概率与数理统计的空间统计模型指南

概率与数理统计的空间统计模型指南一、概述

概率与数理统计的空间统计模型是研究空间数据分布规律和空间关系的重要工具。空间统计模型通过数学方法描述和解释地理现象在空间上的变异性和相关性，广泛应用于环境科学、地理信息系统、城市规划等领域。本指南旨在系统介绍空间统计模型的基本概念、常用模型及其应用步骤，帮助读者掌握相关理论和方法。

二、空间统计模型的基本概念

（一）空间数据类型

1.点数据：离散的地理位置数据，如气象站观测点。

2.网格数据：规则的二维空间划分，如DEM高程数据。

3.面数据：连续的地理区域，如行政区划。

（二）空间自相关

1.原空间自相关：衡量邻近位置数据之间的相似性，常用Moran'sI指数。

2.空间滞后模型：考虑空间依赖性，如空间滞后模型（SLM）。

（三）空间权重矩阵

1.标准化距离权重：根据距离计算权重，如反距离权重。

2.核函数权重：基于高斯核函数计算权重。

三、常用空间统计模型

（一）空间自回归模型（SAR）

1.模型形式：\(Y_i=\rho\sum_{j=1}^nw_{ij}Y_j+\epsilon_i\)

2.适用场景：解释空间集聚现象，如城市人口密度分布。

（二）空间移动平均模型（SMA）

1.模型形式：\(Y_i=\sum_{j=1}^n\lambda_j\epsilon_j+\epsilon_i\)

2.适用场景：分析空间随机性，如噪声数据。

（三）空间误差模型（SEM）

1.模型形式：\(Y_i=X_i\beta+u_i\)，其中\(u_i\)具有空间自相关性。

2.适用场景：处理空间异质性，如环境污染监测。

四、空间统计模型的应用步骤

（一）数据准备

1.收集空间数据：包括地理坐标和属性数据。

2.创建空间权重矩阵：根据研究需求选择权重类型。

（二）模型选择与估计

1.选择模型类型：根据数据特征选择SAR、SMA或SEM。

2.参数估计：使用最大似然法或最小二乘法进行参数估计。

（三）模型诊断

1.检验空间自相关性：通过Moran'sI或LagrangeMultiplier检验。

2.模型拟合优度评估：使用R²或AIC指标。

（四）结果解释

1.分析空间模式：解释模型系数的地理意义。

2.可视化结果：使用散点图或热力图展示空间分布。

五、注意事项

1.数据质量：确保空间数据精度和完整性。

2.模型假设：验证模型假设是否满足，如空间独立性。

3.实际应用：结合领域知识调整模型参数。

四、空间统计模型的应用步骤（续）

（一）数据准备（续）

1.收集空间数据：

明确研究目标：首先定义研究的具体问题，例如是想分析某区域污染物浓度的空间分布模式，还是想探究某疾病的地理聚集性及其影响因素。研究目标将直接影响数据类型的选择和模型的应用。

确定数据类型：根据研究目标选择合适的空间数据类型。

点数据：收集每个观测点的地理坐标（通常是经纬度）以及对应的属性值（如某地点的测量值、计数值等）。例如，收集多个气象站的位置和各站点的年降雨量数据。

网格数据：确定研究区域的网格化方案（如使用等距网格或根据地形特征生成的非规则网格），并获取每个网格单元中心点或单元范围内的属性值。例如，获取卫星遥感生成的每日地表温度栅格数据。

