2025年下学期高中数学计算广告数学试卷

2025年下学期高中数学计算广告数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.广告曝光量与点击率的关系某电商平台的广告点击率(r)（单位：%）与曝光量(x)（单位：千次）的关系满足函数(r(x)=\frac{12}{x+3})，则当曝光量从5千次增加到8千次时，点击率的平均变化率为（）A.-0.3%/千次B.-0.5%/千次C.0.3%/千次D.0.5%/千次解析：平均变化率公式为(\frac{r(8)-r(5)}{8-5})。代入函数得(r(5)=\frac{12}{5+3}=1.5)，(r(8)=\frac{12}{8+3}\approx1.09)，则平均变化率为(\frac{1.09-1.5}{3}\approx-0.137)，即-0.14%/千次（选项中最接近的为A）。2.广告预算分配的线性规划某品牌计划投放抖音和微信广告，总预算不超过10万元。抖音广告每千次曝光成本200元，微信广告每千次曝光成本150元。设抖音曝光量为(x)千次，微信曝光量为(y)千次，目标是曝光总量最大化。则约束条件为（）A.(200x+150y\leq100000)，(x,y\geq0)B.(0.2x+0.15y\leq10)，(x,y\geq0)C.(200x+150y\leq10)，(x,y\geq0)D.(x+y\leq100000)，(x,y\geq0)解析：总预算约束为“抖音成本+微信成本≤10万元”，即(200x+150y\leq100000)，且曝光量非负，故选A。3.用户画像的概率统计某平台用户中，20-30岁人群占比40%，其中点击广告的概率为15%；30岁以上人群占比60%，点击广告的概率为8%。则随机抽取一名用户点击广告的概率为（）A.10.8%B.11.2%C.12.5%D.13.0%解析：全概率公式：(P=0.4\times0.15+0.6\times0.08=0.06+0.048=0.108)，即10.8%，选A。4.广告投放的导数应用某广告的转化量(f(t))（单位：个）与投放时间(t)（单位：小时）的关系为(f(t)=t^3-6t^2+9t+10)，则转化量最大的时刻为（）A.(t=1)B.(t=2)C.(t=3)D.(t=4)解析：求导得(f'(t)=3t^2-12t+9)，令(f'(t)=0)，解得(t=1)或(t=3)。二阶导数(f''(t)=6t-12)，当(t=3)时(f''(3)=6>0)（极小值），(t=1)时(f''(1)=-6<0)（极大值），故最大转化量在(t=1)，选A。5.广告效果的回归分析某团队收集了广告投入(x)（万元）与销售额(y)（万元）的数据，经计算得回归方程为(\hat{y}=5.2x+12.3)。若投入增加2万元，则销售额预计增加（）A.5.2万元B.10.4万元C.12.3万元D.22.7万元解析：回归方程中(x)的系数为斜率，表示投入每增加1万元，销售额增加5.2万元。故投入增加2万元时，销售额增加(5.2\times2=10.4)万元，选B。二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）6.广告ROI的计算某广告投放成本5万元，带来销售额30万元，产品利润率为20%，则广告的投资回报率（ROI）为______。答案：20%解析：ROI=（利润/成本）×100%=（30×20%/5）×100%=120%。7.马尔可夫链的广告转化用户浏览广告后有3种状态：点击（C）、忽略（N）、购买（P）。状态转移矩阵为：[\begin{pmatrix}0.2&0.5&0.3\0.1&0.8&0.1\0&0&1\end{pmatrix}]（行表示当前状态，列表示下一状态）。若用户当前状态为“忽略”，则下一状态为“购买”的概率为______。答案：0.1解析：“忽略”对应第二行，“购买”为第三列，矩阵元素为0.1。8.广告创意的A/B测试测试两种广告创意的转化率，A创意样本量200，转化28人；B创意样本量150，转化21人。则A创意的转化率为______%，B创意的转化率为______%。答案：14%，14%解析：A转化率=28/200=14%，B转化率=21/150=14%。三、解答题（本大题共5小题，共70分）1.