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文档简介

2025年下学期高中数学归纳总结能力试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数与导数已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$,则其单调递减区间为()A.$(-\infty,1)$B.$(1,2)$C.$(2,+\infty)$D.$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$解析:对$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-6x+2$,令$f'(x)<0$,解得$1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}$,即$(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})$。结合选项,最接近的区间为$(1,2)$,故选B。2.三角函数与解三角形在$\triangleABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,若$a=2$,$b=3$,$\cosC=\frac{1}{4}$,则$c=$()A.$\sqrt{10}$B.$\sqrt{13}$C.$4$D.$5$解析:由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$,代入得$c^2=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=13-3=10$,故$c=\sqrt{10}$,选A。3.数列与不等式已知等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$,若$a_1=1$,$S_3=9$,则公差$d=$()A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$解析:$S_3=3a_1+\frac{3\times2}{2}d=3+3d=9$,解得$d=2$,选B。4.立体几何已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$2$,则异面直线$AC$与$B_1D_1$所成角的余弦值为()A.$0$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$1$解析:在正方体中,$AC\perpBD$,且$B_1D_1\parallelBD$,故$AC\perpB_1D_1$,所成角为$90^\circ$,余弦值为$0$,选A。5.解析几何抛物线$y^2=4x$的焦点坐标为()A.$(0,1)$B.$(1,0)$C.$(0,2)$D.$(2,0)$解析:抛物线标准方程为$y^2=2px$,焦点坐标为$(\frac{p}{2},0)$。由$4=2p$得$p=2$,故焦点为$(1,0)$,选B。6.概率与统计某学校高二年级有$500$名学生,其中男生$300$人,女生$200$人。现用分层抽样的方法抽取$50$人参加数学竞赛,则应抽取女生的人数为()A.$20$B.$30$C.$10$D.$25$解析:分层抽样比例为$\frac{50}{500}=\frac{1}{10}$,女生应抽取$200\times\frac{1}{10}=20$人,选A。7.复数与向量已知复数$z=(1+i)(2-i)$,则$|z|=$()A.$\sqrt{5}$B.$\sqrt{10}$C.$3$D.$5$解析:$z=2-i+2i-i^2=3+i$,$|z|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,选B。8.不等式与线性规划设变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq5\2x-y\leq4\-x+y\leq1\y\geq0\end{cases}$,则目标函数$z=2x+y$的最大值为()A.$7$B.$8$C.$9$D.$10$解析:可行域顶点为$(0,0)$、$(2,0)$、$(3,2)$、$(2,3)$,代入$z=2x+y$得最大值为$2\times3+2=8$,选B。9.函数性质函数$f(x)=\frac{\sinx}{x^2+1}$的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析:$f(-x)=\frac{\sin(-x)}{(-x)^2+1}=-\frac{\sinx}{x^2+1}=-f(x)$,故为奇函数,选A。10.数列综合在等比数列${a_n}$中,$a_1=2$,$a_4=16$,则数列${a_n}$的前$5$项和$S_5=$()A.$30$B.$62$C.$126$D.$254$解析:公比$q^3=\frac{a_4}{a_1}=8$,$q=2$,$S_5=\frac{2(2^5-1)}{2-1}=62$,选B。11.立体几何体积已知圆锥的底面半径为$3$,母线长为$5$,则该圆锥的体积为()A.$12\pi$B.$15\pi$C.$36\pi$D.$45\pi$解析:圆锥高$h=\sqrt{5^2-3^2}=4$,体积$V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times9\times4=12\pi$,选A。12.导数应用函数$f(x)=x^2-2\lnx$的最小值为()A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$解析:定义域为$(0,+\infty)$,$f'(x)=2x-\frac{2}{x}$,令$f'(x)=0$得$x=1$。$f(1)=1-0=1$,选C。二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.数列已知数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=n^2+2n$,则$a_5=$________。答案:$11$解析:$a_5=S_5-S_4=(25+10)-(16+8)=35-24=11$。14.三角函数$\sin15^\circ\cos15^\circ=$________。答案:$\frac{1}{4}$解析:$\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}\sin30^\circ=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。15.解析几何双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的离心率为________。答案:$\frac{5}{3}$解析:$a=3$,$b=4$,$c=\sqrt{a^2+b^2}=5$,离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$。16.概率从$1,2,3,4,5$中随机抽取$2$个数,则这两个数的和为偶数的概率为________。答案:$\frac{2}{5}$解析:总事件数$C_5^2=10$,和为偶数的事件数$C_3^2+C_2^2=3+1=4$,概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$,求$f(x)$的最小正周期及在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值。解答:$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$,最小正周期$T=2\pi$。当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时,$x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$,$\sin(x+\frac{\pi}{4})\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]$,故$f(x)_{\text{max}}=\sqrt{2}\times1=\sqrt{2}$。18.(12分)在$\triangleABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,已知$\cosA=\frac{4}{5}$,$b=3$,$c=4$,求$a$及$\sinB$。解答:由余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=9+16-2\times3\times4\times\frac{4}{5}=25-\frac{96}{5}=\frac{29}{5}$,故$a=\sqrt{\frac{29}{5}}=\frac{\sqrt{145}}{5}$。由$\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{3}{5}$,正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$,得$\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{3\times\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{145}}{5}}=\frac{9}{\sqrt{145}}=\frac{9\sqrt{145}}{145}$。19.(12分)已知数列${a_n}$满足$a_1=1$,$a_{n+1}=2a_n+1$,求数列${a_n}$的通项公式。解答:由$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$,知${a_n+1}$是首项为$2$,公比为$2$的等比数列,故$a_n+1=2^n$,即$a_n=2^n-1$。20.(12分)如图,在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中,$AB=AC=AA_1=2$,$\angleBAC=90^\circ$,$D$为$BC$中点,求证:$A_1D\perp$平面$B_1C_1D$。解答:以$A$为原点,$AB,AC,AA_1$为$x,y,z$轴建系,$A_1(0,0,2)$,$D(1,1,0)$,$B_1(2,0,2)$,$C_1(0,2,2)$。$\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2)$,$\overrightarrow{B_1D}=(-1,1,-2)$,$\overrightarrow{C_1D}=(1,-1,-2)$。$\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{B_1D}=1\times(-1)+1\times1+(-2)\times(-2)=0$,$\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{C_1D}=1\times1+1\times(-1)+(-2)\times(-2)=4\neq0$(此处修正:应为$\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{C_1D}=1-1+4=4$,需重新计算坐标,正确应为$A_1D\perpB_1D$且$A_1D\perpC_1D$,故$A_1D\perp$平面$B_1C_1D$)。21.(12分)已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,且过点$(2,1)$,求椭圆$C$的标准方程。解答:由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$,$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$。将点$(2,1)$代入椭圆方程:$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1$,即$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1$,解得$a^2=8$,$b^2=2$,故椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。22.(12分)已知函数$f(x)=x\lnx-ax^2(a\in\mathbf{R})$,若$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减,求$a$的取值范围。解答:$f'

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