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文档简介

2025年下学期高中数学竞赛专注力训练试卷一、选择题(共8小题,每题5分,共40分)1.已知复数(z=\frac{2+i}{1-2i}+i^{2025}),则(|z|=)()A.(\sqrt{2})B.(2)C.(\sqrt{5})D.(3)2.已知集合(A={x|x^2-4x+3<0}),(B={x|\log_2(x-1)<1}),则(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B)=)()A.((1,2])B.([2,3))C.((1,3))D.((2,3))3.已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))((\omega>0),(|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.函数(f(x))的最小正周期为(\pi)B.函数(f(x))的图象关于点(\left(\frac{\pi}{6},0\right))对称C.函数(f(x))在区间(\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right))上单调递增D.将函数(f(x))的图象向右平移(\frac{\pi}{12})个单位长度可得到(y=\sin2x)的图象4.在三棱锥(P-ABC)中,(PA\perp)平面(ABC),(AB=AC=2),(\angleBAC=120^\circ),(PA=3),则该三棱锥外接球的表面积为()A.(16\pi)B.(20\pi)C.(24\pi)D.(28\pi)5.已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n),若(S_3=7),(S_6=63),则(a_7+a_8+a_9=)()A.128B.256C.512D.10246.已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F),准线为(l),过点(F)的直线交抛物线于(A),(B)两点,过点(A)作准线(l)的垂线,垂足为(M),若(\angleAMF=30^\circ),则(|AB|=)()A.(4)B.(6)C.(8)D.(12)7.已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)处取得极大值,在(x=3)处取得极小值,则(a+b=)()A.(-1)B.(0)C.(1)D.(2)8.已知(\alpha),(\beta)是方程(x^2-x-1=0)的两个根,则(\alpha^4+3\beta=)()A.(4)B.(5)C.(6)D.(7)二、填空题(共6小题,每题5分,共30分)9.已知向量(\boldsymbol{a}=(1,2)),(\boldsymbol{b}=(m,-1)),若(\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})),则(m=)________.10.若((x+\frac{1}{x})^n)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中(x^2)的系数为________.11.已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)((a>0),(b>0))的离心率为(\sqrt{3}),且过点((2,\sqrt{6})),则双曲线(C)的标准方程为________.12.已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases}),则(f(f(-1))=)________.13.在(\triangleABC)中,角(A),(B),(C)所对的边分别为(a),(b),(c),若(a=2),(b=3),(c=\sqrt{7}),则(\triangleABC)的面积为________.14.已知定义在(\mathbb{R})上的函数(f(x))满足(f(x+2)=f(x)),且当(x\in[0,2))时,(f(x)=x^2-2x),则方程(f(x)=\frac{1}{2})在区间([-2,4])上的解的个数为________.三、解答题(共6小题,共80分)15.(12分)已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n),且满足(S_n=2a_n-1)((n\in\mathbb{N}^*)).(1)求数列({a_n})的通项公式;(2)设(b_n=\log_2a_n+1),求数列({\frac{1}{b_nb_{n+1}}})的前(n)项和(T_n).16.(12分)如图,在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中,(AB=AC=AA_1=2),(\angleBAC=90^\circ),点(D),(E)分别是棱(BC),(B_1C_1)的中点.(1)求证:(DE\parallel)平面(ABB_1A_1);(2)求二面角(A-DE-A_1)的余弦值.17.(14分)某学校为了提高学生的数学竞赛成绩,决定从高二年级的(500)名学生中随机抽取(50)名学生进行专注力训练,并对训练前后的数学竞赛成绩进行对比分析.训练前的成绩(单位:分)如下:(65,72,78,85,90,92,88,76,70,68,75,80,82,86,95,89,73,79,83,87,91,84,77,69,71,81,85,93,94,74,66,67,70,72,75,78,80,83,86,88,90,91,92,93,94,95,96,97,98)(1)根据以上数据,完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图;|成绩分组|频数|频率||:-------|:---|:---||[60,70)||||[70,80)||||[80,90)||||[90,100]|||(2)若训练后的成绩服从正态分布(N(85,\sigma^2)),且成绩在(80)分以上的学生占总人数的(84.13%),求(\sigma)的值;(3)若从训练前成绩在([90,100])的学生中随机抽取(2)名学生进行访谈,求至少有(1)名学生成绩在([95,100])的概率.18.(14分)已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)((a>b>0))的左、右焦点分别为(F_1),(F_2),离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2}),且过点((1,\frac{\sqrt{2}}{2})).(1)求椭圆(C)的标准方程;(2)过点(F_1)的直线(l)与椭圆(C)交于(A),(B)两点,若(\triangleABF_2)的面积为(\frac{4\sqrt{3}}{5}),求直线(l)的方程.19.(14分)已知函数(f(x)=e^x-ax-1)((a\in\mathbb{R})).(1)讨论函数(f(x))的单调性;(2)若函数(f(x))有两个零点,求(a)的取值范围;(3)当(a=1)时,求证:(f(x)\geqx^2-x).20.(14分)已知数列({a_n})满足(a_1=1),(a_{n+1}=2a_n+n+1)((n\in\mathbb{N}^*)).(1)证明:数列({a_n+n+2})是等比数列;(2)求数列({a_n})的通项公式;(3)设(c_n=\frac{a_n+n+2}{n(n+1)2^n}),求数列({c_n})的前(n)项和(R_n),并证明(R_n<\frac{1}{2}).参考答案及解析(注:实际试卷中无需提供,此处仅为示例完整性添加)一、选择题B2.B3.C4.D5.C6.C7.A8.B二、填空题1010.21011.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)12.-113.(\frac{3\sqrt{3}}{2})14.4三、解答题15.(1)(a_n=2^{n-1});(2)(T_n=\frac{n}{n+1})16.(2)(\frac{\sqrt{3}}{3})17.(2)(\sigma=5);(3)(\frac{17}{21})18.(1)(\frac{x^2}{2}+y^2=1);(2)(y

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