2025年下学期高中数学竞赛无穷递降法试卷

2025年下学期高中数学竞赛无穷递降法试卷一、选择题（每题5分，共30分）无穷递降法的核心思想是通过构造（）来证明命题的否定不成立A.严格递增序列B.严格递减序列C.周期序列D.常值序列在证明方程(x^3+2y^3=4z^3)无正整数解时，无穷递降法的第一步是假设存在最小正整数解((x_0,y_0,z_0))，则下列推理正确的是（）A.(x_0)必为偶数，设(x_0=2x_1)代入方程B.(y_0)必为奇数，设(y_0=2y_1+1)代入方程C.(z_0)必为3的倍数，设(z_0=3z_1)代入方程D.方程两边模5可得矛盾利用无穷递降法证明(\sqrt{2})是无理数时，关键步骤是假设(\sqrt{2}=\frac{p}{q})（既约分数）后证明（）A.(p)和(q)都是偶数B.(p)是偶数而(q)是奇数C.(q)是偶数而(p)是奇数D.(p)和(q)都是3的倍数下列方程中，适合用无穷递降法证明无正整数解的是（）A.(x+y=z)B.(x^2-y^2=z^2)C.(x^4+y^4=z^4)D.(x^2+2y^2=3z^2)无穷递降法的逻辑基础是（）A.数学归纳法B.最小数原理C.抽屉原理D.反证法在使用无穷递降法时，构造的递降序列必须满足（）A.有下界且非负B.有上界且非正C.单调递增且有界D.周期变化且收敛二、填空题（每题6分，共30分）证明方程(x^2+y^2=3(z^2+w^2))无正整数解时，若假设最小解((x_0,y_0,z_0,w_0))，则(x_0)和(y_0)必须满足的同余条件是________。用无穷递降法证明不存在边长为整数的等腰直角三角形时，可假设最小直角边长为(a)，则可构造出更小的直角边长为________（用含(a)的代数式表示）。方程(x^3-3y^3-9z^3=0)的正整数解个数为________。在证明过程中，若构造的递降序列为(a_1>a_2>a_3>\dots)，且(a_i\in\mathbb{N}^*)，则该序列必然会终止，其依据是________。无穷递降法最早由法国数学家________系统应用于数论研究。三、解答题（共40分）（10分）证明：方程(x^2+y^2+z^2=2xyz)没有正整数解。证明思路：假设存在正整数解((x,y,z))，不妨设(x\leqy\leqz)，则原方程可化为(x^2+y^2=z(2xy-z))。由于(z>0)，可得(2xy-z>0\Rightarrowz<2xy)。构造新解((x,y,z'))，其中(z'=2xy-z)，证明(z'<z)且(z'\in\mathbb{N}^*)，形成递降序列。（12分）证明：方程(x^4-4y^4=z^2)无正整数解。证明步骤：（1）假设最小解((x_0,y_0,z_0))，则(x_0)为奇数，且((x_0^2,2y_0^2,z_0))构成勾股数组；（2）设(x_0^2=m^2-n^2)，(2y_0^2=2mn)，(z_0=m^2+n^2)（(m>n>0)，互质，一奇一偶）；（3）由(y_0^2=mn)得(m=a^2)，(n=b^2)，代入(x_0^2=a^4-b^4)；（4）构造新解((a,b,x_0))，与(x_0)最小性矛盾。（18分）综合应用题（1）证明：不存在正整数(a,b,c)满足(a^2+b^2=5c^2)且(\gcd(a,b,c)=1)；（2）利用（1）的结论证明方程(x^4+4y^4=z^2)无正整数解；（3）拓展：尝试用无穷递降法证明费马大定理在(n=3)时的情形（(x^3+y^3=z^3)无正整数解）。四、拓展探究题（20分）设(p)是奇素数，考虑方程(x^p+y^p=z^p)。（1）证明：若存在正整数解，则可假设(x,y,z)两两互质；（2）利用无穷递降法思想，构造关于(z)的递降序列；（3）结合费马小定理，分析(x^p+y^p\equivz^p\pmod{p})的同余性质，说明递降序列的构造依据。五、解题策略归纳（20分）结合本次竞赛试题，总结无穷递降法的一般步骤：（1）________（2）________（3）________（4）________并举例说明在不同类型方程（一次、二次、高次）中应用时的差异与技巧。参考答案与评分标准（部分）一、选择题1-6:BAACBA二、填空题(x_0\equivy_0\equiv0\pmod{3})(a(\sqrt{2}-1))（注：实际证明中取整数部分构造递降）0正整数集的良序性（最小数原理）费马三、解答题（要点）关键步骤：证明(z'=2xy-z<z)，即(z>xy)。由(x^2+y^2=z(2xy-z))，若(z\leqxy)则(x^2+y^2\leqxy(2xy-z)\leqxy\cdotxy=x^2y^2)，对(x,y\geq1)不成立，故(z>xy)，从而(z'<z)形成递降。通过勾股数组的本原性分析，将四次方程转化为二次方程，反复提取平方因子构造无穷递降链。（1）模4分析可得(a,b)均为偶数，与(\gcd(a,b,c)=1)矛盾；（2）利用恒等式(x^4+4y^4=(x^2)^2+(2y^2)^2)，若为平方数则构成（1）中方程；（3）需分奇素数情形讨论，利用立方和公式分解。命题说明本试卷围绕无穷递降法的理论基础、应用技巧和经典案例设计，覆盖选择、填空、解答、探究等多种题型。重点考查：无穷递降法的逻辑结构（与最小数原理、反证法的联系）在不同方程中的应用策略（模分析、因式分解、勾股数组）从二次到高次方程的递降构造技巧历史背景与现代数论的衔接（费马大定理特例）考生需具备较强的代数变形能力和逻辑推理能力，能通过构造递降序列将复杂问题转化为简单情形。试卷难度梯度分明，基础题占60%，综合题占30%，探究题占10%，适合高中数学竞