2025年下学期高中数学西藏版试卷

2025年下学期高中数学西藏版试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2函数f(x)=√(x-1)+ln(3-x)的定义域为（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则m的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.y=x³B.y=sinxC.y=lnxD.y=2ˣ已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)的值为（）A.-7√2/10B.7√2/10C.-√2/10D.√2/10已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5=10，S7=49，则公差d=（）A.1B.2C.3D.4函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,2]上的最大值为（）A.2B.0C.-2D.-4已知圆C：(x-1)²+(y+2)²=4，则过点(2,1)的圆的切线方程为（）A.x=2B.3x-4y-2=0C.x=2或3x-4y-2=0D.4x-3y-5=0若双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，则ω和φ的值分别为（）A.ω=2,φ=π/3B.ω=2,φ=π/6C.ω=1,φ=π/3D.ω=1,φ=π/6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.36已知函数f(x)=eˣ-ax-1(a∈R)，若对任意x>0，都有f(x)≥0成立，则a的取值范围是（）A.(-∞,1]B.(-∞,e]C.[1,+∞)D.[e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）计算：log₂8+2⁰-√4=________。已知tanα=2，则sin2α=________。若(x+1/x)ⁿ的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则n=________。已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，若f(2)=0，则不等式f(x-1)>0的解集为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，cosB=3/5。（1）若b=4，求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=4，求b、c的值。（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn。（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点。（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）求直线A1B与平面ADC1所成角的正弦值。（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围。（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax²+(2-a)x(a∈R)。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围。（本小题满分12分）为了响应国家“乡村振兴”战略，某地区计划在农村建设一批特色农产品加工厂。现有A、B两种型号的加工设备可供选择，其中A型设备每台价格为10万元，每天可加工农产品8吨；B型设备每台价格为15万元，每天可加工农产品15吨。该地区准备投入资金不超过150万元，购买这两种设备共10台，且要求每天加工的农产品不少于100吨。（1）请写出购买设备的总费用y（万元）与购买A型设备x台之间的函数关系式；（2）有多少种不同的购买方案？（3）哪种购买方案可使总费用最低？最低总费用是多少？参考答案及评分标准一、选择题C2.A3.A4.A5.C6.B7.A8.C9.A10.B11.B12.A二、填空题214.4/515.816.(-∞,-1)∪(3,+∞)三、解答题解：（1）因为cosB=3/5，0<B<π，所以sinB=4/5。由正弦定理得a/sinA=b/sinB，即2/sinA=4/(4/5)，解得sinA=2/5。（5分）（2）因为S=1/2acsinB=4，所以1/2×2×c×4/5=4，解得c=5。由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=4+25-2×2×5×3/5=17，所以b=√17。（10分）（1）证明：因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)。又a1+1=2≠0，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。（6分）（2）解：由（1）得an+1=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ，所以an=2ⁿ-1。所以Sn=(2¹-1)+(2²-1)+...+(2ⁿ-1)=2(2ⁿ-1)/(2-1)-n=2ⁿ⁺¹-n-2。（12分）（1）证明：因为AA1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AA1⊥AD。因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC。又BC∩AA1=A，所以AD⊥平面BCC1B1。（6分）（2）解：以A为原点，AB、AC、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1,1,0)，C1(0,2,2)。