《信号与系统》课件-第四章连续系统的复频域分析

第4章连续系统的复频域分析学习重点：单边拉氏变换及其重要性质；拉氏反变换的方法（部分分式展开）；微分方程的S域求解；电路的S域模型及分析方法。§4.1拉普拉斯变换§4.2拉普拉斯变换的基本性质§4.3拉普拉斯逆变换§4.4连续时间系统的复频域分析§4.5

系统函数与系统特性§4.6线性系统的稳定性§4.7线性系统的模拟本章目录

§4.1拉普拉斯变换变换思想：以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。§4.1拉普拉斯变换

§4.1拉普拉斯变换

为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1．拉普拉斯正变换4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换2．拉氏逆变换3．拉氏变换对4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换F(s)：为s的函数，称为象函数。s=

+j

，复频率。变换对：

f(t)F(s)

电压：u(t)U(s)

电流：i(t)I(s)

4.1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号f(t)的单边拉氏变换定义：

收敛域就是使

存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；则收敛条件为

。4.1.2拉普拉斯变换的收敛域图4-2拉普拉斯收敛域4.1.2拉普拉斯变换的收敛域例4-1-1求指数函数的拉氏变换及其收敛域。解

设的双边拉氏变换为,则当时，有故有在s平面上时使上式存在的区域称为如图4-2（b）所示。收敛域边界的横坐标称为收敛坐标，用表示,本例中，注意与收敛域是一一对应的。的收敛域，4.1.3常用信号的拉普拉斯变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号表4—1一些常见函数的拉氏变换

4.1.3常用信号的拉普拉斯变换指数信号：故

同理

有

图2收敛域的示意冲激信号：

单位阶跃信号：正弦信号：4.1.3常用信号的拉普拉斯变换斜坡信号：余弦信号：4.1.3常用信号的拉普拉斯变换4.2.1.线性性质§4.2拉普拉斯变换的性质

4.2.2延时特性4.2.3复频移性质4.2.4时域微分性质4.2.5时域积分性质4.2.7初值与终值定理4.2.6尺度变换性质4.2.1.线性性质例则4.2.1.线性性质例4-2-1试求的拉普拉斯变换解：因为由线性性质得

表明：信号延时t0出现时，其拉氏变换是原象函数乘以与t0有关的指数因子。4.2.2延时特性因故图1观察下图例子：注意各函数的区别！例4.2.2延时特性4.2.2延时特性例4-2-2求，的拉普拉斯变换。解：因为故根据时移性质，得因为又可以表示为所以根据线性，得

表明：信号乘以，则对应的拉氏变换是原象函数在S域移动。4.2.3复频移性质4.2.3复频移性质例4-2-3

求和的拉氏变换。解已知

由复频域平移定理，有

同理，因

故有

如

表明：函数f(t)求导后的拉氏变换是原函数的象函数乘以复量s，再减去原函数f(t)在0

时的值。推广：4.2.4时域微分性质例4-2-4求冲激函数

的导数

拉普拉斯变换。4.2.4时域微分性质解已知

根据时域微分性质，有

例4-2-5已知,求其导数的拉普拉斯变换。解:用两种方法进行求解。方法一：由基本定义求解。因为的导数为

4.2.4时域微分性质

方法二:由时域微分性质求解。已知则

两种方法结果相同，但后者考虑了的条件。表明：一个函数积分后的信号拉氏变换等于原函数的象函数除以复量s。如则4.2.5时域积分性质例4-2-6试通过阶跃信号

的积分求

的拉氏变换。4.2.5时域积分性质解因为而

故有

例4-6试通过阶跃信号

的积分求

的拉氏变换。4.2.5时域积分性质解因为而

故有

例4-2-7求图4-4（a）所示三角脉冲的拉普拉斯变换。

4.2.5时域积分性质解因为

解：先将求导两次，得和，如图4-4（b）和c）所示，可表示为再由积分定理可得的拉氏变换4.2.6尺度变换性质

4.2.6尺度变换性质

例4-2-8已知

的拉氏变换为，若，

求的拉氏变换。解：先由延时定理求得再借助尺度变换定理即可求出所需结果另一种作法是先引用尺度变换定理，再借助延时定理。这时首先得到

若f(t)在t→∞时极限f(∞)存在，并且则f(t)的终值为若信号f(t)不包含冲激函数δ(t)及其各阶导数，并且Re［s］＞σ0

则信号f(t)的初值为Re［s］＞σ0

4.2.7初值与终值定理4.2.7初值与终值定理例4-2-9

已知，试求。

解：

根据初值定理得例4-2-10已知，解：根据终值定理得试求的初值。

,试求的终值

表明：两信号卷积的象函数等于相应两个象函数的乘积。应用于系统分析：（S域系统函数）4.2.8时域卷积定理卷积定理表明：两个时域函数的卷积对应的拉氏变换为相应两象函数的乘积，是在复频域中求解零状态响应的依据。4.2.8时域卷积定理例4-11试求图4-4(a)所示三角脉冲信号的象函数。tof

