2025年上学期高一数学艺术素养评估试题(二)_第1页
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文档简介

2025年上学期高一数学艺术素养评估试题(二)注意事项答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡指定位置。作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。作答非选择题时,将答案写在答题卡对应区域内,超出答题区域书写的答案无效。本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)敦煌莫高窟第285窟的壁画中绘制了正五边形纹样,若正五边形的边长为2,则其内切圆半径为()A.$\frac{1}{\tan36^\circ}$B.$\tan36^\circ$C.$\frac{1}{\sin36^\circ}$D.$\cos36^\circ$达芬奇在《维特鲁威人》中提出人体比例的黄金分割原则,若某艺术品的主体结构符合黄金分割比例,已知较长部分长度为$5\sqrt{5}-5$,则较短部分长度为()A.$10-2\sqrt{5}$B.$5\sqrt{5}-10$C.$15-5\sqrt{5}$D.$5\sqrt{5}-15$剪纸艺术中常用到几何图形的对称变换,如图1所示的菱形剪纸图案中,$\angleBAD=60^\circ$,$AB=4$,若将菱形绕对角线交点顺时针旋转$60^\circ$,则点$B$的对应点坐标为()(以对角线交点为原点,$AC$所在直线为$x$轴建立坐标系)A.$(\sqrt{3},1)$B.$(-\sqrt{3},1)$C.$(1,\sqrt{3})$D.$(-1,\sqrt{3})$中国传统建筑中的斗拱结构蕴含丰富的数学规律,某斗拱构件的尺寸如图2所示(单位:cm),其中$AB\parallelCD$,$AE\perpCD$,若$\tan\angleADE=\frac{3}{4}$,$DE=8$cm,则$AB$的长度为()A.10cmB.12cmC.14cmD.16cm现代艺术装置“莫比乌斯环”的表面可近似看作由函数$f(x)=\sin\frac{\pi}{2}x+\cos\frac{\pi}{2}x$在区间$[0,4]$上的图像绕$x$轴旋转形成的曲面,该函数在$x=1$处的切线斜率为()A.$-\frac{\pi}{2}$B.0C.$\frac{\pi}{2}$D.$\pi$某中学艺术社团制作的正六棱柱形灯笼,底面边长为15cm,高为40cm,现要在灯笼侧面粘贴装饰画,若每幅装饰画是面积为$150\sqrt{3}\\text{cm}^2$的菱形,则每个侧面至少需要粘贴装饰画的数量为()A.3B.4C.5D.6分形几何中的科赫雪花图案是由等边三角形通过迭代生成的,第1代科赫雪花的边长为1,面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$,则第3代科赫雪花的周长与面积之比为()A.$\frac{16\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{16\sqrt{3}}{9}$C.$\frac{32\sqrt{3}}{9}$D.$\frac{32\sqrt{3}}{27}$古希腊雕塑《断臂的维纳斯》的身高约为160cm,若从头顶到肚脐的距离与肚脐到足底的距离之比为黄金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$,则其肚脐到足底的距离约为()A.99cmB.101cmC.103cmD.105cm某艺术展厅的地面由全等的正六边形地砖铺设而成,相邻地砖的公共边长度为50cm,现要在地面上绘制一个顶点均在地砖顶点处的正方形图案,则该正方形的最小面积为()A.$15000\\text{cm}^2$B.$22500\\text{cm}^2$C.$30000\\text{cm}^2$D.$45000\\text{cm}^2$函数$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的图像可用来模拟音乐波形,若某音符对应的函数图像经过点$(0,2)$和$(\frac{\pi}{6},0)$,且相邻对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$,则$\omega+\varphi$的值为()A.$\frac{\pi}{3}$B.$\frac{\pi}{6}$C.$-\frac{\pi}{3}$D.$-\frac{\pi}{6}$如图3所示的螺旋线图案是由一系列半圆连接而成,第1个半圆的直径$AB=2$,圆心在$x$轴正半轴,第2个半圆的直径$BC=1$,圆心在$y$轴正半轴,第3个半圆的直径$CD=1$,圆心在$x$轴负半轴,第4个半圆的直径$DE=0.5$,圆心在$y$轴负半轴,依此类推,若此螺旋线与$y$轴正半轴的交点从下到上依次记为$B_1,B_2,B_3,\cdots$,则$B_5$的纵坐标为()A.$\frac{15}{8}$B.$\frac{31}{16}$C.$\frac{63}{32}$D.$\frac{127}{64}$在数字艺术创作中,常用到矩阵变换,若将点$P(x,y)$经过矩阵$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$变换后得到点$P'(\sqrt{3}-1,1+\sqrt{3})$,则当$\theta=\frac{\pi}{4}$时,点$P$到原点的距离为()A.$2\sqrt{2}$B.$2\sqrt{3}$C.4D.$4\sqrt{2}$二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)某刺绣作品采用“乱针绣”技法,其局部图案可看作由函数$f(x)=x^3-3x$的图像与$x$轴围成的封闭区域,现要给该区域涂色,则涂色面积为__________。