广东省2021中考数学试题典型例题分析

广东省2021中考数学试题典型例题分析作为一名长期关注并研究中考数学的教育工作者，每年的中考试题都是我们洞察教学方向、把握学生能力培养重点的重要窗口。2021年广东省中考数学试题，在延续了近年来命题风格的基础上，更加注重对学生数学核心素养的考查，强调基础知识的灵活运用和实际问题的解决能力。本文将选取几道具有代表性的典型例题，进行深度剖析，旨在为今后的数学教学与备考提供一些有益的参考。一、试题总体评价2021年广东省中考数学试题严格遵循《义务教育数学课程标准》的要求，在题型、题量、难度等方面保持了相对稳定。试题覆盖面广，既注重对基础知识、基本技能的考查，也突出了对数学思想方法和学生综合运用能力的检验。与往年相比，试题更具开放性和探究性，部分题目情境贴近生活，引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，体现了“从生活走向数学，从数学走向社会”的理念。二、典型例题深度剖析（一）选择题：概念辨析与基础运算并重例题1（类似概念辨析题）下列说法正确的是（）A.任何数都有平方根B.单项式的次数是指所有字母的指数和C.若，则D.平移不改变图形的形状和大小考查目标：本题主要考查学生对数学基本概念的准确理解，涉及平方根、单项式次数、绝对值以及图形变换等多个基础知识点。思路分析：对于这类概念辨析题，解答的关键在于对每个选项所涉及的数学概念有清晰、准确的把握，需要逐一进行判断。A选项，平方根的概念中明确指出，负数没有平方根，因此“任何数都有平方根”的说法错误。B选项，单项式的次数定义为所有字母的指数和，这是单项式次数的核心定义，该选项表述正确。C选项，绝对值的性质是，若，则或，原选项忽略了另一种情况，所以错误。D选项，平移的性质是只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，该选项表述正确。经过逐一分析，可知正确选项为B和D。题目点评与反思：此类题目看似简单，但往往是学生失分的“重灾区”。它要求学生在学习过程中不能满足于对概念的一知半解，必须抠准定义中的关键词句。在备考时，应回归教材，将相似、易混淆的概念进行对比梳理，加深理解，避免因概念不清而导致判断失误。（二）填空题：考查知识迁移与简洁表达例题2（类似几何多结论判断题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别在边AD、BC上，且AE=2，现将△ABE沿BE折叠，点A落在点A'处，连接A'C，则A'C的长度为________。（*此处省略图形，实际分析时需结合图形*）考查目标：本题主要考查矩形的性质、图形的翻折变换（折叠问题）、勾股定理以及空间想象能力。要求学生能根据折叠的性质找到等量关系，并运用勾股定理求解线段长度。思路分析：解决折叠问题的关键是抓住“折叠前后图形全等，对应边相等，对应角相等”这一核心性质。首先，根据矩形ABCD的性质，AB=CD=4，AD=BC=6，∠A=∠D=90°。已知AE=2，则ED=AD-AE=6-2=4。将△ABE沿BE折叠，点A落在点A'处，所以AE=A'E=2，AB=A'B=4，∠BA'E=∠A=90°。接下来，需要确定点A'的位置，以便求出A'C的长度。过点A'作BC的垂线，交BC于点G，交AD于点H（或直接作A'H垂直于AD于H，利用坐标法或勾股定理在直角三角形中求解）。设A'H=x，A'G=4-x（因为矩形的宽AB=4）。在Rt△A'HE中，EH=AH-AE，而AH=BG，可通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解。或者，考虑以点B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解会更直观。设B为(0,0)，则A(0,4)，E(2,4)。折叠后A'的坐标可根据BE为对称轴求解，或利用向量知识。但对于初中生而言，更常用的是几何构造直角三角形。延长EA'交BC于点F，易证△EFD∽△A'FB（或通过角度关系找到直角三角形），但可能稍显复杂。更直接的方法是，在折叠后，在Rt△A'ED中（假设A'E垂直于ED，此处需根据图形判断A'的具体位置，若A'落在矩形内部），ED=4，A'E=2，∠A'ED是否为直角？若BE的斜率确定，A'的位置随之确定。（*此处为模拟分析，实际解题时需准确画出图形辅助理解*）经过计算（具体计算过程略，假设通过构造直角三角形A'GC，其中GC=BC-BG，A'G=AB-A'H，利用勾股定理可求得），A'C的长度为。题目点评与反思：填空题中的几何计算题，不仅要求学生能熟练运用几何性质，还要求计算准确、表达简洁。折叠问题是中考的热点，学生在解题时要善于利用折叠带来的等线段和等角，通过添加适当的辅助线（如作高、连线等），将所求线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理或相似三角形的性质求解。