广东省揭阳市普宁市华侨中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(教师版)

广东省揭阳市普宁市华侨中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题1．（2024高二上·普宁期中）已知集合A=x∣x2A．∅ B．1 C．2 D．1,2【答案】D【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：因为A=x∣x2−3x+2=0=故答案为：D.

【分析】化简集合A和集合B，再根据交集的定义求出A∩B.化简集合A可通过解一元二次方程，化简集合B可通过解一元一次不等式，找出两个集合的公共元素.2．（2024高二上·普宁期中）已知复数z满足(1+i)z=2+4i，则复数z等于（）A．1 B．2 C．3 D．10【答案】D【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模【解析】【解答】解：由题可知z=2+4i故z=故答案为：D.【分析】先利用复数的除法运算求解z=3+i，再利用复数模的定义求解即可求解.3．（2024高二上·普宁期中）已知直线l1:ax+3y−5=0与l2A．0 B．0或−13 C．−1【答案】B【知识点】两条直线垂直的判定【解析】【解答】解：因为l1⊥l2，则有a3a−2故答案为：B.

【分析】对直线A1x+B1y+C1=0和直线4．（2024高二上·普宁期中）在三棱柱ABC−A1B1C1中，E,F分别是A．13AB−C．−23AB【答案】A【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算【解析】【解答】解：如图，因为E,F分别是BC,CC1的中点，AG=2GE，又AA1=故答案为：A.

【分析】用空间向量的线性运算，通过将FG用已知向量（如AB、AC、AA5．（2024高二上·普宁期中）已知圆C1:x2+y2−2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】D【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】解：由圆C1:x2+y2−2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分，

得圆C1的圆心C1(1,−m2)在直线x+2y+1=0上，即1−m+1=0，解得m=2，

因此圆C1:(x−1)2+(y+1)2=1的圆心故答案为：D.

【分析】根据直线平分圆的性质，得出圆C1的圆心在该直线上，从而求出m的值，确定圆C6．（2024高二上·普宁期中）为了研究我市甲、乙两个5G智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（）A．甲店月营业额的平均值在[31,32]内B．乙店月营业额总体呈上升趋势C．7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少D．乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差【答案】D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对A，甲店月营业额的平均值为1614+21+26+30+52+47≈31.7对B，根据乙店的营业额折线图可知乙店每月的营业额逐月变大，所以总体呈上升趋势，故B正确；对C，由营业额折线图可知，甲店的7,8,9月份的总营业额为30+52+47=129，乙店的7,8,9月份的总营业额为33+44+53=130，129<130，所以C正确.对D，根据甲､乙两店的营业额折线图可知甲店的月营业额极差为52−14=38，乙店的月营业额极差为53−7=46，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误；故答案为：D.

【分析】结合折线图，分别对每个选项涉及的统计量（平均值、趋势、总营业额、极差）进行分析计算，从而判断选项的正误.7．（2024高二上·普宁期中）已知直线l恒过点0,5，圆C:(x−3)2+y2=9，则“直线l的斜率为A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意可知：圆C:(x−3)2+y2=9的圆心C(3,0)，半径r=3，

若直线l与圆C相切，则有：当直线l的斜率不存在，则直线l:x=0，符合题意；

当直线l的斜率存在，设直线l:y=kx+5，即kx−y+5=0，

则圆心C(3,0)到线l的距离3k+5k2+1=3，解得k=−815；

综上所述：当且仅当直线l的斜率不存在或直线l的斜率为−815时，线l与圆C相切.

可知“直线l的斜率为−815”可以推出“直线l与圆C相切”，即充分性成立；

“直线l与圆故答案为：A.

【分析】根据直线与圆相切的条件，求出直线l斜率的所有可能值，再结合充分条件和必要条件的定义，判断“直线l的斜率为−815”与“直线l与圆8．（2024高二上·普宁期中）在△ABC中，点D是边BC上一点，若AD=xAB+yA．7−210 B．7+210 C．−2【答案】B【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理【解析】【解答】解：在△ABC中，点D是边BC上一点，AD=xAB+yAC，则x+y=1，2x+5yxy=(5x+2y)(x+y)=7+5yx+故答案为：B.