中国结是中华民族的传统手工艺品,其中“吉祥结”的编织过程可抽象为几何图形的对称变换。如图4所示的吉祥结图案中,共有__________条对称轴。音乐的十二平均律中,各音的频率成等比数列,若已知基准音$A$(简谱“6”)的频率为440Hz,相邻音的频率比为$2^{\frac{1}{12}}$,则高音$A$(比基准音高八度)的频率为__________Hz,中音$C$(比基准音低小三度,即3个半音)的频率为__________Hz(结果保留整数)。立体构成艺术中,某作品由棱长为2的正方体切割而成,其三视图如图5所示(单位:cm),则该几何体的体积为__________,表面积为__________。三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分10分)在陶艺制作中,常用旋转成型技术制作圆柱形或圆台形器皿。某同学制作的圆台形花盆(无盖),其上底半径为6cm,下底半径为10cm,母线长为5cm。(1)求该花盆的侧面积(结果保留$\pi$);(2)若该花盆盛满水,求水对盆底的压力(水的密度$\rho=1.0\times10^3\\text{kg/m}^3$,重力加速度$g=9.8\\text{m/s}^2$,结果保留两位小数)。(本小题满分12分)敦煌壁画中的飞天形象常用到抛物线造型,如图6所示,某飞天飘带的轮廓线可近似看作抛物线$y=ax^2+bx+c$的一部分,已知飘带轮廓线经过点$A(-4,0)$,$B(0,3)$,$C(2,0)$。(1)求该抛物线的解析式;(2)若飘带轮廓线上点$D$到$y$轴的距离为3,求点$D$到直线$AB$的距离;(3)在飘带轮廓线$AC$段(含端点)上是否存在点$P$,使得$\trianglePAB$的面积最大?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,说明理由。(本小题满分12分)某校艺术社团计划制作一个正四棱锥彩灯框架,其侧面由4块全等的三角形玻璃构成,底面是边长为80cm的正方形。(1)若侧面三角形的顶角为$60^\circ$,求该棱锥的高(结果保留根号);(2)现有两种规格的玻璃材料:①边长为100cm的等边三角形玻璃;②底边长80cm、腰长100cm的等腰三角形玻璃。哪种材料更节省用料?请说明理由;(3)为增强照明效果,社团决定在棱锥内部安装一个圆柱形LED灯,要求圆柱的上底面与侧面相切,下底面落在棱锥底面上,若棱锥的高为60cm,求该圆柱的最大体积(结果保留$\pi$)。(本小题满分12分)在建筑装饰中,圆弧与直线的组合应用广泛。如图7所示,某艺术馆的入口顶部设计为一段圆弧$AB$和两条线段$AC$、$BC$构成的封闭图形,其中$AC=BC=6$m,$\angleACB=120^\circ$,圆弧$AB$所在圆的圆心为$O$。(1)求证:点$O$在$CD$上($CD$为$\angleACB$的平分线);(2)求圆弧$AB$的长度(结果保留$\pi$);(3)若在该图形区域内安装LED灯带,已知圆弧部分灯带每米造价为300元,线段部分灯带每米造价为200元,求安装整个灯带的总造价(结果保留整数)。(本小题满分12分)函数图像的变换是数字艺术设计的基础,已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$。(1)将函数$f(x)$的图像上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变),再向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度,得到函数$g(x)$的图像,求$g(x)$的解析式及最小正周期;(2)已知某艺术图案是由函数$g(x)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的图像与坐标轴围成的封闭区域,现要给该区域填充渐变色,其色值变化规律为$h(x,y)=x^2+y^2$,求色值$h(x,y)$的最大值与最小值;(3)若将函数$f(x)$的图像绕原点逆时针旋转$\alpha$角($0<\alpha<\frac{\pi}{2}$)后得到的图像仍是某函数的图像,求$\alpha$的取值范围。(本小题满分12分)分形艺术是一种基于递归迭代生成的视觉艺术,谢尔宾斯基三角形是经典的分形图案,其生成规则如下:第0代:一个边长为1的等边三角形;第1代:连接第0代三角形各边中点,得到4个小等边三角形,去掉中心的1个小三角形;第2代:对第1代剩下的3个小三角形分别重复第1代的操作;……依此类推,不断迭代生成。(1)记第$n$代谢尔宾斯基三角形的边数为$a_n$,面积为$S_n$,写出$a_n$,$S_n$的递推公式(不需要证明);(2)求第$n$代谢尔宾斯基三角形的周长$L_n$和面积$S_n$(用含$n$的式子表示);(3)若在第3代谢尔宾斯基三角形图案中随机取一点,求该点位于黑色区域(未被挖去部分)的概率。参考答案及评分标准(本部分不印在试卷上)一、选择题A2.C3.D4.B5.B6.C7.D8.A9.C10.D11.B12.C二、填空题414.615.880,32916.$\frac{20}{3}\\text{cm}^3$,$24+8\sqrt{2}\\text{cm}^2$三、解答题(1)$80\pi\\text{cm}^2$;(2)$0.245\\text{N}$(1)$y=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+3$;(2)$\frac{9\sqrt{2}}{8}$;(3)存在,$P(-1,\frac{27}{8})$(1)$20\sqrt{3}\\text{cm}$;(2)第二种材料更节省;(3)$1000\pi\\text{cm}

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