2025年下学期高中数学竞赛截面问题试卷

2025年下学期高中数学竞赛截面问题试卷一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分）在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB、CC₁的中点，过点D₁、E、F的平面截正方体所得截面的形状是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形已知球O的半径为5，平面α与球心O的距离为3，则平面α截球O所得截面的面积为（）A.4πB.9πC.16πD.25π在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，过BC₁且与直线A₁B平行的截面面积为（）A.√3B.2√2C.2√3D.4用一个平面去截半径为R的球，所得截面圆的面积与球表面积的比值为1/4，则球心到截面的距离为（）A.R/4B.R/2C.√2R/2D.√3R/2在棱长为1的正方体中，过正方体三条棱的中点作截面，则截面图形的周长为（）A.3√2/2B.3√2C.2+√2D.2+2√2二、填空题（本大题共5小题，每小题8分，满分40分）在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱A₁D₁的中点，过点M且与平面BCC₁B₁平行的截面面积为________。已知圆锥的母线长为5，轴截面顶角为60°，用平行于底面的平面截圆锥，所得截面圆的半径为1，则截面与底面之间的距离为________。在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为3，过棱PA、PB的中点作平行于侧棱PC的截面，则截面多边形的周长为________。球O的表面积为100π，平面α截球O所得截面圆的半径为3，点P为截面圆上一点，则线段OP长度的取值范围是________。在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱BB₁、D₁B₁的中点，过点A、E、F的平面截正方体所得截面的面积为________。三、解答题（本大题共4小题，满分80分）11.（本题满分15分）在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱BC上一点，且BE=1，F为棱CC₁的中点。（1）作出过点A₁、E、F的截面，并说明作图步骤；（2）求该截面的周长。12.（本题满分20分）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，高为4，D为棱AA₁的中点。（1）求证：过B、C₁、D三点的截面为矩形；（2）求该截面将三棱柱分成两部分的体积之比。13.（本题满分20分）在半径为R的球O中，有两个互相平行的截面，它们的面积分别为4π和9π。（1）求这两个截面之间的距离；（2）若点P、Q分别为这两个截面上的点，求线段PQ长度的最大值和最小值。14.（本题满分25分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在棱AB、AD上，且AE=AF=1，点G在棱A₁B₁上，且A₁G=1/2。（1）过点E、F、G作正方体的截面，判断截面的形状并证明；（2）求该截面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值；（3）求该截面将正方体分成两部分的体积之比。四、附加题（本大题共2小题，每题25分，共50分）在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是棱AA₁上的动点，且AP=t（0<t<a）。（1）是否存在t，使得过点P、B、D₁的截面是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（2）当t=a/2时，求过点P、B、D₁的截面与正方体各面所成二面角的大小。已知球O的半径为R，A、B、C三点在球面上，且AB=AC=BC=R。（1）求球心O到平面ABC的距离；（2）过线段OA的中点且与直线BC平行的平面截球O，求所得截面的面积；（3）在（2）的条件下，求截面与平面ABC所成锐二面角的余弦值。参考答案与评分标准一、选择题C2.C3.B4.C5.B二、填空题167.2√38.2+2√29.[4,6]10.3√6/2三、解答题11.（1）截面为五边形A₁EFGD₁（作图步骤略）；（2）截面周长为√10+√13+√5+√2+√10=2√10+√13+√5+√2。12.（1）证明略；（2）体积之比为5:7。13.（1）两个截面之间的距离为1或7；（2）PQ长度的最大值为√(4+9+49)=√62，最小值为1或7。14.（1）截面为五边形；（2）锐二面角的余弦值为√6/6；（3）体积之比为11:45。四、附加题15.（1）存在t=3a/4；（2）二面角大小分别为arctan√2、arctan√2和π/2。16.（1）球心O到平面ABC的距离为√6R/3；（2）截面面积为11πR²/16；（3）锐二面角的余弦值为√6/6。本试卷注重考查立体几何截面问题的核心知识点和基本方法，涵盖了截面作图、形状判断、周长面积计算、体积分割以及与球相关的截面问题等多个方面。试题设计遵循从易到