2025年下学期高中数学竞赛国际视野试卷

2025年下学期高中数学竞赛国际视野试卷一、代数模块（共3题，每题25分）1.函数方程与不等式综合题设函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$满足对任意实数$x,y$，均有$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，且$f(1)=-1$。（1）证明$f(x)$是周期函数，并求出最小正周期；（2）若对任意正整数$n$，不等式$\sum_{k=1}^n\frac{f(k)}{k^2}<m$恒成立，求实数$m$的最小值。解题思路提示：本题改编自2025年AMC12B卷第23题，需结合抽象函数性质与级数放缩技巧。第（1）问可通过赋值法推导出$f(x+4)=f(x)$；第（2）问需利用$f(k)$的周期性（周期为4）将级数分组，结合莱布尼茨判别法证明收敛性，最终求得极限值为$-\frac{\pi^2}{12}$。2.多项式理论与复数应用已知多项式$P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$的四个复根在复平面上构成正方形的四个顶点，且其中一个根为$1+2i$。（1）求$a,b,c,d$的值；（2）设$Q(x)=P(x^2-2x+2)$，求$Q(x)$在实数域上的标准分解式。命题背景：本题融合了BMO（英国数学奥赛）对几何与代数综合考查的特点，正方形顶点对应的复数根满足共轭对称性与模长关系。第（2）问需通过配方转化为$(x-1)^2+1$的形式，利用第（1）问结论进行因式分解。3.多元不等式的构造与证明设正实数$a,b,c$满足$a+b+c=3$，求证：$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq\frac{3}{2}$$并指出等号成立的条件。国际竞赛关联：本题参考了2025年CMO代数题的命题风格，需结合柯西不等式与排序不等式，通过变量代换$b^2+c=b^2+(3-a-b)$简化分母，再利用切线法构造辅助函数证明局部不等式。二、几何模块（共2题，每题30分）4.平面几何与数论结合题在锐角$\triangleABC$中，$AB=5$，$AC=7$，$BC=8$，$O$为外心，$H$为垂心。（1）求$OH$的长度；（2）设$P$为线段$OH$上一点，且满足$OP=2PH$，过$P$作$BC$的垂线，垂足为$D$，求$\triangleAPD$的内切圆半径。跨模块设计：本题改编自澳洲AMC高级组最后一题，第（1）问需用欧拉公式$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$计算，其中外接圆半径$R=\frac{7}{\sqrt{3}}$；第（2）问涉及定比分点坐标计算与内切圆半径公式$r=\frac{S}{p}$的综合应用。5.立体几何与组合计数综合题一个棱长为3的正方体，将其表面染成红色后切割成27个棱长为1的小正方体。（1）求从中随机选取两个小正方体，它们至少有一个面颜色相同的概率；（2）在所有小正方体中任取$k$个，求使这$k$个小正方体中一定存在4个构成棱长为2的“中空”正方体框架（即仅保留12条棱上的小正方体）的最小$k$值。竞赛趋势体现：本题模仿了HMMT（哈佛-麻省理工数学竞赛）的立体几何命题思路，第（2）问需用容斥原理计算“非中空框架”的最多小正方体数，再通过抽屉原理求得$k=23$。三、数论模块（共2题，每题25分）6.同余理论与不定方程设$p$是奇素数，且$p\equiv1\pmod{4}$。（1）证明存在整数$a,b$使得$a^2+b^2=p$；（2）若$p=1000003$（已知为素数），求方程$x^2+y^2=p$的正整数解$(x,y)$。历史背景链接：本题第（1）问是费马平方和定理的经典证明，需利用模$p$的二次剩余构造完全平方数；第（2）问需结合连分数展开法求解，答案为$x=1001,y=306$（或互换）。7.数论函数与组合数论定义函数$\omega(n)$为正整数$n$的不同素因子个数（如$\omega(12)=2$），设$S={1,2,\cdots,2025}$。（1）求集合$S$中满足$\omega(n)=3$的元素个数；（2）证明对任意$n\inS$，均有$\sum_{d|n}(-1)^{\omega(d)}=0$或$1$，并确定使等式值为1的$n$的个数。现代数论应用：本题第（2）问涉及默比乌斯函数的性质，证明需用容斥原理，最终使等式值为1的$n$为所有平方数，共45个（$45^2=2025$）。四、组合模块（共3题，每题30分）8.图论与染色问题在一个$8\times8$的国际象棋棋盘上，甲乙两人进行游戏：甲先将棋盘上某些方格染成红色，乙再将剩余方格染成蓝色或绿色。规定若存在$2\times2$的同色正方形（四角格颜色相同），则乙获胜。（1）甲最少需染红多少个方格，才能确保无论乙如何染色，都不会出现蓝色或绿色的$2\times2$同色正方形？（2）若将棋盘改为$n\timesn$，求甲获胜的最小染红方格数$f(n)$的表达式。竞赛前沿动态：本题改编自2025年IMMC（国际数学建模挑战赛）A题，第（1）问答案为16，需构造周期为4的染色模式；第（2）问$f(n)=\left\lceil\frac{n^2}{4}\right\rceil$，证明需用抽屉原理与归纳法。9.组合极值与构造问题设$S={1,2,\cdots,20}$，$A_1,A_2,\cdots,A_k$是$S$的子集，满足：①每个子集的元素个数为4；②任意两个子集的交集元素个数$\leq1$。求$k$的最大值，并构造相应的子集族。经典问题拓展：本题是Fisher不等式的应用，属于组合设计中的blockdesign问题，最大值$k=15$，可通过有限射影平面$PG(2,4)$的性质构造。10.概率与组合游戏甲乙两人玩掷骰子游戏：连续掷一枚均匀骰子，若出现点数1或2则甲得1分，出现3或4则乙得1分，出现5或6则两人各得1分。当其中一人比另一人多3分时游戏结束，得分高者获胜。（1）求游戏在第$n$轮结束的概率（$n$为正整数）；（2）求甲最终获胜的概率。国际化命题视角：本题融合了AMC10的概率计算与CSIMC（滑铁卢大学数学竞赛）的递推数列思想，第（2）问需建立状态转移方程，解得甲获胜概率为$\frac{4}{7}$。五、跨学科应用模块（共1题，40分）11.数学建模综合题（本题为HiMCM竞赛风格的开放题型）某城市计划在半径5公里的圆形区域内建设5个社区医疗中心，要求：每个医疗中心的服务半径为2公里；任意两个医疗中心的距离不小于3公里；尽可能覆盖更多人口密集区域（人口密度函数为$\rho(r)=10000e^{-0.1r}$人/平方公里，$r$为距市中心的距离，单位：公里）。（1）建立数学模型确定医疗中心的最优位置坐标；（2）若预算限制只能建设4个医疗中心，分析覆盖人口减少的百分比（精确到小数点后1位）。解决方案提示：本题需用连续优化模型，将问题转化为带约束的非线性规划，通过网格搜索法结合模拟退火算法求解，最优布局为正五边形顶点分布，4个中心时覆盖人口减少约18.7%。试卷设计说明国际视野体现：试题覆盖AMC、BMO、CMO、IMO等主流竞赛的核心考点，如代数中的函数方程（美国）、几何中的欧拉公式（欧洲）、数论中的平方和定理（全球经典）。难度梯度设置：基础题（40%）、中档题（35%）、拔高题（25%），其中第11题作为开放题型，允许