2025年下学期高中数学王元试卷

2025年下学期高中数学王元试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2函数f(x)=log₂(x²-4x+5)的单调递增区间是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,1)D.(5,+∞)已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则实数m的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5=10，S7=49，则公差d=（）A.1B.2C.3D.4若sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)=（）A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10已知直线l:y=kx+1与圆C:x²+y²-2x-3=0相交于A,B两点，若|AB|=2√3，则k=（）A.±√3B.±√2C.±1D.0某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.16C.20D.24已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若f(1)=0，f'(1)=0，f''(1)=6，则c=（）A.-5B.-3C.1D.3从5名男生和4名女生中选出3人参加数学竞赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）A.80种B.100种C.120种D.140种已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且过点(2,√3)，则双曲线C的方程为（）A.x²/3-y²/6=1B.x²/2-y²/4=1C.x²-y²/2=1D.x²/4-y²/8=1已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=x²-2x，则方程f(x)=log₃|x|的解的个数为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=________.已知x,y满足约束条件{x+y≤3,x-y≥-1,y≥0}，则z=2x+y的最大值为________.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2，b=3，C=60°，则c=________.已知函数f(x)=x³-3x²+3x-1，过点P(1,0)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）（本小题满分10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*).（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acosB+bcosA=2ccosC.（1）求角C的大小；（2）若c=2√3，△ABC的面积为2√3，求a+b的值.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D,E分别是A1B1,BB1的中点.（1）求证：DE⊥平面A1BC；（2）求二面角A-A1C-E的余弦值.（本小题满分12分）已知抛物线C:y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为D.（1）求证：直线BD平分线段AF；（2）若|AB|=8，求直线AB的方程.（本小题满分12分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为40元，销售单价为60元，该厂为了扩大销售，决定在原来的基础上降价销售，经市场调查发现，销售单价每降低1元，月销售量可增加10件.（1）设销售单价降低x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；（2）当销售单价降低多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润是多少？（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax²+(2-a)x(a∈R).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.参考答案与解析一、选择题C解析：A={1,2}，由A∪B=A知B⊆A。方程x²-ax+a-1=0可化为(x-1)(x-a+1)=0，所以B={1}或B={1,a-1}。当B={1}时，a-1=1，即a=2；当B={1,2}时，a-1=2，即a=3。综上，a=2或3，故选C。B解析：令t=x²-4x+5=(x-2)²+1，函数t在(2,+∞)上单调递增。又y=log₂t在(0,+∞)上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”原则，f(x)的单调递增区间是(2,+∞)，故选B。A解析：因为a⊥b，所以a·b=0，即1×m+2×1=0，解得m=-2，故选A。B解析：由S7=7a4=49得a4=7。又a3+a5=2a4-2d=10，即14-2d=10，解得d=2，故选B。A解析：因为α∈(π/2,π)，所以cosα=-4/5。cos(α-π/4)=cosαcosπ/4+sinαsinπ/4=(-4/5)(√2/2)+(3/5)(√2/2)=-√2/10，故选A。C解析：圆C的标准方程为(x-1)²+y²=4，圆心C(1,0)，半径r=2。圆心到直线l的距离d=|k+1|/√(k²+1)。由|AB|=2√(r²-d²)=2√3得d=1，即|k+1|/√(k²+1)=1，解得k=0，故选C。B解析：由三视图知该几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体。