2025年上学期高一数学未解之谜背景试题（二）

2025年上学期高一数学未解之谜背景试题（二）一、数论基础与196回文数猜想选择题回文数是指正读与反读都相同的整数，如121、1331等。对于任意正整数n，定义迭代运算f(n)=n+reverse(n)，其中reverse(n)表示n的反序数。已知67经过2次迭代得到回文数484（67→143→484），89经过24次迭代得到8813200023188。关于196的迭代性质，下列说法正确的是（）A.经过100次迭代后得到四位数回文数B.计算机已验证至3亿位仍未出现回文数C.存在某个k，使得第k次迭代结果为196196D.其反序数迭代序列最终会进入循环填空题2.若正整数m满足m+reverse(m)=20252025，则m的最小值为__________。解答题3.定义"回文数距离"为正整数n通过迭代运算得到首个回文数所需的步数。（1）计算n=69的回文数距离；（2）若n为两位数，且十位数比个位数大3，求n的回文数距离的最大值；（3）对于三位数n=100a+10b+c（a≥1），证明：若a+c=b，则n的回文数距离不超过2。二、集合论与连续统假设选择题4.康托尔提出的连续统假设断言：不存在一个集合，其基数严格介于自然数集ℕ和实数集ℝ之间。已知集合A={x|x为[0,1]上的有理数}，B={x|x为方程x²-2=0的实根}，C={所有由0和1组成的无限序列}，下列关于集合基数的比较正确的是（）A.|A|<|B|<|C|B.|A|=|B|<|C|C.|A|<|B|=|C|D.|A|=|B|=|C|解答题5.设集合S是由所有满足以下条件的函数f组成的集合：f:ℕ→{0,1}，且存在某个正整数k，使得对任意n>k都有f(n)=0。（1）证明集合S是可数集；（2）若将条件改为"存在无限多个n使得f(n)=1"，所得集合T的基数与实数集ℝ是否相同？请说明理由。三、几何拓扑与庞加莱猜想选择题6.庞加莱猜想（已证明）指出："任何单连通的、闭的三维流形与三维球面同胚"。下列空间中不满足"单连通"性质的是（）A.三维欧氏空间中的单位球面S³B.挖去一个点的三维球面C.轮胎面（圆环面）所围成的三维区域D.正方体的表面填空题7.在三维空间中，用平面去截一个正四面体，截面多边形的边数最多为__________；若用平面去截一个克莱因瓶（不可定向闭曲面），截面可能出现的图形是__________（写出一种即可）。解答题8.考虑二维平面上的"七桥问题"变体：在一个有5个顶点的完全图中，每条边代表一座桥，顶点代表陆地。（1）证明该图中不存在经过每条边恰好一次的回路；（2）若允许重复经过顶点，最少需要重复经过多少条边才能完成一次遍历？四、代数方程与黎曼猜想选择题9.黎曼ζ函数定义为ζ(s)=Σₙ₌₁^∞1/nˢ（Re(s)>1），其非平凡零点的实部猜想为1/2。若ρ=1/2+it是ζ函数的一个非平凡零点，则下列等式成立的是（）A.ζ(1-ρ)=ζ(ρ)B.|ζ(ρ)|=1C.ζ(ρ)=ζ(2-ρ)D.Re(ζ(ρ))=0填空题10.设p是素数，若方程xⁿ+yⁿ=zⁿ存在正整数解，则n的最小值为__________；若限制x,y,z互素，则这样的n值有__________个。解答题11.费马大定理指出：当n>2时，方程xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解。（1）证明方程x³+y³=z³没有xyz≠0的整数解；（2）已知方程x⁴+y⁴=z²没有正整数解，利用此结论证明x⁴+y⁴=z⁴也没有正整数解。五、组合优化与NP完全问题选择题12."旅行商问题"（TSP）是典型的NP完全问题：给定n个城市及两两之间的距离，寻找一条经过每个城市恰好一次的最短回路。若用穷举法求解n个城市的TSP问题，需要检查的排列数为（）A.n!B.n²C.2ⁿD.n×2ⁿ填空题13.在一个3×3的网格图中，从左上角到右下角的最短路径有__________条；若禁止经过中心格子，则最短路径有__________条。解答题14.考虑"子集和问题"：给定正整数集合A={a₁,a₂,...,aₙ}和目标数T，判断是否存在子集B⊆A使得sum(B)=T。（1）当A={3,5,7,11},T=16时，写出所有满足条件的子集B；（2）若A中的元素均为斐波那契数，证明该问题存在多项式时间解法；（3）说明为何子集和问题属于NP类问题。六、概率统计与随机性猜想选择题15.关于"正态数"的猜想：几乎所有实数都是正态数（即数字0-9在其十进制展开中出现的频率均为1/10）。已知√2的十进制展开前1000万位中，数字"7"出现了999876次，则下列说法正确的是（）A.√2是正态数B.√2不是正态数C.该数据支持√2是正态数的猜想D.若继续计算1亿位，"7"出现次数必为1000万解答题16.蒙特卡洛方法是通过随机采样解决确定性问题的数值方法。（1）设计一个利用随机数估计π值的实验方案；（2）若使用边长为2的正方形及其内切圆，每次实验产生两个均匀随机数x,y∈[-1,1]，当实验次数为10⁶时，估计落在圆内的点数期望值；（3）说明为何该方法的误差随实验次数增加而减小。七、附加探究题（选做）冰雹猜想（3n+1问题）：对于任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3加1，重复操作最终会得到1。（1）验证n=27的迭代序列是否会进入4→2→1循环；（2）若定义"冰雹高度"为迭代过程中出现的最大数，求n=9的冰雹高度；（3）假设存在某个正整数n使得迭代序列不收敛于1，构造一个可能的反例并说明其特征。拉姆齐数R(m,n)是指最小的正整数p，使得任何p个人中要么有m个互相认识，要么有n个互相不认识。已知R(3,3)=6，R(3,4)=9。（1）证明在任意