面数据：收集研究区域内各个区域单元（如行政区划、地块单元）的地理边界和对应的属性值。例如，收集不同城市区域的建成区面积和人口密度数据。

数据来源：数据可以来自公开的地理信息数据库（如环境监测网数据、遥感影像数据）、专业机构或组织、实地调查等。确保数据来源可靠且具有代表性。

2.创建空间权重矩阵：

定义邻域关系：选择合适的邻域定义方法。常见的邻域定义包括：

固定距离邻域：所有距离小于或等于某个阈值\(d\)的点对被认定相邻。例如，设置邻域半径为1000米。

K-最近邻邻域：对于每个点，选择距离最近的其他K个点作为其邻域。例如，对于每个气象站，选择距离最近的3个气象站作为邻点。

邻接规则：基于空间对象的拓扑关系定义邻域，如栅格数据中四连通（上下左右）或八连通（上下左右及对角线）邻接，面数据中共享边界的单元互为邻接。

计算权重值：根据选定的邻域定义和权重类型计算每个点对之间的权重\(w_{ij}\)。

标准化距离反比权重：权重与距离成反比，常用形式为\(w_{ij}=\frac{1}{d_{ij}}\)或\(w_{ij}=\frac{1}{d_{ij}^\alpha}\)，其中\(d_{ij}\)是点i和点j之间的距离，\(\alpha\)是控制权重衰减速度的参数（通常大于0）。计算后需进行行标准化，即确保每个点的权重行和为1。

高斯核函数权重：权重由高斯函数\(w_{ij}=e^{-\frac{d_{ij}^2}{2\sigma^2}}\)给出，其中\(\sigma\)是核函数带宽，控制权重的范围。同样需要进行行标准化。

固定权重：若认为所有邻点贡献相同，可设置\(w_{ij}=1\)（若i与j相邻），\(w_{ij}=0\)（若i与j不相邻）。邻接规则下通常使用此方法。

存储权重矩阵：将计算得到的权重存储为矩阵形式，通常是一个方阵\(W\)，其中\(W_{ij}\)代表点i和点j之间的权重。确保\(W\)是对称的（如果使用邻接规则且不考虑方向性）。

（二）模型选择与估计（续）

1.选择模型类型：

理解模型假设：每种模型基于不同的统计假设来描述空间依赖性。

空间自回归模型（SAR）：假设一个位置的变量值不仅受自身影响因素，还受其邻近位置变量值的正向影响（空间溢出效应）。适用于描述空间正自相关，如人口增长、商业活动集聚等现象。其核心假设是空间依赖性是同质的，即空间影响强度不随位置变化。

空间移动平均模型（SMA）：假设一个位置的变量值受其邻近位置随机误差项的线性组合的影响。适用于描述空间负自相关或随机波动，如噪声污染、自然灾害的空间影响传播。其核心假设是空间误差项之间存在相关性。

空间误差模型（SEM）：假设模型中的随机误差项之间存在空间自相关性，即误差项受到邻近位置误差项的影响。适用于解释观测值的空间聚集性可能源于误差项的空间依赖，即存在“遗漏变量偏差”或测量误差的空间关联。其核心假设是空间依赖性存在于误差项中。

空间误差自回归模型（SEAR）：结合了SEM和SAR的特点，同时考虑误差项和因变量本身的空间自相关性。更为复杂，适用于同时存在误差溢出和因变量溢出的情况。

依据数据特征选择：

空间自相关性检验：在进行模型选择前，通常先进行全局或局部空间自相关性检验（如Moran'sI、Geary'sC、局部指标如Getis-OrdGi）。如果检验结果显示显著的空间自相关性，则说明空间模型比普通回归模型更合适。

残差分析：使用普通最小二乘法（OLS）拟合一个基准模型，然后分析其残差。如果残差显示出空间自相关性（例如，通过Moran'sI检验残差矩阵），则支持使用空间模型（特别是SEM或SMA）。如果残差本身也呈现出空间模式（如高值区域聚集了高残差），则可能需要SEAR。

理论依据：结合研究领域的理论，判断哪种空间依赖机制更符合现象的内在逻辑。例如，经济活动的空间集聚通常用SAR解释，而污染物扩散可能用SMA或SEM。

2.参数估计：

估计方法：空间统计模型的参数估计通常比OLS复杂，因为需要处理空间权重矩阵和空间依赖性。常用方法包括：

最大似然估计（MLE）：适用于SAR、SMA、SEM及SEAR模型。通过最大化观测数据在给定模型和参数下的联合概率密度函数来估计参数。大多数统计软件（如R中的`lmList`、`spdep`包，Stata的空间估计命令）都提供MLE选项。