长方体的长、宽、高分别为4、2、2，体积为4×2×2=16；三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为4，体积为(1/2)×2×2×4=8。总体积为16+8=24，故选D。（注：原答案B可能有误，根据解析应为24）A解析：f(1)=1+a+b+c=0，f'(1)=3+2a+b=0，f''(1)=6+2a=6，解得a=0，b=-3，c=-5+1=-5，故选A。A解析：间接法：总选法数为C9³=84，全是男生的选法数为C5³=10，所以至少有1名女生的选法数为84-10=74，无正确选项。（注：原答案可能有误，正确答案应为74种，选项中无此答案）C解析：离心率e=c/a=√3，所以c=√3a，b²=c²-a²=2a²。又双曲线过点(2,√3)，所以4/a²-3/(2a²)=1，解得a²=1，b²=2，双曲线方程为x²-y²/2=1，故选C。B解析：由图像知A=2，T=π，所以ω=2。又图像过点(π/12,2)，所以2=2sin(2×π/12+φ)，即sin(π/6+φ)=1，解得φ=π/3。又|φ|<π/2，所以φ=π/3，f(x)=2sin(2x+π/3)，故选A。（注：原答案B可能有误，根据解析应为A）C解析：函数f(x)是周期为2的周期函数，在[0,2)上f(x)=x²-2x=(x-1)²-1。在同一坐标系中作出f(x)与g(x)=log₃|x|的图像，由图像可知两函数有4个交点，即方程f(x)=log₃|x|有4个解，故选C。二、填空题√2解析：z=2i/(1+i)=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=1+i，|z|=√(1²+1²)=√2。5解析：作出可行域，当直线z=2x+y经过点(2,1)时，z取得最大值5。√7解析：由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=4+9-2×2×3×1/2=7，所以c=√7。y=0解析：f'(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²，f'(1)=0，所以切线斜率为0，切线方程为y=0。三、解答题（1）证明：由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2≠0，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。（2）解：由（1）知an+1=2×2^(n-1)=2^n，所以an=2^n-1。Sn=(2+2²+...+2^n)-n=2(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-n-2。（1）解：由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin(A+B)=2sinCcosC。因为A+B=π-C，所以sinC=2sinCcosC。又sinC≠0，所以cosC=1/2，C=π/3。（2）解：由面积公式得(1/2)absinC=2√3，即(1/2)ab×√3/2=2√3，所以ab=8。由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，即12=a²+b²-ab=(a+b)²-3ab=(a+b)²-24，所以(a+b)²=36，a+b=6。（1）证明：以C为原点，CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。A(2,0,0),A1(2,0,2),B(0,2,0),B1(0,2,2),D(1,1,2),E(0,2,1)。向量DE=(-1,1,-1)，向量A1B=(-2,2,-2)，所以DE=(1/2)A1B，即DE∥A1B。又A1B⊥平面A1BC，所以DE⊥平面A1BC。（2）解：平面A1C的法向量为n1=(0,1,0)。设平面A1CE的法向量为n2=(x,y,z)，由n2·CA1=0,n2·CE=0得2x+2z=0,2y+z=0，取z=2得n2=(-2,-1,2)。cos<n1,n2>=n1·n2/(|n1||n2|)=-1/3，所以二面角A-A1C-E的余弦值为1/3。（1）证明：F(1,0)，l:x=-1。设直线AB的方程为x=my+1，与抛物线方程联立得y²-4my-4=0。设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=4m,y1y2=-4。D(-1,y1)，直线BD的方程为y-y2=(y2-y1)/(x2+1)(x-x2)。线段AF的中点为((x1+1)/2,y1/2)，代入直线BD方程验证成立，所以直线BD平分线段AF。（2）解：|AB|=√(1+m²)|y1-y2|=√(1+m²)√[(y1+y2)²-4y1y2]=√(1+m²)√(16m²+16)=4(m²+1)=8，解得m=±1，所以直线AB的方程为x±y-1=0。（1）解：y=(60-x-40)(100+10x)=(20-x)(100+10x)=-10x²+100x+2000(0≤x≤20)。（2）解：y=-10(x-5)²+2250，当x=5时，y有最大值2250。所以当销售单价降低5元时，月销售利润最大，最大月销售利润是2250元。（1）解：f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=(-2ax²+(2-a)x+1)/x=-(2ax+1)(x-1)/x(x>0)。①当a≥0时，2ax+1>0，由f'(x)>0得0<x<1，由f'(x)<0得x>1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。②当a<0时，令f'(x)=0得x=1或x=-1/(2a)。当-1/(2a)<1即a<-1/2时，f(x)在(0,-1/(2a))和(1,+∞)上单调递增，在(-1/(2a),1)上单调递减；当-1/(2a)=1即a=-1/2时，f'(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当-1/(2a)>1即-1