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文档简介
大学自动控制课程考题全解自动控制原理作为高等院校工科类专业的核心课程,其理论性与工程实践性均较强。学生在学习过程中,不仅需要深刻理解基本概念与原理,更需要通过大量习题训练来提升分析和解决实际控制问题的能力。本文旨在梳理自动控制课程中常见的考题类型,并结合典型思路与方法进行解析,以期为同学们提供有益的参考,帮助大家更好地掌握这门课程的精髓。一、数学模型构建与化简数学模型是控制系统分析与设计的基础,此部分考题主要考察学生将物理系统转化为数学描述的能力,以及对传递函数、方块图等模型形式的熟练掌握程度。1.1传递函数的求取传递函数的求取是最基本也是最重要的考点之一。通常给定的系统可能是电气、机械、液压或热力等不同物理域的系统。解题关键步骤:首先,需明确系统的输入量与输出量。其次,根据系统所遵循的物理定律(如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等),列写系统的微分方程。在列写微分方程时,要注意考虑各元件的动态特性,并忽略次要因素,进行合理简化。得到微分方程后,对其进行拉普拉斯变换(注意应用初始条件为零的假设,这是传递函数定义的前提),最后通过代数运算整理出输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比,即得系统的传递函数。例如,对于一个由电阻、电感和电容组成的RLC串联电路,若以电压为输入,电容电压为输出,我们可以依据KVL定律列写微分方程,再通过拉氏变换求得其传递函数,这一过程需要对电路元件的阻抗特性有清晰的认识。1.2方块图的等效化简与信号流图控制系统的方块图能够直观地表示系统各环节之间的信号传递关系。方块图化简的目的是求出系统总的传递函数。解题关键步骤:熟练掌握方块图化简的基本法则:包括串联环节的等效、并联环节的等效、反馈环节的等效,以及分支点和相加点的移动规则。在化简过程中,应遵循“由内而外”或“由前而后”的顺序,逐步合并,注意信号的流向和正负号。对于结构较为复杂的方块图,有时引入梅森增益公式会更为便捷。梅森增益公式的应用需要准确识别信号流图中的前向通路、回路以及它们之间的相互关系(不接触回路)。关键在于正确绘制信号流图,并数清楚各通路和回路的增益。二、时域分析法时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来评价系统性能的方法。2.1典型时域响应与性能指标计算常见的典型输入信号包括阶跃信号、斜坡信号和脉冲信号,其中阶跃输入尤为常用。对于一阶系统和二阶系统,其阶跃响应具有确定的解析表达式和典型形态。解题关键步骤:对于一阶系统,重点掌握时间常数T的物理意义及其与响应速度的关系,能根据传递函数快速写出单位阶跃响应表达式,并计算调节时间等性能指标。对于二阶系统,特别是欠阻尼二阶系统,是考察的重点。需要牢记其单位阶跃响应表达式,掌握阻尼比ζ、无阻尼固有频率ωn对响应形态的影响。能够根据ζ和ωn计算峰值时间tp、超调量σ%、调节时间ts等动态性能指标。这些指标的计算公式需要理解其推导过程,而不是死记硬背。2.2系统稳定性分析(劳斯判据)稳定性是系统正常工作的首要条件。劳斯(Routh)判据是判别线性定常系统稳定性的一种代数方法,无需求解特征方程的根。解题关键步骤:首先,写出系统闭环特征方程,并将其整理为标准形式(最高次幂系数为正)。然后,根据特征方程的系数构造劳斯表。劳斯判据的核心是:系统稳定的充分必要条件是劳斯表中第一列所有元素均为正值。若第一列出现负值,则系统不稳定,且符号改变的次数等于特征方程正实部根的数目。解题时需特别注意劳斯表中出现某行首元素为零或某行所有元素均为零的特殊情况及其处理方法。例如,当某行首元素为零时,可用一个无穷小量ε代替,继续计算;当出现全零行时,需利用其上一行元素构成辅助方程,求导后得到新的系数行来替换全零行。2.3系统稳态误差计算稳态误差是衡量系统控制精度的重要指标,它定义为系统在参考输入或扰动作用下,输出量的稳态值与期望值之间的差值。解题关键步骤:首先,需要明确系统的类型(0型、I型、II型),这由开环传递函数中积分环节的数目决定。其次,要区分是计算由参考输入引起的稳态误差还是由扰动输入引起的稳态误差,两者的计算方法有所不同。对于参考输入引起的稳态误差,可利用静态误差系数法(位置误差系数Kp、速度误差系数Kv、加速度误差系数Ka)进行计算,这要求系统是稳定的。需要熟记不同类型系统在不同典型输入作用下的稳态误差公式。对于扰动输入引起的稳态误差,通常需要画出考虑扰动作用的系统结构图,求出扰动作用点到输出端的传递函数,然后利用终值定理计算。三、根轨迹分析法根轨迹法是利用系统开环传递函数的零点和极点随某一参数(通常为开环增益K)变化的轨迹,来分析闭环系统性能的图解方法。3.1根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则是必须熟练掌握的内容,包括:根轨迹的起点与终点、根轨迹的分支数、根轨迹的对称性、实轴上的根轨迹、根轨迹的渐近线(倾角与截距)、根轨迹在实轴上的分离点与会合点、根轨迹与虚轴的交点,以及根轨迹的起始角与终止角等。解题关键步骤:绘制根轨迹时,应按照一定的顺序应用上述法则。首先确定起点、终点、分支数和对称性,然后确定实轴上的根轨迹段,计算渐近线。