最小二乘法（通常是加权最小二乘法WLS或广义最小二乘法GLS）：在某些情况下，特别是对于SAR模型，可以通过转换变量后使用WLS或GLS来估计参数。例如，对于SAR(1)模型\(Y=X\beta+\rhoWy+\epsilon\)，可以通过令\(Z=I-\rhoW\)和\(Y'=(I-\rhoW)Y\)，然后拟合\(Y'=X\beta+\epsilon'\)来实现。

软件实现：利用专业的统计软件或地理统计软件进行参数估计。输入整理好的数据集（因变量、自变量、空间权重矩阵）和选择的模型类型，软件将输出估计的模型参数、标准误、t统计量、p值等。

注意共线性：与普通回归类似，需关注自变量之间的多重共线性问题，这可能影响参数估计的稳定性和解释性。可以使用方差膨胀因子（VIF）等指标进行诊断。

（三）模型诊断（续）

1.检验空间自相关性：

全局空间自相关检验：

Moran'sI：衡量整个研究区域内变量值的空间关联程度。计算公式为\(I=\frac{n}{S_0}\frac{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}(y_i-\bar{y})(y_j-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}\)，其中\(n\)是点数，\(S_0\)是权重矩阵\(W\)的行和（或定义权重矩阵时使用的常数），\(w_{ij}\)是空间权重，\(y_i\)是第i个点的观测值，\(\bar{y}\)是所有观测值的均值。Moran'sI的取值范围为-1到1，正值表示正空间自相关，负值表示负空间自相关，接近0表示无空间自相关。需通过蒙特卡洛模拟得到其显著性水平（p值）。

Geary'sC：另一种全局指标，与Moran'sI描述的方向相反（负相关对应正值）。计算公式为\(C=\frac{n}{2S_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}\left(\frac{y_i-y_j}{s}\right)^2\)，其中\(s\)是标准差。取值范围通常在0到2之间。

局部空间自相关检验：

Getis-OrdGi：识别研究区域中空间上显著聚集高值或低值的局部区域。计算公式为\(Gi^=\frac{z_i\sum_{j\inN(i)}w_{ij}z_j}{\sqrt{\sum_{j\inN(i)}w_{ij}+\sum_{j\neqk\inN(i)}w_{jk}z_j^2/\sum_{j\neqk}w_{jk}}}\)，其中\(z_i=(y_i-\bar{y})/s\)是第i个点的标准化值，\(N(i)\)是点i的邻域集合，\(w_{ij}\)是点i与j之间的空间权重。Gi的值越大（或越小，取决于是高值还是低值聚集），表示局部聚集性越强。同样需要通过蒙特卡洛模拟得到显著性水平。

检验模型拟合后的残差：在进行模型估计后，计算模型残差\(\epsilon=Y-\hat{Y}\)，然后对这些残差进行空间自相关检验（使用Moran'sI或Gi）。如果残差的空间自相关性显著，说明所选模型未能充分捕捉数据中的空间依赖性，可能需要尝试其他模型（如更换模型类型、调整权重矩阵）。

2.模型拟合优度评估：

调整后的R²（AdjustedR²）：类似于普通回归中的R²，表示模型解释的因变量变异的比例，但考虑了模型中自变量的数量。空间模型的R²或其调整值可以用来衡量模型的整体拟合程度，但解释时需注意其含义可能因模型类型而异。

赤池信息量准则（AIC）和贝叶斯信息量准则（BIC）：这两种信息准则用于比较不同模型的相对优劣。它们综合考虑模型的拟合优度（通常基于似然函数值）和模型复杂度（通常与参数数量有关）。AIC或BIC值越小，表示模型在给定的数据集上越具有信息量。在模型选择时，可以在多个候选模型中选取AIC或BIC最小的模型。

其他诊断统计量：根据所选模型和软件，可能还有其他特定的诊断指标，如对SAR模型的特殊诊断统计量。

（四）结果解释（续）

1.分析空间模式：

解读模型系数：

OLS系数：解释自变量对因变量的影响程度和方向，但需注意在空间模型中，系数的解释可能受到空间自相关性的调节。

空间自回归系数（\(\rho\)）：在SAR模型中，\(\rho\)代表空间溢出效应的强度和方向（正值表示正溢出，负值表示负溢出或空间抑制）。解释该系数有助于理解现象在空间上的传播或影响范围。