所以A1B=(2,0,-2)，AD=(1,1,0)，AC1=(0,2,2)。设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z)，则{n·AD=0,n·AC1=0}，即{x+y=0,2y+2z=0}。令x=1，则y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)。设直线A1B与平面ADC1所成角为θ，则sinθ=|cos<A1B,n>|=|A1B·n|/(|A1B||n|)=|2×1+0×(-1)+(-2)×1|/(√(4+0+4)×√(1+1+1))=0。所以直线A1B与平面ADC1所成角的正弦值为0。（12分）（1）解：因为e=c/a=√3/2，所以c=√3/2a，b²=a²-c²=a²/4。又椭圆过点(2,1)，所以4/a²+1/b²=1，解得a²=8，b²=2。所以椭圆C的标准方程为x²/8+y²/2=1。（6分）（2）解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{y=kx+m,x²/8+y²/2=1}，得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-8=0。所以Δ=64k²m²-4(1+4k²)(4m²-8)=16(8k²-m²+2)>0，x1+x2=-8km/(1+4k²)，x1x2=(4m²-8)/(1+4k²)。因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0。整理得(1+k²)x1x2+km(x1+x2)+m²=0，代入得(1+k²)(4m²-8)/(1+4k²)-8k²m²/(1+4k²)+m²=0。化简得5m²=8(1+k²)，所以m²=8(1+k²)/5。由Δ>0得8k²-8(1+k²)/5+2>0，恒成立。|AB|=√(1+k²)|x1-x2|=√(1+k²)×√[16(8k²-m²+2)]/(1+4k²)=4√(1+k²)√(10k²+2)/(1+4k²)。点O到直线l的距离d=|m|/√(1+k²)=√[8(1+k²)/5]/√(1+k²)=2√10/5。所以S△AOB=1/2|AB|d=1/2×4√(1+k²)√(10k²+2)/(1+4k²)×2√10/5=4√2√(10k⁴+12k²+2)/(5(1+4k²))。令t=1+4k²≥1，则k²=(t-1)/4，代入得S=4√2√[10((t-1)/4)²+12((t-1)/4)+2]/(5t)=4√2√(10t²+8t+2)/(10t)=2√2√(10t²+8t+2)/(5t)。令f(t)=10t²+8t+2)/t²=10+8/t+2/t²，t≥1。因为f(t)在[1,+∞)上单调递减，所以f(t)≤f(1)=20，f(t)>10。所以S∈(2√2×√10/5,2√2×√20/5]=(4√5/5,8/5√5]。（12分）解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)。f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=(-2ax²+(2-a)x+1)/x=-(2ax+1)(x-1)/x。①当a≤0时，2ax+1<0，所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。②当a>0时，令f'(x)=0，得x=1或x=-1/(2a)（舍）。所以当x∈(0,1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减。（6分）（2）由（1）知，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。f(1)=ln1-a×1²+(2-a)×1=2-2a>0，f(eᵃ)=a-a(eᵃ)²+(2-a)eᵃ=a(1-e²ᵃ)+(2-a)eᵃ<0，f(1/e)=-1-a(1/e)²+(2-a)(1/e)=-1-2a/e²+2/e<0，所以函数f(x)有两个零点。当a>0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。f(1)=2-2a，若f(1)≤0，即a≥1时，f(x)≤0，无零点；若f(1)>0，即0<a<1时，f(eᵃ)=a-a(eᵃ)²+(2-a)eᵃ=a(1-e²ᵃ)+(2-a)eᵃ<0，f(1/a)=ln(1/a)-a(1/a)²+(2-a)(1/a)=-lna-1/a+2/a-1=-lna+1/a-1。令g(a)=-lna+1/a-1(0<a<1)，则g'(a)=-1/a-1/a²<0，所以g(a)在(0,1)上单调递减。g(a)>g(1)=0，所以f(1/a)>0，所以函数f(x)有两个零点。综上，实数a的取值范围是(-∞,1)。（12分）解：（1）y=10x+15(10-x)=-5x+150。（3分）（2）由题意得{10x+15(10-x)≤150,8x+15(10-x)≥100,x∈N,0≤x≤10}，即{5x≥0,7x≤50,x∈N}，解得0≤x≤7(x∈N)。所以x=0,1,2,3,4,5,6,7，共8种不同的购买方案。（7分）（3）因为y=-5x+150是减函数，所以当x=7时，y取得最小值，y最小=-5×7+150=115（万元）。所以购买A型设备7台，B型设备3台时，总费用最低，最低总费用是115万元。（12分）本试卷注重考查高中数学的基础知识和基本技能，同时兼顾对数学思想方法和数学能力的考查。试卷结构合理，难度适中，具有较好的区分度。在题型设计上，既保留了传统的选择题、填空题和解答题，又适当增加了应用题的比重，体现了数学的实际应用价值。试卷内容覆盖了集合、函数、数列、三角函数、向量、几何、导数、概率统计等主要知识点，符合高中数学教学大纲的要求。在考查基础知识的同时，试卷也注重对学生能力的考查。例如，第19题考查空间想象能力和推理论证能力，第21题考查函数的单调性和零点问题，第22题考查线性规划的实际应用。这些题目都需要学生具