平时练习时，应注重对图形的观察和分析能力的培养，提高空间想象能力。（三）解答题：强调综合应用与规范表述例题3（类似函数与几何综合题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点。（1）求点A、B、C的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE∥CD交抛物线于点E（点E在第一象限），求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AE、BE，在抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积等于△ABE的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（*此处省略图形，实际分析时需结合图形*）考查目标：本题是一道二次函数与几何的综合题，主要考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数的图像与性质、平行线的性质、图形面积的计算以及存在性问题的探究。综合性强，难度较大，能有效考查学生分析问题和解决问题的能力。思路分析：（1）求点A、B、C的坐标：对于抛物线，求与x轴的交点A、B，令y=0，解方程即可；求与y轴的交点C，令x=0，求出y值即可。令y=0，得，解得x1=，x2=（假设具体数值）。因为点A在点B左侧，所以A(,0)，B(,0)。令x=0，得y=，所以C(0,)。（2）求点E的坐标：首先，要求出直线CD的解析式，因为OE∥CD，所以直线OE的斜率与直线CD的斜率相等。已知点C(0,)和点D（抛物线顶点），抛物线的顶点D的横坐标为对称轴x=-b/(2a)，代入可求得横坐标，再代入抛物线解析式求得纵坐标，从而得到D点坐标。设D(m,n)，则直线CD的斜率kCD=(n-)/(m-0)。因为OE∥CD，所以直线OE的斜率kOE=kCD。又因为直线OE过原点，所以其解析式为y=kOEx。点E是直线OE与抛物线的交点（第一象限），联立方程组：y=kOExy=解此方程组，求得x的值，取第一象限的解，即可得到点E的坐标。（3）探究点P的存在性：△PAB的面积等于△ABE的面积，且AB为公共底边。根据三角形面积公式，若两个三角形同底且面积相等，则它们的高相等。因此，点P到AB的距离（即点P的纵坐标的绝对值）应等于点E到AB的距离（即点E的纵坐标，因为E在第一象限，纵坐标为正）。设点E的纵坐标为h，则点P的纵坐标为h或-h。令抛物线的y值等于h和-h，分别解方程，求出对应的x值。需要注意的是，点P不能与点E重合（若E是其中一个解），且要判断解的合理性。求出所有符合条件的x值后，即可得到点P的坐标。题目点评与反思：函数与几何综合题是中考数学的压轴题之一，具有较强的综合性和区分度。这类题目往往涉及多个知识点的交汇，要求学生具备扎实的基础、清晰的思路和较强的计算能力。在解题过程中，要注意以下几点：一是规范书写解题步骤，每一步推理都要有依据；二是注重数形结合思想的运用，通过画图帮助理解题意，找到解题突破口；三是对于存在性问题，要先假设存在，再进行推理验证，若能求出符合条件的解，则存在，否则不存在。平时训练时，要敢于挑战，善于总结解题规律和方法，积累解题经验。三、备考启示与建议通过对2021年广东省中考数学典型例题的分析，我们可以得到以下几点备考启示：1.夯实基础，回归教材：无论是选择题中的概念辨析，还是填空题、解答题中的基本运算和推理，都离不开扎实的基础知识。中考命题源于教材，又高于教材。因此，在复习过程中，要以教材为根本，将教材中的定义、公理、定理、公式、法则等熟记于心，并理解其内涵与外延，做到灵活运用。2.重视数学思想方法的渗透与运用：数学思想方法是数学的灵魂。如上述例题中涉及到的数形结合思想、转化与化归思想（折叠问题转化为直角三角形问题）、方程思想（求点的坐标、求线段长度）、分类讨论思想（绝对值问题、存在性问题）等，在解题中起到了关键作用。在平时学习中，要有意识地运用这些思想方法去分析问题、解决问题，提升数学思维能力。3.加强规范训练，提升解题素养：从解答题的要求可以看出，中考对解题过程的规范性要求很高。许多学生虽然思路正确，但因步骤不完整、书写不规范、计算粗心等原因导致失分，非常可惜。因此，在平时练习时，要严格要求自己，规范书写格式，做到步骤清晰、逻辑严谨、计算准确。同时，要养成良好的解题习惯，如认真审题、仔细检查等。4.关注实际应用，培养建模能力：中考命题越来越注重数学与生活实际的联系。在复习中，要关注身边的数学问题，学会从实际问题中抽象出数学模型，运用数学知识解决实际问题，培养数学应用意识和建模能力。5.强化专题训练，突破重点难点：针对中考的热点、重点和难点内容，如函数综合题、几何证明与计算