空间滞后系数（\(\lambda\)）：在SMA模型中，\(\lambda\)代表邻近位置随机误差项对当前位置观测值的影响程度。

空间误差系数（\(\mu\)）：在SEM模型中，\(\mu\)代表邻近位置误差项对当前位置观测值的影响程度，反映了空间误差相关性。

结合空间权重：系数的解释应与所使用的空间权重矩阵类型相联系。例如，在反距离权重下，系数可能表示邻近程度越近，影响越大。

考虑显著性：只有当模型系数的p值小于预设的显著性水平（如0.05）时，才能认为该系数在统计上显著，其对应的影响是可信的。

2.可视化结果：

地图制图：将模型估计的系数、空间自回归系数、局部空间自相关结果（如Gi值）等绘制成地图。常用类型包括：

热力图/密度图：用颜色渐变表示数值的大小和分布区域。

分级统计图：将区域按数值大小划分为若干等级，并用不同颜色或灰度表示。

符号图：用不同大小或形状的点/符号表示数值的大小。

空间交互图：展示变量之间的空间关系，例如，绘制因变量与某个自变量之间的关系图，并按空间位置着色，以揭示关系是否存在空间差异。

局部聚集图：将局部自相关检验（如Gi）的结果绘制在地图上，用不同颜色或符号标识出高值聚集区或低值聚集区。

图表辅助：结合柱状图、折线图等传统图表展示模型系数的估计值和置信区间，以及全局空间自相关指标的统计量和显著性。

五、注意事项（续）

1.数据质量：

精度：确保空间坐标的准确性（如使用经纬度投影）和属性数据的准确性（如测量误差应在可接受范围内）。数据精度低会直接影响模型结果的可信度。

完整性：检查数据是否存在缺失值。缺失值处理方法（如插补、删除）应谨慎选择，并考虑其对模型结果的影响。

一致性：确保数据的时间分辨率和空间分辨率一致，以及不同来源数据的定义和标准统一。例如，时间序列数据应确保观测时间间隔相同。

边界问题：对于面数据，注意区域边界的定义和相邻区域的关系，尤其是在邻近区域属性差异大的情况下。

2.模型假设：

空间依赖性类型：明确所选模型假设的空间依赖性类型（同质或异质），并检查数据是否支持该假设。可以通过比较不同空间权重矩阵或不同空间模型（如SAR与SEM）的拟合结果来评估假设的合理性。

误差项分布：大多数空间统计模型假设误差项服从正态分布（或至少是大样本正态分布）。可通过残差正态性检验（如Q-Q图、Shapiro-Wilk检验）来评估。若不满足，可能需要考虑使用稳健估计方法或非线性模型。

无多重共线性：确保自变量之间不存在严重的多重共线性，否则会增大参数估计的标准误，降低预测精度。

外生性：假设模型中包含所有相关的解释变量，且这些变量不是因变量的函数（内生性问题）。

3.实际应用：

结合领域知识：模型结果需要结合具体研究领域的理论和实践经验进行解释。例如，在解释SAR系数时，应考虑该现象是否具有空间扩散的内在逻辑。

模型选择权衡：没有哪个模型是万能的。需要在模型解释力、预测精度和可解释性之间做出权衡。有时简单的模型可能比复杂的模型更适用。

结果的空间异质性：注意模型结果（如系数或空间模式）可能并非在整个研究区域内都相同。可以进一步分析模型参数或空间模式在不同子区域的表现是否存在差异。

模型验证：如果条件允许，使用独立的数据集对模型进行验证，以评估其在未知数据上的泛化能力。

一、概述

概率与数理统计的空间统计模型是研究空间数据分布规律和空间关系的重要工具。空间统计模型通过数学方法描述和解释地理现象在空间上的变异性和相关性，广泛应用于环境科学、地理信息系统、城市规划等领域。本指南旨在系统介绍空间统计模型的基本概念、常用模型及其应用步骤，帮助读者掌握相关理论和方法。

