2025年教师资格证考试（高中数学）教学设计与实施押题试卷

2025年教师资格证考试（高中数学）教学设计与实施押题试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______第一部分教学设计假设你将要教授高中一年级学生人教B版数学必修第一册第四章“函数与方程”第一节“函数与方程”。已知该班学生已掌握函数的基本概念、图像和性质，对一元一次方程、一元二次方程有初步了解，但从未接触过函数与方程的直接联系。班级学生数学基础中等，学习积极性一般，部分学生对抽象概念理解较慢，需要更多实例和直观解释。请根据以上信息，设计该节课（1课时，45分钟）的教学方案。教学方案应至少包含以下内容：1.教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）2.教学重难点3.教学过程（详细描述主要教学环节，包括教师活动、学生活动、设计意图等）4.教学评价设计（说明如何了解学生是否达成教学目标）第二部分教学实施假设你在教授“函数与方程”这一节课时，在引导学生探究“若函数f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续曲线，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内必有实数根”这一结论时，发现部分学生理解困难，对“连续曲线”和“f(a)f(b)<0”与“存在根”之间的逻辑关系感到困惑。请设计一个教学片段（约10分钟），说明你将如何通过引导性提问、实例分析或图形演示等方法，帮助学生理解和掌握这个结论的内涵和证明思路。要求写出具体的提问内容、可能的师生互动情况以及你预期的教学效果。第三部分教学反思在完成“函数与方程”这一节课的教学后，你发现学生在解决“利用函数性质判断方程根的情况”这类问题时，虽然能说出结论，但在具体应用时仍出现混淆，尤其是在处理开区间和端点问题时不够准确。请结合这一教学现象，进行一次教学反思。反思内容应包括：1.分析学生在解题时出现错误可能的原因（知识理解、思维过程、表达方式等方面）。2.反思自己在教学设计或实施过程中可能存在的不足之处。3.提出改进教学的具体措施，以帮助学生更好地理解和应用所学知识。试卷答案第一部分教学设计1.教学目标*知识与技能：理解函数与方程的关系，掌握利用函数图像判断方程根的存在性的方法（零点存在性定理）；能初步运用零点存在性定理判断某些方程在给定区间内是否存在实数根。*过程与方法：通过实例观察、分析、归纳，经历从特殊到一般抽象出零点存在性定理的过程；体验数形结合的思想方法，发展几何直观和空间想象能力。*情感态度与价值观：感受数学的直观性和严谨性，体会数学结论的探索过程；激发学习数学的兴趣，培养言之有据的推理习惯和合作交流的意识。2.教学重难点*重点：理解并掌握零点存在性定理的内容及其应用条件。*难点：理解“连续曲线”的含义以及f(a)f(b)<0与方程根存在性之间的逻辑关系。3.教学过程*环节一：情境引入，初步感知（约5分钟）*教师活动：展示函数y=x²-2的图像，提问：观察图像，方程x²-2=0的根是多少？这个根在图像上如何体现？如果方程改为x³-1=0，其根又如何从图像上找到？*学生活动：观察图像，回忆一元二次方程的解，尝试在图像上找到对应的点，思考解与图像的关系。部分学生可能尝试用计算器求解x³-1=0。*设计意图：从学生已知的二次函数入手，直观感受函数图像与方程根的关系，引出“根”可以看作图像与x轴交点的横坐标，为后续学习做铺垫。*环节二：实例探究，形成猜想（约15分钟）*教师活动：引导学生分析方程f(x)=0的根的几何意义（函数图像与x轴交点的横坐标）；展示函数y=(x-1)(x+2)的图像，提问：方程(x-1)(x+2)=0的根是什么？图像与x轴有哪些交点？这两个根分别在哪个区间？观察f(-2)和f(1)的符号，你发现了什么？再尝试用函数y=x³-1的图像和方程x³-1=0说明。*学生活动：小组讨论，分析图像交点与方程根的关系；观察f(a)和f(b)的符号变化；尝试归纳总结：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)符号相反（f(a)f(b)<0），则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数根。*设计意图：通过具体实例，引导学生通过观察、分析、归纳，自主发现函数图像连续且在两端点函数值异号时，图像必然与x轴有交点，从而猜想出零点存在性定理。*环节三：定理明确，理解内涵（约10分钟）*教师活动：总结学生猜想的结论，给出零点存在性定理的精确表述；强调定理中的三个关键条件：“函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续曲线”、“f(a)f(b)<0”、“方程f(x)=0在区间(a,b)内必有实数根”；解释“连续曲线”的含义（通常指闭区间上的连续函数图像）；通过反例（如函数y=|x|在[-1,1]上，y(-1)y(1)>0但方程y=x=0在(-1,1)内只有x=0一个根，或函数图像在a或b处断开）说明条件缺一不可。