顶点式函数专题课件与训练题解析

顶点式函数专题课件与训练题解析同学们，在函数的世界里，二次函数无疑是一块重要的基石。而在二次函数的多种表达形式中，顶点式因其独特的结构，在解决与顶点、最值相关的问题时，展现出了无与伦比的便捷性。很多同学在学习时，对一般式转化为顶点式感到头疼，或者在面对具体问题时不知道何时该选用顶点式。这篇专题，我就和大家好好聊聊二次函数的顶点式，希望能帮大家真正吃透这个知识点，让它成为我们解题的利器。一、顶点式的“庐山真面目”——概念与推导我们先来明确一下，什么是二次函数的顶点式。二次函数的顶点式，通常写作：y=a(x-h)²+k，其中a、h、k是常数，且a≠0。这个式子的核心价值在哪里呢？它直接告诉了我们二次函数图像抛物线的顶点坐标——(h,k)。这一点非常关键，也是我们为什么青睐它的主要原因。那么，这个形式是怎么来的呢？它可不是凭空捏造的，而是从二次函数的一般式通过“配方法”推导出来的。我们来回顾一下这个过程，这对理解顶点式的本质很有帮助。二次函数的一般式是：y=ax²+bx+c(a≠0)。我们的目标是通过配方，把它变成y=a(x-h)²+k的形式。步骤如下：1.提取二次项系数：将含x的项组合在一起，并把二次项系数a提出来。y=a(x²+(b/a)x)+c2.配方：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，即(b/(2a))²。y=a[x²+(b/a)x+(b/(2a))²-(b/(2a))²]+c这一步的目的是将括号内的部分凑成一个完全平方式。3.整理完全平方式：y=a[(x+b/(2a))²-(b²)/(4a²)]+c4.去括号并合并常数项：y=a(x+b/(2a))²-a*(b²)/(4a²)+cy=a(x+b/(2a))²-b²/(4a)+c此时，-b²/(4a)+c可以合并为一个常数项，我们令k=-b²/(4a)+c。同时，我们令h=-b/(2a)。于是，一般式就转化成了顶点式：y=a(x-h)²+k，其中h=-b/(2a)，k=(4ac-b²)/(4a)。从这个推导过程，我们不仅得到了顶点式，还顺便得到了顶点坐标(h,k)的表达式，这与我们从一般式中通过公式求顶点坐标是完全一致的。温馨提示：在顶点式y=a(x-h)²+k中，h是括号内x减去的数。如果括号内是(x+m)，那其实就是(x-(-m))，所以此时h=-m。这个符号问题，同学们在刚开始接触时，往往容易出错，需要特别留意。比如y=2(x+3)²-1，它的顶点h是-3，而不是3，顶点坐标是(-3,-1)。二、顶点式的“性格特征”——图像与性质掌握了顶点式的形式和来源，我们再来深入了解一下它所反映的二次函数图像与性质。对于y=a(x-h)²+k(a≠0)：1.开口方向：由二次项系数a的符号决定。*当a>0时，抛物线开口向上；*当a<0时，抛物线开口向下。a的绝对值大小决定了抛物线开口的宽窄，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。这一点和一般式是一致的。2.顶点坐标：直接可得，为(h,k)。这也是顶点式最大的优势。3.对称轴：抛物线是轴对称图形，其对称轴是一条垂直于x轴的直线。顶点式下，对称轴方程为x=h。4.最值：*当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值。此时，当x=h时，y的最小值为k。*当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值。此时，当x=h时，y的最大值为k。5.增减性：增减性与对称轴密切相关。*若a>0：在对称轴x=h的左侧（即x<h时），函数值y随x的增大而减小；在对称轴x=h的右侧（即x>h时），函数值y随x的增大而增大。*若a<0：在对称轴x=h的左侧（即x<h时），函数值y随x的增大而增大；在对称轴x=h的右侧（即x>h时），函数值y随x的增大而减小。理解了这些性质，我们就能快速判断抛物线的大致走向、最高点或最低点的位置，以及函数值的变化趋势。三、顶点式的“用武之地”——应用场景知道了顶点式是什么，有什么性质，接下来最重要的就是学会在什么情况下使用它。顶点式在以下几种场景中特别有用：1.已知顶点坐标和抛物线上另一点时，求二次函数解析式：这是顶点式最直接的应用。因为顶点坐标(h,k)已知，所以可以设函数解析式为y=a(x-h)²+k，然后将另一点的坐标代入，解出a的值即可。这种方法比设一般式求解要简便得多，因为只需要解一个关于a的一元一次方程。2.求二次函数的最值或与最值相关的问题：由于顶点式直接给出了顶点坐标(h,k)，而顶点的纵坐标k就是函数的最值（最大值或最小值，取决于a的符号）。因此，当题目要求函数的最值，或者涉及到“最高”、“最低”、“最大利润”、“最小成本”等关键词时，优先考虑使用顶点式。即使题目给出的是一般式，我们也可以通过配方转化为顶点式来求解最值，或者直接利用顶点坐标公式求出h和k。3.解决与抛物线平移相关的问题：抛物线的平移本质上是顶点的平移。如果我们能将抛物线的解析式写成顶点式，那么根据h和k的变化，就能很容易地判断出抛物线是如何平移的。例如，将抛物线y=ax²向右平移m个单位，再向上平移n个单位，得到的新抛物线解析式就是y=a(x-m)²+n。这里的m和n就是顶点(0,0)平移到(m,n)的变化量。反过来，如果知道平移前后的抛物线解析式（尤其是顶点式），也能迅速判断出平移的方向和距离。四、从“纸上谈兵”到“实战演练”——典型例题精析理论讲得再多，不如动手做几道题来得实在。下面我们通过几个典型例题，来看看顶点式在具体解题中是如何应用的。例题1：已知顶点和另一点，求解析式已知二次函数的图像顶点为(2,-1)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式。