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文档简介
2025年下学期高中数学规范性试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)已知集合(A={x|x^2-3x+2=0}),(B={x|log_2(x+1)=1}),则(A\capB=)()A.({1})B.({2})C.({1,2})D.(\varnothing)复数(z=\frac{2+i}{1-i})((i)为虚数单位)的共轭复数(\overline{z})在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知向量(\vec{a}=(2,1)),(\vec{b}=(m,3)),若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})),则实数(m=)()A.1B.2C.3D.4函数(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期和对称轴方程分别为()A.(\pi),(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbf{Z}))B.(2\pi),(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbf{Z}))C.(\pi),(x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbf{Z}))D.(2\pi),(x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbf{Z}))某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为()A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比数列({a_n})满足(a_1=2),(a_3a_5=4a_6^2),则(a_3=)()A.1B.2C.(\frac{1}{4})D.(\frac{1}{2})执行如图所示的程序框图,若输入的(x=2),则输出的(y=)()A.3B.5C.7D.9已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\log_{\frac{1}{2}}x,x>0\end{cases}),则(f(f(-1))=)()A.-1B.0C.1D.2在区间([-1,1])上随机取一个数(x),则事件“(\cos\frac{\pix}{2}\geq\frac{1}{2})”发生的概率为()A.(\frac{1}{3})B.(\frac{1}{2})C.(\frac{2}{3})D.(\frac{3}{4})已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的一条渐近线方程为(y=2x),且焦距为(2\sqrt{5}),则双曲线的方程为()A.(\frac{x^2}{4}-y^2=1)B.(x^2-\frac{y^2}{4}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}=1)D.(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1)已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+2)在区间([-1,2])上单调递减,则实数(a)的取值范围是()A.((-\infty,-3])B.((-\infty,-1])C.([-3,+\infty))D.([-1,+\infty))已知定义在(\mathbf{R})上的奇函数(f(x))满足(f(x+2)=-f(x)),且当(x\in[0,1])时,(f(x)=2^x-1),则(f(2025)=)()A.-1B.0C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)已知(\sin\alpha=\frac{3}{5}),(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)),则(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=)________。若(x),(y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases}),则(z=x+2y)的最大值为________。在(\triangleABC)中,角(A),(B),(C)所对的边分别为(a),(b),(c),若(a=2),(b=3),(C=60^\circ),则(c=)________。已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F),准线为(l),过点(F)的直线交抛物线于(A),(B)两点,过点(A)作准线(l)的垂线,垂足为(M),若(\triangleAFM)的面积为(4\sqrt{3}),则直线(AB)的斜率为________。三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分12分)已知数列({a_n})是等差数列,且(a_1=1),(a_3+a_5=14)。(1)求数列({a_n})的通项公式;(2)若数列({b_n})满足(b_n=2^{a_n}),求数列({b_n})的前(n)项和(S_n)。(本小题满分12分)某学校为了解学生的数学学习情况,随机抽取了100名学生进行数学成绩调查,得到如下频率分布表:成绩分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.050.150.30.350.15(1)求这100名学生数学成绩的平均数和中位数;(2)若从成绩在[80,90)和[90,100]的学生中随机抽取2人,求至少有1人成绩在[90,100]的概率。(本小题满分12分)如图,在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中,(AA_1\perp)平面(ABC),(AB=AC=AA_1=2),(\angleBAC=90^\circ),(D)是(BC)的中点。(1)求证:(A_1B\parallel)平面(ADC_1);(2)求二面角(C_1-AD-C)的余弦值。(本小题满分12分)已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2}),且过点((2,1))。(1)求椭圆(C)的方程;(2)设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A),(B)两点,(O)为坐标原点,若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4}),求证:(\triangleAOB)的面积为定值。(本小题满分12分)已知函数(f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax(a\in\mathbf{R}))。