(t)tt2t(a)(b)tot1tto1t解：

图4-4（a）中的三角脉冲信号可以分解为两个相同的矩形脉冲信号的卷积

式中

其拉普拉斯变换

应用时域卷积定理，可得4.2拉普拉斯变换的性质。

展开定理（部分分式展开法）：对线性系统而言，象函数（有理真分式）可以分解为许多简单分式之和的形式。§4.3拉普拉斯逆变换式中1.D(s)=0的根均为单实根(i=1，2，

n)则§4.3拉普拉斯逆变换例4-3-1

设，求f(t)。解

其中

所以则§4.3拉普拉斯逆变换例4-3-2已知象函数

，

求原函数

。解由于

的分子分母为同次幂，先要相除，得可展开为

解得系数

从而

§4.3拉普拉斯逆变换2.D(s)=0有共轭复根利用上法，得系数设则§4.3拉普拉斯逆变换例4-3-2

设，求f(t)。解

其中所以§4.3拉普拉斯逆变换3.D(s)=0含有重根其中设则(n=1，2，

m)§4.3拉普拉斯逆变换例4-3-3

设，求f(t)。解

其中则

思想：

微分方程的S域求解§4.4连续时间系统的复频域分析

图1例4-4-1已知线性系统的微分方程为：

已知

，求系统的零输入响应yxi(t)、零状态响应yzs(t)和完全响应y(t)。4.4.1微分方程的复频域求解解：根据单边拉氏变换的时域微分性质，对系统微分方程取单边拉氏变换，得整理后得到零输入响应的s域表示为4.4.1微分方程的复频域求解对上式进行拉氏反变换得的单边拉氏变换为所以零状态响应的s域表示式为对上式进行拉氏反变换得故全响应为例4-4-2对于图2所示电路,已知R=10Ω，L=1H，C=0.004F,求i(t)。解其KVL方程为令i(t)I(s)，u(t)U(s)，i(0)=0，uC(0)=2V，则方程的拉氏变换为图2L4.4.1微分方程的复频域求解得反变换得4.4.1微分方程的复频域求解

电路的S域模型1.电阻元件图34.4.2电路的模型及复频域求解2.电容元件

图44.4.2电路的模型及复频域求解3.电感元件图54.4.2电路的模型及复频域求解4.电路定律的s域模型阻抗：导纳：4.4.2电路的模型及复频域求解例4-4-3图4-11(a)所示RLC系统，,t＜0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t≥0时的完全响应

。解:求完全响应4.4.2电路的模型及复频域求解由电路可得起始状态从而可得如图4.11（b）所示s域电路模型。4.4.2电路的模型及复频域求解则S域的网孔方程为式中，

,把及各元件的值代入网孔方程，解网孔方程得

求IL(s)的单边拉氏逆变换，得

4.4.2电路的模型及复频域求解4.4.2电路的模型及复频域求解例4-4-4

图4-12(a)所示电路,开关K在t=0时闭合,已知uC1(0-)=3V,uC2(0-)=0V,试求开关闭合后的网孔电流i1(t)。

解:

s域模型如图4-13(b)所示，则s域网孔方程为解得求

的单边拉氏逆变换，得

4.4.2电路的模型及复频域求解§4.5系统函数与系统特性4.5.1系统函数4.5.2系统函数的零、极点4.5.3系统函数的零、极点分布与时域特性的关系4.5.1系统函数对于线性时不变系统，其输入信号与输出信号

之间的关系可由n阶线性常系数微分方程描述，即设输入为在t=0时刻加入的有始信号，且系统为零状态，则有对式（4-34）两边进行拉普拉斯变换，根据时域微分性质可得定义系统函数如下：4.5.1系统函数若系统函数为

和输入信号的象函数已知，则有响应函数在时域中有由卷积定理知，恰是取拉氏变换的结果归纳以上分析，系统函数有如下性质：(1)取决于系统的结构与元件参数，它确定了系统在s域的特征；(2)是一个实系数有理分式，其分子分母多项式的根均为实数或共轭复数；(3)为系统冲激响应的拉氏变换。4.5.1系统函数例4-22已知描述某系统的数学模型为试求该系统的故冲激响应h(t)解(1)在零状态下对常微分方程两边取拉普拉斯变换,得4.5.1系统函数故冲激响应

为例4-5-1已知系统函数为当输入

,初始状态y(0-)=3,y′(0-)=2。试求响应y(t)。4.5.1系统函数对上式进行拉氏反变换得解利用复频域分析法很容易求出系统的零状态响应y(t)。4.5.2系统函数的零、极点

一般来说，线性时不变连续系统的系统函数H(s)通常是复变量s的有理分式，可以表示为

式中、

,均为实常数，通常

将上式中的分子N（s）和分母D(s)进行因式分解，可进一步将系统函数表示为将上式中的分子N（s）和分母D(s)进行因式分解，可进一步将系统函数表示为4.5.2系统函数的零、极点是系统函数分母多项式D(s)=0的根，称为系统函数的极点,