广告预算的非线性优化（14分）某公司计划在搜索引擎投放广告，关键词点击成本(c)（元/次）与出价(b)（元）的关系为(c(b)=0.5b+2)，点击率(r(b)=\frac{10}{b+5})（%），转化率为5%。若目标是每获取1个转化的成本最低，求最优出价(b)。解答：单次点击成本：(c(b)=0.5b+2)点击率：(r(b)=\frac{10}{b+5}%=\frac{10}{100(b+5)}=\frac{1}{10(b+5)})转化成本=(\frac{单次点击成本}{点击率\times转化率}=\frac{0.5b+2}{\frac{1}{10(b+5)}\times0.05}=\frac{0.5b+2}{0.005(b+5)}=\frac{100b+400}{b+5})设(f(b)=\frac{100b+400}{b+5})，求导得(f'(b)=\frac{100(b+5)-(100b+400)}{(b+5)^2}=\frac{100}{(b+5)^2})。导数恒正，故(f(b))单调递增，最优出价(b)应尽可能低。但实际中出价需高于最低限价，若假设无下限，则(b\to0)时转化成本趋近于80元。2.广告投放的统计推断（14分）某品牌测试新广告的转化率，随机抽取500名用户，转化45人。（1）求转化率的95%置信区间；（2）若目标转化率为10%，判断新广告是否达标（(z_{0.025}=1.96)）。解答：（1）样本转化率(\hat{p}=45/500=0.09)，标准误(SE=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0.09\times0.91}{500}}\approx0.0128)。置信区间：(0.09\pm1.96\times0.0128\approx(0.065,0.115))，即6.5%~11.5%。（2）目标转化率10%在置信区间内，无法拒绝“转化率=10%”的假设，故认为达标。3.推荐系统的协同过滤（14分）用户对广告的评分矩阵如下（行：用户，列：广告，-表示未评分）：用户/广告ABCD甲5-34乙-42-用余弦相似度计算甲、乙用户的相似度（保留两位小数）。解答：甲的评分向量（A,C,D）：(5,3,4)乙的评分向量（B,C）：(4,2)共同评分广告为C，故截取向量：甲(3)，乙(2)。余弦相似度(\cos\theta=\frac{3\times2}{\sqrt{3^2}\times\sqrt{2^2}}=\frac{6}{3\times2}=1.00)。4.广告收益的微积分应用（14分）某广告的瞬时收益(R(t)=200e^{-0.1t})（元/小时），持续投放10小时，求总收益。解答：总收益(=\int_{0}^{10}R(t)dt=\int_{0}^{10}200e^{-0.1t}dt=200\times\left[\frac{e^{-0.1t}}{-0.1}\right]_{0}^{10}=-2000(e^{-1}-e^{0})\approx-2000(0.3679-1)=1264.2)元。5.广告竞争的博弈论（14分）两家公司A和B选择“高价投放”或“低价投放”广告，收益矩阵如下（A收益，B收益）：B高价B低价A高价(50,40)(20,60)A低价(70,20)(30,30)求纳什均衡。解答：A的最优策略：若B高价，A选低价（70>50）；若B低价，A选低价（30>20）。故A的占优策略为低价。B的最优策略：若A高价，B选低价（60>40）；若A低价，B选低价（30>20）。故B的占优策略为低价。纳什均衡：（低价，低价），收益（30,30）。四、附加题（20分）某平台的广告收入来自CPC（按点击付费）和CPM（按千次曝光付费）。CPC广告的点击量(x)与定价(p)（元/点击）满足(x=1000-50p)，CPM广告的曝光量(y)（千次）与定价(q)（元/千次）满足(y=500-20q)。求总收入最大化时的(p)和(q)。解答：总收入(R=p\cdotx+q\cdoty=p(1000-50p)+q(500-20q)=-50p^2+1000p-20q^2+500q)。分别对(p)和(q)求导并令为0：(\frac{\partialR}{\partialp}=-100p+1000=0\Rightarrowp=10)(\frac{\partialR}{