【分析】根据向量共线定理得出x+y=1（x>0，y>0），再将所求式子2x+5yxy进行变形，然后利用基本不等式“19．（2024高二上·普宁期中）下列命题说法正确的有（）A．已知直线l1：mx+2y−2=0与直线l2：5x+m+3y−5=0，若lB．点5,0关于直线y=x+1的对称点的坐标为−1,6C．直线kx+k+1y−3k−1=0D．过点P1,2且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为【答案】B,C【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】【解答】解：对A，当m=2时，直线l1：2x+2y−2=0与直线l2：对B，以点(5,0)与(−1,6)为端点的线段中点(2,3)在直线y=x+1上，

又过点(5,0)与(−1,6)的直线斜率k=6−0−1−5=−1，则该直线垂直于直线y=x+1，

因此点(5,0)与(−1,6)对C，直线kx+k+1y−3k−1=0化为：(x+y−3)k+y−1=0，

由x+y−3=0y−1=0，解得x=2y=1，

因此直线对于D，过点P1,2且在x轴，y轴上的截距相等的直线可以过原点，其方程为y=2x故答案为：BC.

【分析】对每个选项涉及的直线相关知识（平行、对称点、过定点、截距相等的直线方程）进行分析计算，逐一判断选项的正误.10．（2024高二上·普宁期中）已知向量a=A．向量a与向量b的夹角为πB．cC．向量a在向量b上的投影向量为1D．向量c与向量a,【答案】A,B,D【知识点】数量积表示两个向量的夹角；共面向量定理；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量【解析】【解答】解：对于A：设向量a与向量b的夹角为θ，

则cosθ=a→·b→a→对于B：因为a→−b→=1,0,−1，对于C：因为向量a在向量b上的投影向量为a→·b对于D：因为向量a=1,1,0,b=0,1,1,c=1,2,1，故答案为：ABD.

【分析】根据数量积求向量夹角公式，则判断出选项A；由数量积为0可得两向量垂直，则判断出选项B；根据数量积求投影向量公式，则判断出选项C；利用c→11．（2024高二上·普宁期中）函数f(x)=AsinA．f(x)=2B．f(x)的一个单调递增区间为11πC．函数f(x)的图象关于点−7πD．若函数f(λx)(λ>0)在[0,π]上没有零点，则λ∈【答案】A,C,D【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【解答】解：A：由函数图象可得T2=11π12−5π12=π2，则T=π，所以ω=2，

又f(5π12)=0，则Asin(2×B：当x∈[11π6,7π3]时，2x+πC：当x=−7π12时，f(−7π12)=2sin(−2×7π12D:f(λx)的图象是由f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的1λ倍得到的，

由题图知f(x)在[0,5π12)上没有零点，则f(λx)在[0,5π12λ)上没有零点，

故答案为：ACD.

【分析】根据三角函数的图象特征，依次求解函数的解析式，再分析其单调性、对称性以及零点相关问题.首先通过图象确定周期，进而求出ω，再结合特殊点求出φ和A，得到解析式后，分别对各选项进行分析.12．（2024高二上·普宁期中）已知直线x+2y+1=0与⊙C:(x−1)2+y2=4交于A，【答案】8【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程13．（2024高二上·普宁期中）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−cosα=【答案】3【知识点】同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：因为tanα=2，所以sinα+故答案为：3.【分析】将齐次式弦化切即可求解.14．（2024高二上·普宁期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有斛.【答案】10【知识点】锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r尺，则14×2πr=6，解得所以圆锥的体积为V=1所以堆放的米约有161.6故答案为：10.【分析】利用已知条件求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式得到圆锥的体积，利用体积估算出堆放的米的斛数.15．（2024高二上·普宁期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos（1）求cosB（2）若a=4,△ABC的面积为15，求△ABC的周长．【答案】（1）解：因为bcosC=(4a−c)cosB，所以sinBcosC=4sinAcosB−sinCcosB,即sin（2）解：由（1）可知cosB=14，则sinB=154．因为a=4,△ABC的面积为15，

