边形的6个顶点，若每个维度得分值在0-10分，且相邻维度得分差值不超过2分，则可能的得分组合是（）A.（8,6,4,2,0,2）B.（9,7,5,8,6,4）C.（10,8,6,8,10,8）D.（7,9,7,5,3,5）几何变换中的“旋转变换”可构造动态对称美。如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AB'C'，则线段CC'的长度为（）A.4√2B.4√3C.2√6D.2√2+2√6音乐中的“音阶”与数学中的“等比数列”相关，若某音阶中第1个音的频率为f，相邻音的频率比为2^(1/12)，则第8个音的频率为（）A.2^(7/12)fB.2^(1/2)fC.2^(2/3)fD.2^(3/4)f剪纸艺术中，将正方形纸片按图1方式折叠（先沿对角线折叠，再沿角平分线折叠），然后沿图2中的虚线剪下，展开后得到的图案是（）A.五角星B.六边形C.八边形D.十二边形某同学用坐标法设计图案，在平面直角坐标系中，将抛物线y=x²-2x+3先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线，其顶点与原抛物线顶点的连线构成的线段长为（）A.√5B.2√2C.3D.√13二、填空题（每题4分，共24分）我国数学家华罗庚曾提出“数形结合百般好”，在函数图像中，y=|x-1|+|x-3|的图像形状是______，其最小值为______。密铺图案设计中，用正三角形、正方形和正六边形三种地砖组合密铺地面，若在一个顶点处正三角形与正方形的块数分别为a和b，则a+b的可能值为______（写出所有可能）。数学文化中的“杨辉三角”蕴含二项式系数的对称性，将杨辉三角中第n行第k个数记为C(n,k)，则C(5,2)+C(6,3)+C(7,4)=______，该值在杨辉三角中对应的位置是第______行第______个数。动态几何问题中，点P在半径为5的⊙O上运动，点A(3,0)为定点，线段PA的中点Q的轨迹是一个新的圆，该圆的面积为______。跨学科主题学习中，物理课“光的反射”与数学“轴对称”结合：如图，光线从点A(1,3)出发，经x轴反射后经过点B(4,2)，则反射点P的坐标为______，光线传播的路程为______。数学建模中的“最优化”问题：某班级设计黑板报，要求版面为矩形，面积2400cm²，左右边距2cm，上下边距3cm，为使文字区域面积最大，版面的长和宽应分别为______cm和______cm。三、解答题（共46分）（8分）图案设计与尺规作图在正方形网格中，每个小正方形边长为1，格点O为原点，以格点为顶点设计一个中心对称图形，满足以下条件：（1）图形包含至少3种基本几何图形（如三角形、四边形、圆等）；（2）图形面积为12；（3）写出图形各顶点的坐标，并说明其中心对称性质的数学依据。（10分）数学文化与几何证明我国古代数学家赵爽在《周髀算经注》中给出“勾股圆方图”（弦图），利用面积法证明勾股定理。（1）请用现代数学语言描述弦图的构造过程；（2）已知弦图中直角三角形两直角边分别为a、b（a>b），若大正方形面积比小正方形面积多4ab，求a/b的值；（3）利用弦图的对称性，设计一个由4个全等直角三角形和1个小正方形组成的新图案，并说明其蕴含的数学美感。（12分）跨学科实践与数据分析某学校开展“校园植物多样性调查”，数学小组协助整理数据：（1）采集到10种植物的叶片宽度（单位：cm）数据：3.2,4.5,5.1,3.8,4.2,5.5,4.8,3.6,4.0,5.0。绘制频数分布直方图（组距0.5cm），并计算这组数据的方差；（2）用扇形统计图表示植物种类分布，其中乔木占30%，灌木占25%，草本占45%，若乔木有6种，求灌木和草本的种类数；（3）从数学审美角度，分析统计图的选择依据，并说明如何通过调整组距或分类标准使数据呈现更具直观美感。（16分）动态几何与综合探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D。（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上一动点，连接PC、PD，当△PCD为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A、B、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）从函数图像的对称性、动态点的轨迹美等角度，阐述该问题设计的数学审美价值。（全卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟）注：本试卷严格依据2025版《数学课程标准》要求，融合“三会”核心素养（会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维分析现实世界