机械工程材料力学专题复习资料

机械工程材料力学专题复习资料前言材料力学作为机械工程学科的基石，旨在研究构件在外力作用下的变形、内力以及强度、刚度和稳定性的基本规律。掌握材料力学的核心概念与分析方法，对于工程构件的合理设计、安全评估及性能优化至关重要。本复习资料立足于机械工程实际应用，梳理材料力学的知识体系，突出重点与难点，旨在帮助读者系统回顾、深化理解，并能灵活运用于解决实际工程问题。一、引言与基本概念1.1材料力学的任务与研究对象材料力学的主要任务是：在满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，为工程构件选择适宜的材料，确定合理的截面形状与尺寸，以达到安全可靠且经济的设计目标。其研究对象主要是杆状构件，即长度远大于横截面尺寸的构件，通常称为杆件。1.2基本假设为简化问题、突出主要矛盾，材料力学建立在以下基本假设之上：*连续性假设：假定材料是连续分布的，忽略其微观不连续性。*均匀性假设：假定材料在宏观上具有均匀的性质。*各向同性假设：假定材料的力学性能在各个方向上相同。对于各向异性材料，则需特殊处理。*小变形假设：假定构件的变形较小，在建立平衡方程时，可采用构件变形前的原始尺寸和形状。*圣维南原理：在距离载荷作用点足够远的地方，应力分布仅取决于力和力矩的合力，而与具体的载荷分布方式无关。这一原理为工程上采用简化模型计算应力提供了理论依据。1.3内力、应力与变形*外力：指构件所受的外部载荷与约束反力。按其作用方式可分为体积力和表面力。*内力：指构件内部各部分之间的相互作用力。通过截面法可以求解指定截面上的内力分量，包括轴力、剪力、弯矩和扭矩。*应力：表征物体内部一点处受力的集度。应力是矢量，通常分解为垂直于截面的正应力（σ）和相切于截面的切应力（τ）。应力的单位是帕斯卡（Pa）。*变形与应变：构件在外力作用下形状和尺寸的改变称为变形。应变是描述变形程度的物理量，包括正应变（ε，伸长或缩短）和切应变（γ，剪切变形），均为无量纲量。1.4杆件变形的基本形式杆件在外力作用下的基本变形形式有：*轴向拉伸或压缩：构件沿轴向受到拉力或压力，产生伸长或缩短。*剪切：构件受到与轴线垂直的力，使构件的两部分沿外力方向发生相对错动。*弯曲：构件受到垂直于轴线的力或力矩，使轴线由直线变为曲线。*扭转：构件受到绕轴线的力偶，使各横截面绕轴线发生相对转动。*组合变形：由两种或两种以上基本变形组合而成的复杂变形。二、轴向拉伸与压缩2.1轴力与轴力图*轴力：轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线与杆轴线重合，用符号N表示。拉力为正，压力为负。*截面法：求解内力的基本方法。步骤为：截开、代替、平衡。*轴力图：表示沿杆轴线各横截面上轴力变化规律的图形，以杆轴线为横坐标，轴力为纵坐标。2.2横截面上的应力*正应力：轴向拉压时，横截面上各点处的应力垂直于截面。在弹性范围内，横截面上的正应力均匀分布。计算公式：σ=N/A其中，N为轴力，A为横截面面积。*圣维南原理的应用：在距离载荷作用点一定距离（约等于横截面尺寸）以外的区域，应力分布趋于均匀，可按均匀分布计算。2.3变形计算与胡克定律*绝对变形：杆件长度的改变量。伸长：Δl=l₁-l₀>0缩短：Δl=l₁-l₀<0*相对变形（正应变）：ε=Δl/l₀*胡克定律：在弹性范围内，应力与应变成正比。σ=Eε其中，E为弹性模量，是表征材料抵抗弹性变形能力的物理量，单位与应力相同。由此可得，轴向变形计算公式：Δl=(N*l₀)/(E*A)*横向变形与泊松比：轴向拉伸时，横向尺寸缩小；轴向压缩时，横向尺寸增大。横向应变ε'与轴向应变ε之比的绝对值称为泊松比μ。μ=|ε'/ε|，ε'=-με2.4材料在拉伸与压缩时的力学性能*拉伸试验：测定材料力学性能最基本的试验，通常采用标准试样在万能材料试验机上进行。*应力-应变曲线：反映材料在外力作用下应力与应变关系的曲线，是确定材料力学性能指标的依据。*弹性阶段：应力与应变成正比的阶段，对应胡克定律。该阶段的最大应力值称为比例极限σₚ。*屈服阶段：应力基本不变而应变显著增加的阶段。开始屈服时的应力称为屈服极限σₛ（对于有明显屈服现象的材料，如低碳钢）。