【《Lebesgue控制收敛定理的相关应用分析案例》1400字】

Lebesgue控制收敛定理的相关应用分析案例1.1求积分的极限例求的极限．解令，可测，因为在上连续，所以在上可测，例REF_Ref68032003\r\h[5]求的极限．解因为在上连续，所以存在，且与的值相等，对在上面可积，并且，．然后由Lebesguue控制收敛定理可以得出例3REF_Ref68031962\r\h[6]求的极限．解当时，有，对任何，又因为，所以，根据勒贝格控制收敛定理得．当的时候，根据勒贝格控制收敛定理，有．1.2证明积分等式例REF_Ref68032003\r\h[5]若定义在上的非负可积函数，并且在上依测度收敛于，，试证：对的任意可测子集，都有．证明因为和均为非负函数，所以，．即是函数列的控制函数．又因为在上依测度收敛于，所以在上依测度收敛于．根据Lebesgue控制收敛定理，得，又由，得．由于与都是非负函数列，所以，．当时，可得到，．因此．综上所述：对的任何可测子集，均有．例2REF_Ref68031962\r\h[6]设，是上的两个可测函数列，且满足；；；．证明证明因为，，根据勒贝格控制收敛定理，有．利用，所以．于是．对任意的，取，使得，从而对充分大的，有．于是可取到，，使得对一切的都成立．因为，所以有，，由于，且由几乎处处收敛，能够得知按测度收敛．由可得，的积分等度绝对连续，此外，的积分等度绝对连续．因为依测度收敛于得，，即．综上所述得注，，使得当时，有，称为函数列的积分等度绝对连续．例3REF_Ref68032332\r\h[7]证明积分等式．证明在点处．易知，故存在．令，，则，因为有，所以根据控制收敛定理，即得．此外，由，，，可知．注意到，则令．有，在令，即得．在点处．此时，在上不可积，但其反常积分存在．令．并注意到，故．又由，可知，以及．令，则,，而且，，根据控制收敛定理有，再注意到，又得．综上所述．1.3证明积分不等式例1REF_Ref68031269\r\h[2]设，在上部分可积，且有若是在上的非负递减函数，且，，那么证明若是简单函数，不妨假设，则有当是有界函数且递减时，有函数列简单递减于任何一个区间上，都一致收敛于，故有．接着，对于非负递减的，令，则有于是根据勒贝格控制收敛定理可得令，即得所证．例2REF_Ref68031962\r\h[6]设依测度收敛于，非负可测．证明证明设．若，则存在和一列单调增加的使得对任何的，有但由题设可知，依测度收敛于，所以存在几乎处处收敛于的子列，由法图定理得推出矛盾．综上所述：．1.4证明积分的和例1REF_Ref68032332\r\h[7]设数列满足，则．证明．令，则有，，因为可积，所以综上所述．例2REF_Ref68032332\r\h[7]假如上的非负实值可积函数渐降列为，且，令，则.证明设，则由题设知，而因为，所以，由以及，又知．所以由Lebesgue控制收敛定理即得所证．1.5证明数列收敛例REF_Ref68031269\r\h[2]假如是一列实数列，作点集．倘若，证明：是收敛列．证明由题意可知中的点是可加的，所以由可得令，则对任意的，根据勒贝格控制收敛定理可得假设对的任一子列，有则根据引理有所以这与相矛盾．因为为有界数列．假设数列有两个极限点，极限点分别为和，则取的子列，，可得将等式两边同时对求导，即可得到，由此可知只有一个极限点．综上所述：是收敛列．例REF_Ref68032332\r\h[7]试证明函数列在不是依测度收敛到的．证明反证法．如果结论不成立，那么也在上依测度收敛于．因为，所以根据控制收敛定理可得但因为有，这与假设矛盾，结论成立．1.6判断函数连续例REF_Ref68032655\r\h[8]假设是上的可积函数，，在这当中，则是否为连续函数？解为连续函数．以下给出证明令，其中，，因为是上的可积函数，所以容易得知是可测函数，且对任意的实数，有成立，其中，又因为是上的可积函数，所以在也是可积的，因而在区间上任取一个，总能在区间上取到任意的点列，使得当