(1)若函数(f(x))在(x=1)处取得极值,求(a)的值;(2)若函数(f(x))在区间((1,2))上存在单调递增区间,求(a)的取值范围。(本小题满分10分)在平面直角坐标系(xOy)中,曲线(C_1)的参数方程为(\begin{cases}x=2\cos\theta\y=2+2\sin\theta\end{cases})((\theta)为参数),以坐标原点(O)为极点,(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线(C_2)的极坐标方程为(\rho\cos(\theta-\frac{\pi}{4})=2\sqrt{2})。(1)求曲线(C_1)的普通方程和曲线(C_2)的直角坐标方程;(2)设点(P)是曲线(C_1)上的动点,点(Q)是曲线(C_2)上的动点,求(|PQ|)的最小值。参考答案及评分标准一、选择题A2.D3.C4.A5.B6.A7.C8.A9.C10.B11.A12.C二、填空题(-\frac{\sqrt{2}}{10})14.615.(\sqrt{7})16.(\pm\sqrt{3})三、解答题(1)设等差数列({a_n})的公差为(d),由(a_1=1),(a_3+a_5=14),得(2a_1+6d=14),解得(d=2),所以(a_n=1+2(n-1)=2n-1)。(6分)(2)由(1)知(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n),所以数列({b_n})是以(2)为首项,(4)为公比的等比数列,所以(S_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2(4^n-1)}{3})。(12分)(1)平均数为(55\times0.05+65\times0.15+75\times0.3+85\times0.35+95\times0.15=78.5);中位数为(70+\frac{0.5-0.05-0.15}{0.3}\times10=76.67)。(6分)(2)成绩在[80,90)的学生有35人,[90,100]的学生有15人,从这50人中随机抽取2人,共有(C_{50}^2=1225)种情况,至少有1人成绩在[90,100]的情况有(C_{15}^1C_{35}^1+C_{15}^2=630)种,所以概率为(\frac{630}{1225}=\frac{18}{35})。(12分)(1)连接(A_1C)交(AC_1)于点(O),连接(OD),则(O)是(A_1C)的中点,又(D)是(BC)的中点,所以(OD\parallelA_1B),因为(OD\subset)平面(ADC_1),(A_1B\not\subset)平面(ADC_1),所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。(6分)(2)以(A)为原点,(AB),(AC),(AA_1)所在直线分别为(x)轴,(y)轴,(z)轴建立空间直角坐标系,得(A(0,0,0)),(D(1,1,0)),(C_1(0,2,2)),(\overrightarrow{AD}=(1,1,0)),(\overrightarrow{AC_1}=(0,2,2)),设平面(ADC_1)的法向量为(\vec{n}=(x,y,z)),则(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AD}=x+y=0\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC_1}=2y+2z=0\end{cases}),取(x=1),得(\vec{n}=(1,-1,1)),平面(ADC)的法向量为(\vec{m}=(0,0,1)),所以二面角(C_1-AD-C)的余弦值为(\frac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})。(12分)(1)由离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}),得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a),(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2),又椭圆过点((2,1)),所以(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1),解得(a^2=8),(b^2=2),所以椭圆(C)的方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。(6分)(2)设(A(x_1,y_1)),(B(x_2,y_2)),联立(\begin{cases}y=kx+m\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases}),得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0),则(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}),(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2}),(y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=\frac{m^2-8k^2}{1+4k^2}),由(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4}),得(\frac{m^2-8k^2}{4m^2-8}=-\frac{1}{4}),解得(m^2=2+4k^2),所以(|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\sqrt{\frac{64k^2m^2}{(1+4k^2)^2}-\frac{16m^2-32}{1+4k^2}}=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{1+k^2}{1+4k^2}}),点(O)到直线(AB)的距离(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{2}),所以(\triangleAOB)的面积为(\frac{1}{2}|AB|d=2\sqrt{2}),为定值。(12分)(1)(f'(x)=\frac{1}{x}+x-a),由题意得(f'(1)=1+1-a=0),解得(a=2),经检验,(a=2)时,函数(f(x))在(x=1)处取得极小值,所以(a=2)。(6分)(2)函数(f(x))在区间((1,2))上存在单调递增区间,等价于存在(x\in(1,2)),使得(f'(x)=\frac{1}{x}+x-a>0),即(a<\frac{1}{x}+x),令(g(x)=\frac{1}{x}+x),则(g'(x)=1-\frac{1}{x^2}>0)在((1,2))上恒成立,所以(g(x))在(
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