二、空间统计模型的基本概念

（一）空间数据类型

1.点数据：离散的地理位置数据，如气象站观测点。

2.网格数据：规则的二维空间划分，如DEM高程数据。

3.面数据：连续的地理区域，如行政区划。

（二）空间自相关

1.原空间自相关：衡量邻近位置数据之间的相似性，常用Moran'sI指数。

2.空间滞后模型：考虑空间依赖性，如空间滞后模型（SLM）。

（三）空间权重矩阵

1.标准化距离权重：根据距离计算权重，如反距离权重。

2.核函数权重：基于高斯核函数计算权重。

三、常用空间统计模型

（一）空间自回归模型（SAR）

1.模型形式：\(Y_i=\rho\sum_{j=1}^nw_{ij}Y_j+\epsilon_i\)

2.适用场景：解释空间集聚现象，如城市人口密度分布。

（二）空间移动平均模型（SMA）

1.模型形式：\(Y_i=\sum_{j=1}^n\lambda_j\epsilon_j+\epsilon_i\)

2.适用场景：分析空间随机性，如噪声数据。

（三）空间误差模型（SEM）

1.模型形式：\(Y_i=X_i\beta+u_i\)，其中\(u_i\)具有空间自相关性。

2.适用场景：处理空间异质性，如环境污染监测。

四、空间统计模型的应用步骤

（一）数据准备

1.收集空间数据：包括地理坐标和属性数据。

2.创建空间权重矩阵：根据研究需求选择权重类型。

（二）模型选择与估计

1.选择模型类型：根据数据特征选择SAR、SMA或SEM。

2.参数估计：使用最大似然法或最小二乘法进行参数估计。

（三）模型诊断

1.检验空间自相关性：通过Moran'sI或LagrangeMultiplier检验。

2.模型拟合优度评估：使用R²或AIC指标。

（四）结果解释

1.分析空间模式：解释模型系数的地理意义。

2.可视化结果：使用散点图或热力图展示空间分布。

五、注意事项

1.数据质量：确保空间数据精度和完整性。

2.模型假设：验证模型假设是否满足，如空间独立性。

3.实际应用：结合领域知识调整模型参数。

四、空间统计模型的应用步骤（续）

（一）数据准备（续）

1.收集空间数据：

明确研究目标：首先定义研究的具体问题，例如是想分析某区域污染物浓度的空间分布模式，还是想探究某疾病的地理聚集性及其影响因素。研究目标将直接影响数据类型的选择和模型的应用。

确定数据类型：根据研究目标选择合适的空间数据类型。

点数据：收集每个观测点的地理坐标（通常是经纬度）以及对应的属性值（如某地点的测量值、计数值等）。例如，收集多个气象站的位置和各站点的年降雨量数据。

网格数据：确定研究区域的网格化方案（如使用等距网格或根据地形特征生成的非规则网格），并获取每个网格单元中心点或单元范围内的属性值。例如，获取卫星遥感生成的每日地表温度栅格数据。

面数据：收集研究区域内各个区域单元（如行政区划、地块单元）的地理边界和对应的属性值。例如，收集不同城市区域的建成区面积和人口密度数据。

数据来源：数据可以来自公开的地理信息数据库（如环境监测网数据、遥感影像数据）、专业机构或组织、实地调查等。确保数据来源可靠且具有代表性。

2.创建空间权重矩阵：

定义邻域关系：选择合适的邻域定义方法。常见的邻域定义包括：

固定距离邻域：所有距离小于或等于某个阈值\(d\)的点对被认定相邻。例如，设置邻域半径为1000米。

K-最近邻邻域：对于每个点，选择距离最近的其他K个点作为其邻域。例如，对于每个气象站，选择距离最近的3个气象站作为邻点。

邻接规则：基于空间对象的拓扑关系定义邻域，如栅格数据中四连通（上下左右）或八连通（上下左右及对角线）邻接，面数据中共享边界的单元互为邻接。

计算权重值：根据选定的邻域定义和权重类型计算每个点对之间的权重\(w_{ij}\)。

标准化距离反比权重：权重与距离成反比，常用形式为\(w_{ij}=\frac{1}{d_{ij}}\)或\(w_{ij}=\frac{1}{d_{ij}^\alpha}\)，其中\(d_{ij}\)是点i和点j之间的距离，\(\alpha\)是控制权重衰减速度的参数（通常大于0）。计算后需进行行标准化，即确保每个点的权重行和为1。