分析：题目明确给出了顶点坐标(2,-1)，所以我们应该毫不犹豫地设顶点式。解答：设二次函数的解析式为y=a(x-h)²+k。因为顶点是(2,-1)，所以h=2，k=-1。因此，解析式可写为：y=a(x-2)²-1。又因为函数图像经过点(3,1)，将x=3，y=1代入上式：1=a(3-2)²-11=a(1)²-11=a-1解得：a=2。所以，这个二次函数的解析式为：y=2(x-2)²-1。（如果题目要求，可以展开为一般式：y=2x²-8x+7）例题2：利用顶点式求最值及自变量取值范围某商品的进价为每件40元，售价为每件50元时，每天可卖出500件。市场调查反映：如果每件商品的售价每上涨1元，那么每天少卖10件。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每天的销售利润为y元。（1）求y与x的函数关系式；（2）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？分析：这是一个典型的利润最大化问题，适合用二次函数的顶点式来解决。首先要根据题意列出利润y与涨价x之间的函数关系式（一般式），然后通过配方转化为顶点式，从而求出最大值。解答：（1）每件商品的售价上涨x元后，售价为(50+x)元，每件的利润为(50+x-40)=(10+x)元。每天的销售量为(500-10x)件。因此，每天的销售利润y=(10+x)(500-10x)。展开并整理：y=5000-100x+500x-10x²y=-10x²+400x+5000。所以，y与x的函数关系式为y=-10x²+400x+5000。（2）要求最大利润，我们将一般式转化为顶点式。y=-10x²+400x+5000提取二次项系数：y=-10(x²-40x)+5000配方：y=-10[(x²-40x+400)-400]+5000（这里(40/2)²=400）y=-10(x-20)²+4000+5000y=-10(x-20)²+9000。因为a=-10<0，所以抛物线开口向下，函数有最大值。当x=20时，y取得最大值，最大值为9000元。此时，每件商品的售价为50+x=50+20=70元。答：每件商品的售价定为70元时，每天可获得最大利润，最大利润是9000元。例题3：抛物线平移问题将抛物线y=2x²经过怎样的平移，可以得到抛物线y=2(x+3)²-4？分析：这道题考查抛物线的平移规律。我们只需关注两个抛物线的顶点是如何平移的。解答：原抛物线y=2x²的顶点坐标为(0,0)。目标抛物线y=2(x+3)²-4的顶点坐标为(-3,-4)。从(0,0)到(-3,-4)，顶点的变化是：向左平移了3个单位（因为x坐标从0变为-3，即0-3=-3），向下平移了4个单位（因为y坐标从0变为-4，即0-4=-4）。所以，将抛物线y=2x²向左平移3个单位，再向下平移4个单位，即可得到抛物线y=2(x+3)²-4。（或者说，先向下平移4个单位，再向左平移3个单位，效果是一样的）五、避坑指南与技巧总结在使用顶点式解题时，有些地方是同学们容易出错的，我在这里给大家提个醒：1.符号问题是“重灾区”：顶点式y=a(x-h)²+k中，h是(x-h)，所以当顶点的横坐标是负数时，括号里就是(x+|h|)。例如，顶点为(-1,2)，则解析式是y=a(x+1)²+2，而不是y=a(x-1)²+2。一定要细心！2.配方过程要细心：从一般式配方到顶点式，步骤虽然固定，但每一步都不能马虎。特别是在括号内加了一个数，括号外要减去a乘以这个数，这一步很容易漏乘a或者符号出错。3.a的值不能忘：在设顶点式求解析式时，千万别忘了设a。有些同学知道顶点，就直接写成y=(x-h)²+k，这是不对的，a决定了抛物线的开口方向和宽窄，必须通过其他条件求出来。4.平移规律要记清：“左加右减，上加下减”是针对顶点式中h和k的变化而言的。对于x轴方向的平移，是在“x”的基础上进行“左加右减”；对于y轴方向的平移，是在整个函数表达式的末尾进行“上加下减”。例如，y=a(x-h)²+k向左平移m个单位，变为y=a(x-h+m)²+k=a(x-(h-m))²+k。小技巧：*熟练掌握配方法，它不仅是求顶点式的工具，也是一种重要的代数变形技巧。*对于求最值问题，如果给出的是一般式，且二次项系数和一次项系数都是偶数，或者容易配方，那么配方成顶点式求解会很直观。如果系数较大或不易配方，直接套用顶点坐标公式x=-b/(2a)，再代入求y最值，也是个不错的选择。*多画图，结合图像理解顶点式的含义和性质，数形结合永远是学习函数的好方法。六、巩固提升——针对性训练题与解析为了帮助大家更好地巩固所学知识，下面提供几道练习题，大家可以动手做一做，然后对照后面的解析进行检查。训练题1：已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为(1,3)，且经过点(2,1)，求该二次函数的解析式。训练题2：用配方法将二次函数y=3x²-6x+5化为顶点式，并求出其对称轴和最小值。训练题3：某农场要建造一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用木栏围成。已知木栏的总长度为60米，设鸡场垂直于墙的一边长为x米，鸡场的面积为y平方米。（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x为何值时，鸡场的面积最大？最大面积是多少？训练题4：将抛物线C1:y=-(x-2)²+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C2。（1）求抛物线C2的顶点式解析式；（2）指出抛物线C2的开口方向、对称轴和顶点坐标。---训练题解析：训练题1解析：已知顶点坐标(1,3)，设二次函数解析式为y=a(x-