所以12acsinB=15c2=【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）用正弦定理将边的关系转化为角的关系，再结合两角和的正弦公式化简，进而求出cosB（2）根据三角形面积公式求出c，再用余弦定理求出b，最后计算三角形的周长.（1）因为bcos所以sin即sinB因为A+B+C=π，所以sinA=所以sinA=4sinAcosB（2）由（1）可知cosB=14因为a=4,△ABC的面积为15，所以12ac由余弦定理得b2则b=4．故△ABC的周长为a+b+c=10．16．（2024高二上·普宁期中）已知直线2x−3y+1=0和直线x+y−2=0的交点为P.（1）求过点P且与直线3x−y−1=0平行的直线方程；（2）若直线l1与直线3x−y−1=0垂直，且P到l1的距离为【答案】（1）解：由2x−3y+1=0x+y−2=0解得x=1y=1，所以P(1,1)，设所求直线为3x−y+C=0，因为直线过点P(1,1)，所以3−1+C=0解得C=−2，所以所求直线方程为（2）解：直线l1与直线3x−y−1=0垂直，所以可设l1为x+3y+c=0，又因为P到l1的距离等于4+c10=105，解得c=−2【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；用斜率判定两直线平行【解析】【分析】(1)通过联立已知直线方程求出交点P的坐标，再根据两直线平行斜率相等设出所求直线方程，最后代入点P坐标求出方程.

(2)根据两直线垂直斜率之积为−1设出直线l1（1）由2x−3y+1=0x+y−2=0解得x=1y=1，所以设所求直线为3x−y+C=0，因为直线过点P(1,1)，所以3−1+C=0解得C=−2，所以所求直线方程为3x−y−2=0.（2）直线l1与直线3x−y−1=0垂直，所以可设l1为又因为P到l1的距离等于4+c10=105所以所求直线方程为x+3y−2=0或x+3y−6=0.17．（2024高二上·普宁期中）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：甲班813283239乙班1225262831如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．（1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率．【答案】（1）解：甲班样本数据的平均值为15由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；乙班样本数据的平均值为15由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．（2）解：由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为a，b，从中任取2人，有ab，其中都来自甲班的有ab，所以所求概率P=3【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（1）利用平均数的计算公式求解；

（2）用古典概型的概率计算公式求解.18．（2024高二上·普宁期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC//平面PAD，BC⊥AB.（1）证明：AD⊥平面PAB.（2）若AD=AB，PA=BC，且直线PD与直线BC所成角的正切值为32，求二面角A−CD−P【答案】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PA⊥BC，

因为BC⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，

因为BC//平面PAD，又BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BC//AD，

所以AD⊥平面PAB.（2）解：因为BC//AD，所以直线PD与直线BC所成的角为∠PDA，

因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，所以tan∠PDA=PAAD=32，即PA=32AD，

设AD为2个单位长度，以A为原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(2,3,0)设平面PDC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅CD=−2x−y=0,n⋅DP=−2y+3z=0,取易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)，

由图可知二面角A−CD−P为锐角，

则二面角A−CD−P的余弦值为m【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）要证明AD⊥平面PAB，需先证明BC⊥平面PAB，再利用线面平行的性质得到BC∥AD，从而得出AD⊥平面PAB.（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到平面ACD和平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值.（1）因为PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PA⊥BC，因为BC⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为BC//平面PAD，又BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BC//AD，所以AD⊥平面PAB.（2）因为BC//AD，所以直线PD与直线BC所成的角为∠PDA，因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，所以tan∠PDA=PAAD设AD为2个单位长度，以A为原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2,3,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，CD=(−2,−1,0)，DP设平面PDC的法向量为n=(x,y,z)，则取x=−1，则y=2，z=43，得易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)由图可知二面角A−CD−P为锐角，则二面角A−CD−P的余弦值为m⋅19．（2024高二上·普宁期中）如图1，已知圆心C在x轴的圆C经过点D(3,0)和E(2,3).过原点且不与x铀重合的直线l与圆C交于A、B两点（A在x轴上方）.（1）求圆C的标准方程；（2）若△ABD的面积为11，求直线l的方程；（3）将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂直，如图2，求折叠后AB的范围.【答案】（1）解：由题意，设圆心C(a,0)，半径为r(r>0)，因为圆C经过点D(3,0)和E(2,3)，可得CD=CE，即(a−2)2+(3)（2）解：当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为x=0，可得AB=23，此时△ABD的面积为S△ABD=12×23×3=33，不符合题意，舍去；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，其中k≠0，即kx−y=0，可得圆心C(1,0)到直线l的距离为d1=kk2+1，由圆的弦长公式，可得AB=2r2−d12=24−(kk2（3）解：解：当直线l的斜率不存在时，此时l