高斯核函数权重：权重由高斯函数\(w_{ij}=e^{-\frac{d_{ij}^2}{2\sigma^2}}\)给出，其中\(\sigma\)是核函数带宽，控制权重的范围。同样需要进行行标准化。

固定权重：若认为所有邻点贡献相同，可设置\(w_{ij}=1\)（若i与j相邻），\(w_{ij}=0\)（若i与j不相邻）。邻接规则下通常使用此方法。

存储权重矩阵：将计算得到的权重存储为矩阵形式，通常是一个方阵\(W\)，其中\(W_{ij}\)代表点i和点j之间的权重。确保\(W\)是对称的（如果使用邻接规则且不考虑方向性）。

（二）模型选择与估计（续）

1.选择模型类型：

理解模型假设：每种模型基于不同的统计假设来描述空间依赖性。

空间自回归模型（SAR）：假设一个位置的变量值不仅受自身影响因素，还受其邻近位置变量值的正向影响（空间溢出效应）。适用于描述空间正自相关，如人口增长、商业活动集聚等现象。其核心假设是空间依赖性是同质的，即空间影响强度不随位置变化。

空间移动平均模型（SMA）：假设一个位置的变量值受其邻近位置随机误差项的线性组合的影响。适用于描述空间负自相关或随机波动，如噪声污染、自然灾害的空间影响传播。其核心假设是空间误差项之间存在相关性。

空间误差模型（SEM）：假设模型中的随机误差项之间存在空间自相关性，即误差项受到邻近位置误差项的影响。适用于解释观测值的空间聚集性可能源于误差项的空间依赖，即存在“遗漏变量偏差”或测量误差的空间关联。其核心假设是空间依赖性存在于误差项中。

空间误差自回归模型（SEAR）：结合了SEM和SAR的特点，同时考虑误差项和因变量本身的空间自相关性。更为复杂，适用于同时存在误差溢出和因变量溢出的情况。

依据数据特征选择：

空间自相关性检验：在进行模型选择前，通常先进行全局或局部空间自相关性检验（如Moran'sI、Geary'sC、局部指标如Getis-OrdGi）。如果检验结果显示显著的空间自相关性，则说明空间模型比普通回归模型更合适。

残差分析：使用普通最小二乘法（OLS）拟合一个基准模型，然后分析其残差。如果残差显示出空间自相关性（例如，通过Moran'sI检验残差矩阵），则支持使用空间模型（特别是SEM或SMA）。如果残差本身也呈现出空间模式（如高值区域聚集了高残差），则可能需要SEAR。

理论依据：结合研究领域的理论，判断哪种空间依赖机制更符合现象的内在逻辑。例如，经济活动的空间集聚通常用SAR解释，而污染物扩散可能用SMA或SEM。

2.参数估计：

估计方法：空间统计模型的参数估计通常比OLS复杂，因为需要处理空间权重矩阵和空间依赖性。常用方法包括：

最大似然估计（MLE）：适用于SAR、SMA、SEM及SEAR模型。通过最大化观测数据在给定模型和参数下的联合概率密度函数来估计参数。大多数统计软件（如R中的`lmList`、`spdep`包，Stata的空间估计命令）都提供MLE选项。

最小二乘法（通常是加权最小二乘法WLS或广义最小二乘法GLS）：在某些情况下，特别是对于SAR模型，可以通过转换变量后使用WLS或GLS来估计参数。例如，对于SAR(1)模型\(Y=X\beta+\rhoWy+\epsilon\)，可以通过令\(Z=I-\rhoW\)和\(Y'=(I-\rhoW)Y\)，然后拟合\(Y'=X\beta+\epsilon'\)来实现。