*强化阶段：材料屈服后，抵抗变形的能力又有所提高，此阶段的最大应力称为强度极限σᵦ。*颈缩阶段：应力达到强度极限后，试样局部横截面急剧缩小，产生颈缩现象，直至断裂。*塑性指标：断后伸长率δ=(l₁-l₀)/l₀×100%和断面收缩率ψ=(A₀-A₁)/A₀×100%，表征材料的塑性性能。*脆性材料与塑性材料：脆性材料（如铸铁）断裂前塑性变形很小；塑性材料（如低碳钢）断裂前有较大塑性变形。脆性材料压缩时的强度远高于拉伸强度。2.5强度条件与安全系数*强度条件：为保证构件安全工作，必须使构件工作时的最大工作应力不超过材料的许用应力。σ_max=N_max/A≤[σ]其中，[σ]为材料的许用应力。*许用应力：材料安全工作时所能承受的最大应力，由材料的极限应力除以安全系数得到。对于塑性材料：[σ]=σₛ/nₛ或[σ]=σ₀.₂/nₛ(对于无明显屈服平台的材料)对于脆性材料：[σ]=σᵦ/nᵦnₛ、nᵦ为安全系数，其值大于1，需根据构件的重要性、载荷性质、材料均匀性、计算精确程度及工作条件等因素综合确定。*强度计算的三类问题：强度校核、截面设计、确定许可载荷。三、剪切与挤压3.1剪切的概念与实用计算*剪切变形：构件受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的力作用时，构件将在两力之间的截面发生相对错动。*剪力与切应力：剪切面上的内力称为剪力（Fₛ），相应的应力称为切应力（τ）。*剪切实用计算：假设切应力在剪切面上均匀分布。计算公式：τ=Fₛ/Aₛ其中，Aₛ为剪切面面积。*剪切强度条件：τ_max≤[τ]，[τ]为材料的许用切应力。3.2挤压的概念与实用计算*挤压：构件在传递力的过程中，在接触表面局部区域产生较大的压力。*挤压应力：挤压面上的压应力（σ_bbs）。*挤压实用计算：假设挤压应力在计算挤压面上均匀分布。计算公式：σ_bbs=F/A_bbs其中，A_bbs为挤压面面积。对于螺栓、铆钉等圆柱形连接件，挤压面面积取为直径平面面积，即A_bbs=d*t（d为直径，t为相互挤压部分的厚度）。*挤压强度条件：σ_bbs_max≤[σ_bbs]，[σ_bbs]为材料的许用挤压应力。3.3剪切与挤压的工程应用连接件（如螺栓、铆钉、销钉、键等）的设计是剪切和挤压实用计算的典型应用。需同时校核剪切强度和挤压强度。四、圆轴扭转4.1扭矩与扭矩图*扭矩：圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩，用符号T表示。其转向用右手螺旋法则判定：拇指指向截面外法线方向时，四指的转向为扭矩的正方向。*扭矩图：表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图形，以杆轴线为横坐标，扭矩为纵坐标。4.2圆轴扭转时的切应力*切应力分布规律：横截面上任一点的切应力大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂直于该点的半径。圆心处切应力为零，圆周处切应力最大。*计算公式：τ_ρ=(T*ρ)/I_p最大切应力（ρ=R）：τ_max=T*R/I_p=T/W_p其中，I_p为横截面对圆心的极惯性矩，单位为m⁴或mm⁴；W_p为抗扭截面系数，单位为m³或mm³。*极惯性矩与抗扭截面系数：对于实心圆截面：I_p=πd⁴/32，W_p=πd³/16对于空心圆截面：I_p=π(D⁴-d⁴)/32，W_p=π(D⁴-d⁴)/(16D)（D为外径，d为内径）*切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的切应力总是成对出现，且大小相等，方向共同指向或共同背离该交线。*剪切胡克定律：在弹性范围内，切应力与切应变成正比。τ=Gγ，其中G为切变模量，是材料的另一个弹性常数。4.3圆轴扭转时的强度条件τ_max=T_max/W_p≤[τ]其中，T_max为最大工作扭矩，[τ]为材料的许用切应力。4.4圆轴扭转时的变形与刚度条件*相对扭转角：相距l的两横截面之间相对转过的角度。φ=(T*l)/(G*I_p)（单位：rad）*单位长度扭转角：θ=φ/l=T/(G*I_p)（单位：rad/m）*刚度条件：为保证圆轴正常工作，其最大单位长度扭转角不得超过许用单位长度扭转角。