部编版八年级数学函数知识点总结

部编版八年级数学函数知识点总结函数是初中数学的重要内容，也是进一步学习更高年级数学知识的基础。它不仅仅是一个数学概念，更是一种描述现实世界中变量之间相互依存关系的工具。在八年级阶段，我们主要接触的是函数的基本概念以及最为基础的一次函数（包括正比例函数）。下面，我们将对这部分知识进行系统梳理，帮助同学们构建清晰的知识框架。一、变量与函数的基本概念在探索事物的变化过程中，我们常常会遇到各种不同的量。有些量在过程中保持不变，我们称之为常量；而有些量则会发生变化，我们称之为变量。例如，在匀速直线运动中，速度是常量，时间和路程就是变量。1.函数的定义在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。这个定义中有几个关键点需要深刻理解：*两个变量：必须存在两个相互关联的变量。*x的每一个确定的值：自变量x在某个范围内取值。*y有唯一确定的值与其对应：这是函数概念的核心。对于x的一个值，不能有两个或更多个不同的y值与之对应。例如，y=±x，当x=1时，y有1和-1两个值，这就不是函数关系。2.函数的表示方法函数关系的表示，常见的有三种方法：*解析法：用数学式子表示函数关系的方法。例如，y=2x+1，s=60t等。这种方法的优点是简洁、准确，便于进行理论分析和计算。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。例如，我们可以列出一天中不同时刻对应的气温。这种方法的优点是直观，可以直接看出部分对应值。*图象法：用图象（通常是平面直角坐标系中的曲线或直线）来表示函数关系的方法。例如，我们熟悉的一次函数图象是一条直线。这种方法的优点是形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势。在实际应用中，我们常常需要根据具体问题选择合适的表示方法，有时也会将几种方法结合起来使用，以更全面地理解函数关系。3.函数自变量的取值范围自变量x的取值范围是函数定义的重要组成部分，它指的是使函数有意义的x的所有可能值。确定自变量取值范围时，通常要考虑以下几个方面：*实际问题：在实际问题中，自变量的取值必须使实际问题有意义。例如，路程不能为负，人数必须是正整数等。*数学式子本身：*若函数表达式是整式（如一次函数），自变量的取值范围是全体实数。*若函数表达式是分式，自变量的取值范围是使分母不为零的实数。（八年级下册可能会接触到分式，但函数部分主要还是整式型）*若函数表达式中含有二次根式（八年级下册会学习），自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数。二、一次函数1.正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。*理解要点：*等号右边是关于自变量x的一次单项式。*比例系数k不能为0，这是定义的重要组成部分。*当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特殊形式。正比例函数的图像与性质：*图像：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点（0,0）的直线。我们通常称之为“直线y=kx”。*画正比例函数图像时，根据“两点确定一条直线”，通常选取原点（0,0）和点（1,k）这两个点，连接即可。*性质：*当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大。*当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小。*k的绝对值|k|越大，直线y=kx与x轴正方向所成的角越大，即图像越“陡”；|k|越小，直线越“平缓”。2.一次函数的定义与图像定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。*理解要点：*k是自变量x的系数，称为斜率，b是常数项，称为截距（更准确地说是纵截距）。*k≠0是定义的关键，若k=0，则函数变为y=b，此时它是一个常函数，不是一次函数。*当b=0时，一次函数就退化为正比例函数，所以正比例函数是特殊的一次函数。一次函数的图像：*一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图像是一条直线。我们通常称之为“直线y=kx+b”。*画法：同样根据“两点确定一条直线”。为了计算简便，通常选取：*与y轴的交点：（0，b）。令x=0，解得y=b。*与x轴的交点：（-b/k，0）。令y=0，解得x=-b/k。当然，也可以选取其他易于计算的点，如当x=1时，y=k+b。3.一次函数的性质一次函数y=kx+b（k≠0）的性质主要由k和b的取值共同决定：*k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性：*当k>0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大。*当k<0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小。*|k|的大小决定直线的倾斜程度（陡峭或平缓），|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。*b的符号决定直线与y轴交点的位置：*当b>0时，直线与y轴交于正半轴（（0，b）在原点上方）。*当b=0时，直线经过原点（此时为正比例函数）。*当b<0时，直线与y轴交于负半轴（（0，b）在原点下方）。直线y=kx+b的位置与k、b符号的关系：*k>0,b>0：直线经过第一、二、三象限。*k>0,b<0：直线经过第一、三、四象限。*k<0,b>0：直线经过第一、二、四象限。*k<0,b<0：直线经过第二、三、四象限。三、函数的应用1.利用函数图像解决问题函数图像是直观反映两个变量之间关系的工具。通过观察函数图像，我们可以：*直接读出某些特定自变量对应的函数值，或某些函数值对应的自变量的值。*判断函数的增减性。*确定函数图像与坐标轴的交点坐标，这些交点往往具有实际意义。*比较不同函数在同一自变量取值范围内的函数值大小。*解决一些与行程、工程、利润等相关的简单实际问题，例如通过图像分析运动过程，找出相遇点、追及点等。2.用待定系数法求函数解析式待定系数法是求函数解析式的常用方法，其基本思路是：1.设出函数的一般形式：根据已知条件判断函数类型（如正比例函数设为y=kx，一次函数设为y=kx+b）。2.代入已知点的坐标：将函数图像上已知点的坐标（x，y）代入所设的解析式中，得到关于待定系数（k，b等）的方程或方程组。3.解方程（组）：求出待定系数的值。4.写出函数解析式：将求出的待定系数的值代入所设的一般形式，即可得到所求的函数解析式。例如，已知一次函数的图像经过点（1，3）和（-1，-1），求其解析式。解：设该一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）。将点（1，3）代入得：3=k*1+b将点（-1，-1）代入得：-1=k*(-1)+b联立方程组，解得k=2，b=1。所以，该一次函数的解析式为y=2x+1。四、总结与学习建议八年级数学中的函数知识，特别是一次函数，是整个中学阶段函数学习的基石。它不仅要求我们理解概念，更要掌握其图像与性质，并能运用这些知识解决实际问题。学习函数时，要注意以下几点：*深刻理解概念：特别是函数定义中“唯一确定”的含义，以及一次函数中k和b的几何意义和对函数图像、性质的影响。*数形结合：函数的图像是理解函数性质的直观工具，要养成画图、识图、用图的习惯，将抽象的代数表达式与直观的几何图形结合起来。*勤于练习：通过适量的练习来巩