软件实现：利用专业的统计软件或地理统计软件进行参数估计。输入整理好的数据集（因变量、自变量、空间权重矩阵）和选择的模型类型，软件将输出估计的模型参数、标准误、t统计量、p值等。

注意共线性：与普通回归类似，需关注自变量之间的多重共线性问题，这可能影响参数估计的稳定性和解释性。可以使用方差膨胀因子（VIF）等指标进行诊断。

（三）模型诊断（续）

1.检验空间自相关性：

全局空间自相关检验：

Moran'sI：衡量整个研究区域内变量值的空间关联程度。计算公式为\(I=\frac{n}{S_0}\frac{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}(y_i-\bar{y})(y_j-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}\)，其中\(n\)是点数，\(S_0\)是权重矩阵\(W\)的行和（或定义权重矩阵时使用的常数），\(w_{ij}\)是空间权重，\(y_i\)是第i个点的观测值，\(\bar{y}\)是所有观测值的均值。Moran'sI的取值范围为-1到1，正值表示正空间自相关，负值表示负空间自相关，接近0表示无空间自相关。需通过蒙特卡洛模拟得到其显著性水平（p值）。

Geary'sC：另一种全局指标，与Moran'sI描述的方向相反（负相关对应正值）。计算公式为\(C=\frac{n}{2S_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}\left(\frac{y_i-y_j}{s}\right)^2\)，其中\(s\)是标准差。取值范围通常在0到2之间。

局部空间自相关检验：

Getis-OrdGi：识别研究区域中空间上显著聚集高值或低值的局部区域。计算公式为\(Gi^=\frac{z_i\sum_{j\inN(i)}w_{ij}z_j}{\sqrt{\sum_{j\inN(i)}w_{ij}+\sum_{j\neqk\inN(i)}w_{jk}z_j^2/\sum_{j\neqk}w_{jk}}}\)，其中\(z_i=(y_i-\bar{y})/s\)是第i个点的标准化值，\(N(i)\)是点i的邻域集合，\(w_{ij}\)是点i与j之间的空间权重。Gi的值越大（或越小，取决于是高值还是低值聚集），表示局部聚集性越强。同样需要通过蒙特卡洛模拟得到显著性水平。

检验模型拟合后的残差：在进行模型估计后，计算模型残差\(\epsilon=Y-\hat{Y}\)，然后对这些残差进行空间自相关检验（使用Moran'sI或Gi）。如果残差的空间自相关性显著，说明所选模型未能充分捕捉数据中的空间依赖性，可能需要尝试其他模型（如更换模型类型、调整权重矩阵）。

2.模型拟合优度评估：

调整后的R²（AdjustedR²）：类似于普通回归中的R²，表示模型解释的因变量变异的比例，但考虑了模型中自变量的数量。空间模型的R²或其调整值可以用来衡量模型的整体拟合程度，但解释时需注意其含义可能因模型类型而异。

赤池信息量准则（AIC）和贝叶斯信息量准则（BIC）：这两种信息准则用于比较不同模型的相对优劣。它们综合考虑模型的拟合优度（通常基于似然函数值）和模型复杂度（通常与参数数量有关）。AIC或BIC值越小，表示模型在给定的数据集上越具有信息量。在模型选择时，可以在多个候选模型中选取AIC或BIC最小的模型。

其他诊断统计量：根据所选模型和软件，可能还有其他特定的诊断指标，如对SAR模型的特殊诊断统计量。

（四）结果解释（续）

1.分析空间模式：

解读模型系数：

OLS系数：解释自变量对因变量的影响程度和方向，但需注意在空间模型中，系数的解释可能受到空间自相关性的调节。

空间自回归系数（\(\rho\)）：在SAR模型中，\(\rho\)代表空间溢出效应的强度和方向（正值表示正溢出，负值表示负溢出或空间抑制）。解释该系数有助于理解现象在空间上的传播或影响范围。

空间滞后系数（\(\lambda\)）：在SMA模型中，\(\lambda\)代表邻近位置随机误差项对当前位置观测值的影响程度。

空间误差系数（\(