*学生活动：阅读并理解定理内容；思考“连续”的含义；尝试分析反例，加深对定理条件和结论的理解。*设计意图：使学生对定理有清晰、准确的认知，理解每个条件的作用，避免应用时的错误。*环节四：应用举例，巩固提高（约10分钟）*教师活动：给出几道练习题，如判断方程x³-2x-5=0在区间(2,3)内是否有实数根；判断方程sinx-x=0在区间(0,π)内是否有实数根。引导学生应用定理进行分析，强调只需判断端点函数值的符号。*学生活动：独立或小组合作完成练习，尝试运用定理判断根的存在性，并说明理由。*设计意图：通过练习，让学生初步学会应用零点存在性定理解决实际问题，巩固对定理的理解。*环节五：课堂小结，拓展思考（约5分钟）*教师活动：引导学生回顾本节课学习的主要内容（函数与方程的关系、零点存在性定理）；提出思考题：零点存在性定理能告诉我们根的个数和具体位置吗？如何精确找到根？*学生活动：梳理本节课知识；思考问题的答案。*设计意图：梳理知识体系，留下思考空间，为后续学习（如二分法求近似根）做铺垫。4.教学评价设计*知识目标评价：通过课堂练习题的解答情况，检查学生对零点存在性定理内容、条件和应用方法的掌握程度。*能力目标评价：通过观察学生在探究活动中的参与度、提问的质量以及练习中的思考过程，评价学生数形结合思想方法的应用能力和初步的推理能力。*情感态度评价：通过课堂观察学生的发言、合作交流情况以及解决问题的积极性，评价学生参与数学活动的情感态度。*评价方式：以课堂提问、练习反馈为主，结合学生课堂表现进行形成性评价。第二部分教学实施提问设计：1.“我们刚才看到的函数y=x²-2的图像和方程x²-2=0有什么关系？方程的根x=±√2在图像上对应什么？”（引导学生回顾根与图像交点的关系）2.“现在看这个函数y=x³-1的图像，它和x轴有交点吗？交点的横坐标是多少？这个值是不是方程x³-1=0的解？”（巩固根与交点的关系，并引出更复杂函数）3.“观察函数y=(x-1)(x+2)的图像，它在x轴的左侧（x<-2）和右侧（x>1）分别位于什么位置（上方还是下方）？f(-2)的值是正还是负？f(1)呢？”（引导学生关注函数值与图像位置的关系）4.“如果函数在一个区间[a,b]内始终在x轴上方（或下方），那么方程f(x)=0在这个区间内还能有解吗？为什么？”（通过反例加深理解）5.“刚才我们观察到f(-2)和f(1)的符号不一样，而图像从下方穿过了x轴到了上方。这个‘穿过’意味着什么？它和f(-2)f(1)<0有什么关系？”（引导学生建立符号变化与图像连续性、根存在性的联系）6.“定理里说的‘连续曲线’是什么意思？为什么这个条件很重要？如果图像在某点断开了，这种情况行吗？”（聚焦难点“连续”的理解，通过反例说明）师生互动预设：教师提出问题后，给予学生一定的思考时间。鼓励学生先独立思考，然后可以小声与同伴讨论。教师巡视，听取学生的讨论，对有困难的学生进行个别引导。邀请不同想法的学生分享观点，对于错误的观点，引导学生自己发现并纠正。对于关键问题（如符号变化与图像穿过x轴的关系），教师可以结合图像进行强调和解释。预期效果：第三部分教学反思1.学生错误原因分析*概念理解模糊：部分学生对“连续”的理解停留在表面，认为所有曲线都是连续的，未能理解在数学上通常指闭区间上没有断点、可以无限接近。*符号判断错误：学生在判断f(a)f(b)的符号时，可能因为计算失误或对负数乘积的符号规则掌握不牢固而出错。*逻辑关系混淆：学生可能将“f(a)f(b)<0”与“方程有唯一一个根”混淆，误以为满足条件就只对应一个根，忽略了可能存在多个根的情况。*表达不准确：学生在口头或书面表达判断过程时，可能无法清晰、规范地说明是根据零点存在性定理，以及是如何判断“连续”和“符号相反”这两个条件的。2.教学不足之处反思*对“连续”概念的铺垫不足：在引入定理时，可能对于“连续曲线”的数学意义解释不够深入，或者没有用足够直观的图形（如显示断点的函数图像）进行对比，导致学生理解困难。*实例选择可能不够典型：选择的实例可能未能覆盖所有学生可能遇到的思维障碍点，例如，选择的函数图像在端点处切线斜率较陡峭，可能导致学生忽略端点附近的变化。*练习设计针对性不强：课后练习可能过于集中，未能针对学生暴露出的具体错误类型（如符号判断、连续性理解等）进行专项巩固。*生生互动和个别指导不够充分：在讲解或练习环节，可能未能及时发现并纠正个别学生的错误理解，或者对不同层次学生的需求关注不够。3.改进教学措施*加强“连续”概念的直观教学：在讲解定理前，可以展示一些反例，如分段函数图像（在连接处断开），或者强调“连续”意味着图像可以画成一笔不断开的样子（在宏观、闭区间范围内）。使用几何画板等动态软件演示函数图像的变化，帮助学生直观感受连续性。*强化符号判断训练：设计专门的练习，让学生判断不同区间端点处函数值的符号，特别是涉及绝对值、二次函数顶点、分段函数等情况，强化负数乘积为正的规则。*强调定理条件的完整性：在应用定理时，引导学生必须同时验证三个条件，并通过反例（如f(x)=x在(-1,1)上，f(-1)f(1)