接着,根据需要计算分离点、与虚轴交点、起始角和终止角等细节。绘制完成后,还需对根轨迹的正确性进行大致校验。在计算分离点时,常用的方法是对特征方程进行求导,或利用闭环极点之和(或积)的特性。与虚轴交点的计算,可令s=jω代入特征方程,然后分别令实部和虚部为零求解。3.2利用根轨迹分析系统性能绘制出根轨迹后,可根据闭环极点在根轨迹上的位置分析系统的动态性能(如稳定性、阻尼比、超调量、调节时间等)和稳态性能(如静态误差系数)。解题关键步骤:对于给定的开环增益K值(或其他参数值),能在根轨迹上找到对应的闭环极点。根据这些极点的位置(实部、虚部)判断系统的稳定性。若为欠阻尼二阶系统的主导极点,则可利用时域分析中的公式估算动态性能指标。同时,根轨迹也能直观地显示增加开环零点或极点对闭环根轨迹形状的影响,进而理解其对系统性能的改善或恶化作用。四、频域分析法频域分析法是利用系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应(频率特性)来分析系统性能的方法。4.1频率特性的表示方法频率特性常用的表示方法有幅相频率特性(Nyquist图)和对数频率特性(Bode图)。解题关键步骤:绘制Nyquist图时,需根据开环传递函数的典型环节分解,确定起点(ω=0+)和终点(ω→∞)的幅值与相角,以及穿越负实轴等关键特征。绘制Bode图是更为常见的考点。需要掌握典型环节(比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节、二阶微分环节)的Bode图(对数幅频特性和对数相频特性)的绘制规律。绘制系统开环Bode图的步骤通常是:将开环传递函数分解为典型环节的乘积;确定转折频率,并按从小到大的顺序排列;绘制低频段(第一个转折频率以前)的渐近线,其斜率由积分环节的数目决定;然后从低频到高频,每经过一个转折频率,根据该环节的类型改变幅频特性渐近线的斜率;最后,可根据需要对幅频特性进行修正,并绘制相频特性曲线。4.2Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据是频域分析法中判断系统稳定性的主要工具,它利用开环频率特性Nyquist图与(-1,j0)点的相对位置关系来判断闭环系统的稳定性。解题关键步骤:应用Nyquist判据的前提是开环系统是稳定的(即开环传递函数在s右半平面无极点),除非题目明确说明需要考虑开环不稳定的情况。判据的核心是计算Nyquist曲线包围(-1,j0)点的圈数N,以及开环传递函数在s右半平面的极点数P,然后根据公式Z=P-N(Z为闭环传递函数在s右半平面的极点数)来判断系统稳定性。若Z=0,则系统稳定。在应用时,需注意Nyquist曲线的走向(顺时针或逆时针),以及对于含有积分环节的系统,Nyquist曲线需要从低频段起点沿无穷小半圆逆时针补画到相应的实轴点,以构成完整的Nyquist闭合曲线。4.3稳定裕度稳定裕度是衡量系统相对稳定性的指标,包括幅值裕度(Kg)和相角裕度(γ)。解题关键步骤:幅值裕度Kg是指当系统相角为-180°时,开环频率特性幅值的倒数。相角裕度γ是指当开环频率特性幅值为1时,其相角与-180°之间的差值。计算幅值裕度时,先求出相角穿越频率ωpc(此时相角φ(ωpc)=-180°),然后计算Kg=1/|G(jωpc)H(jωpc)|。计算相角裕度时,先求出幅值穿越频率ωgc(此时|G(jωgc)H(jωgc)|=1),然后计算γ=180°+φ(ωgc)。稳定裕度可以从Bode图上方便地读出,这也是Bode图的重要应用之一。五、系统校正系统校正是指在原有系统中加入适当的校正装置,以改善系统性能,使其满足给定的性能指标要求。5.1常用校正装置及其特性常用的校正装置包括超前校正、滞后校正和滞后-超前校正。需要了解它们的传递函数形式、频率特性(特别是Bode图)及其对系统性能的影响。例如,超前校正主要利用其相角超前特性来增加系统的相角裕度,提高稳定性和响应速度;滞后校正主要利用其高频幅值衰减特性来提高系统的稳态精度,同时基本不影响中低频段的相角特性;滞后-超前校正则兼具两者的优点。5.2校正装置的设计方法(基于频率响应法)基于频率响应法的校正设计,通常是在Bode图上进行的。解题关键步骤:首先,根据稳态性能指标(如静态速度误差系数Kv)确定开环增益,并绘制未校正系统的Bode图,计算其相角裕度和幅值裕度,判断是否满足动态性能指标要求。若不满足,则根据指标要求选择合适的校正方式。例如,对于相角裕度不足的系统,可考虑采用超前校正。设计超前校正装置时,关键在于确定最大超前角对应的频率ωm(通常希望ωm等于校正后系统的幅值穿越频率ωgc')和所需的超前角φm,进而确定校正装置的参数α和T。滞后校正的设计则侧重于利用其高频衰减特性,在保证相角裕度的前提下,提高开环增益。设计时需选择合适的滞后校正装置的转折频率,确保其对校正后系统的相角裕度影响较小。校正完成后,需绘制校正后系统的Bode图,校验各项性能指标是否满足要求。六、总结与应试建议自动控制原理的考题类型多样,但核心始终围绕着对基本概念、基本原理和基本方法的理解与应用。要想在考试中取得好成绩,首先必须系统掌握各章节的知识点,构建清晰的知识框架。其次,要做一定量的习题,通过练习来巩固知识,熟悉各种题型的解题思路和技巧
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