是系统函数分子多项式N(s)=0的根，称为系统函数的零点,极点使系统函数取值为无穷大,而零点使系统函数取值为零。如果H(s)的零点、极点和

已知，则系统就完全确定。把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形,叫做系统函数的零、极点图。其中零点用“○”表示。极点用“×”表示。若为n重极点或零点,则注以（n）。4.5.2系统函数的零、极点

它表明系统在原点处有二重零点,在z1=-3处有一个零点;而在p1=-1,p2=-2+j1,p3=-2-j1,处各有一个极点,该系统函数的零、极点图如图4-14所示。例如某系统的系统函数为4.5.3系统函数的零、极点分布与时域特性的关系几种典型情况4.5.3系统函数的零、极点分布与时域特性的关系当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡4.5.3系统函数的零、极点分布与时域特性的关系

有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随

,这表明的极点位于左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，均存在，两者可通用，只需将即可。4.5.3系统函数的零、极点分布与时域特性的关系例如，其零点为s=-3,则冲激响应为若系统函数改为其零点为s=-1,极点没变，则冲激响应为4.5.4系统函数的零、极点分布与频域特性的关系所谓“频率响应”，是指系统在等幅振荡的正弦信号激励下，响应随输入信号频率变化而发生改变的情况，其中包括幅度随频率变化而变化的幅频特性和相位随频率变化而变化的相频特性。系统地频率特性与系统地零、极点有关，令分子中每一项4.5.4系统函数的零、极点分布与频域特性的关系由矢量图可确定频率响应特性当ω沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。4.5.4系统函数的零、极点分布与频域特性的关系例4-5-2确定图4-16示RC电路系统的频响特性。解4.5.4系统函数的零、极点分布与频域特性的关系

所以RC电路系统的频率响应特性如图所示

RC电路的幅频特性与相频特性§4.6线性系统的稳定性系统是否稳定与激励信号的选择无关。直观地看，当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引起的系统响应在干扰消失后最终消失，即系统仍能回到干扰作用前的原状态，则系统就是稳定的。对于任何系统，要能正常工作，都必须以系统稳定为先决条件，所以，设法判定系统是否稳定是十分重要的。稳定：若)的所有极点位于s平面的左半平面，则系统是稳定的。临界稳定：若)在虚轴上有

或一对共轭单极点时，其余极点全都位于s平面的左半平面，则系统是临界稳定的。不稳定：若)只要有一个极点位于s平面的右半平面，或者在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点时，系统是不稳定的。§4.6线性系统的稳定性对于线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激响应h(t)绝对可积：

式中，M为正实数。

如果系统是因果的，则当t<0时,h(t)=0。所以系统稳定的充要条件为

§4.6线性系统的稳定性例4-6-2有三个系统，其系统函数分别为

（1）

（2）

（3）试判定这三个系统的稳定状态。

解根据

的极点分布与系统稳定性的关系可知：该系统的两个极点都位于s平面的左半平面，因此为稳定系统；该系统有一个极点都位于s平面的右半平面，因此为不稳定系统；该系统有一个极点都位于坐标原点，因此为临界稳定系统.4.6.2系统稳定性判据

设n阶线性连续系统的系统函数为：式中，m≤n，ai(i=0,1,2,…,n)、bj(j=0,1,2,…,m)是实常数。H(s)的分母多项式为：H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。4.6.2系统稳定性判据4.6.2系统稳定性判据若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：

4.6.2系统稳定性判据

罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai＞0。显然，若A(s)为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。

4.6.2系统稳定性判据

罗斯判据(罗斯准则)指出：多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。若第一列元素的值不是全为正值，则表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面，因而系统是稳定系统。若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同，则系统是不稳定系统。

4.6.2系统稳定性判据

H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。4.6.2系统稳定性判据

例4-6-2判断三个系统是否为稳定系统解

H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为4.6.2系统稳定性判据

A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为根据R-H准则，系统稳定。4.6.2系统稳定性判据例4-6-3图4-18所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中H1(s)为

K取何值时系统为稳定系统。解令加法器的输出为X(s)，则有4.6.2系统稳定性判据根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得

计算阵列的未知元素，得到阵列为

根据R-H准则，若和K＞0，则系统稳定根据以上条件，当0<K＜110时系统为稳定系统。4.7线性系统的模拟4.7.1基本运算单元连续线性时不变系统的模拟通常由加法器、数乘器（放大器）和积分器三种运算器组成。加法器的s域模型数乘器的s域模型数乘器的s域模型

4.7.2系统模拟的直接形式

为了实际研究系统的特性，有时需要进行实验模拟。所谓“模拟”，就是指用一些基本运算器（积分器、数乘器和加法器相互连接构成一个系统，使之与所讨论的实际系统具有相同的数学模型（系统函数）。这样就可以观察和分析系统各处参数变化对相应