θ_max=T_max/(G*I_p)≤[θ][θ]的单位通常为°/m，计算时需注意单位换算。五、弯曲内力5.1平面弯曲的概念*平面弯曲：梁在平面力系作用下，其轴线在形心主惯性平面内弯成一条平面曲线。*梁的简化：包括支座简化（固定铰支座、可动铰支座、固定端）、载荷简化（集中力、集中力偶、分布载荷）和梁本身的简化（用轴线表示）。*静定梁的基本形式：简支梁、悬臂梁、外伸梁。5.2剪力与弯矩*剪力（Fₛ）：平行于横截面的内力，使梁产生剪切变形。*弯矩（M）：位于横截面平面内的内力偶矩，使梁产生弯曲变形。*剪力与弯矩的正负号规定：*剪力：使所研究的梁段有顺时针转动趋势时为正。*弯矩：使梁段产生上凹下凸的弯曲变形（即下部受拉）时为正。*截面法求指定截面的剪力与弯矩：截开、代替（用剪力和弯矩代替去掉部分对保留部分的作用）、平衡（列平衡方程求解）。5.3剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图*剪力方程与弯矩方程：表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系式，通常以梁的左端为坐标原点，x为横截面位置坐标。即Fₛ=Fₛ(x)，M=M(x)。*剪力图与弯矩图：表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的图形，以梁轴线为横坐标，剪力或弯矩为纵坐标。*绘制剪力图与弯矩图的基本方法：1.求支座反力。2.分段：根据载荷的变化点（集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点）将梁分为若干段。3.列方程：对每一段梁，列出剪力方程和弯矩方程。4.绘图：根据方程或利用载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系绘制图形，并标出特征值。5.4载荷集度、剪力与弯矩间的微分关系在梁上分布载荷q(x)、剪力Fₛ(x)和弯矩M(x)之间存在如下微分关系：dFₛ/dx=q(x)dM/dx=Fₛ(x)d²M/dx²=q(x)这些关系揭示了载荷、剪力图和弯矩图之间的内在联系，可用于校核或快速绘制剪力图和弯矩图。例如：*无分布载荷段（q=0），Fₛ图为水平线，M图为斜直线。*均布载荷段（q=常数），Fₛ图为斜直线，M图为抛物线（q向下时，抛物线开口向下）。*集中力作用处，Fₛ图有突变，突变值等于该集中力的大小；M图在该处斜率发生改变，出现折点。*集中力偶作用处，Fₛ图无变化；M图有突变，突变值等于该集中力偶矩的大小。5.5叠加法作弯矩图当梁同时受几种载荷作用时，其弯矩图等于各种载荷单独作用所产生的弯矩图的代数和。此方法在载荷复杂时可简化作图过程。六、弯曲应力6.1纯弯曲与横力弯曲*纯弯曲：梁横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。*横力弯曲：梁横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。6.2弯曲正应力*纯弯曲时的平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，且垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴转动了一个角度。*中性轴与中性层：梁弯曲时，横截面中存在一层纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴通过横截面的形心，且垂直于弯矩矢量方向。*正应力分布规律：横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，中性轴一侧受拉，另一侧受压。*弯曲正应力计算公式：σ=(M*y)/I_z其中，M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。最大拉应力和最大压应力发生在距中性轴最远的点处。*抗弯截面系数：W_z=I_z/y_max则最大弯曲正应力：σ_max=M/W