2025年下学期高中数学研究技术观试卷

2025年下学期高中数学研究技术观试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）在数学建模过程中，下列关于“问题抽象”环节的描述，正确的是（）A.需将实际问题直接转化为数学公式B.应保留问题中的所有细节信息C.通过变量定义建立问题与数学符号的映射D.必须使用计算机软件进行辅助分析某学校为优化课表安排，收集了学生对10门选修课的偏好数据，若要分析课程选择的关联性，最适合的数学工具是（）A.线性回归方程B.关联规则挖掘C.傅里叶变换D.微分方程模型在使用Python进行数据分析时，下列代码段的功能是（）importnumpyasnpdata=np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])result=np.mean(data,axis=0)A.计算矩阵所有元素的平均值B.按行计算各样本的均值C.按列计算各特征的均值D.对矩阵进行转置操作数学实验中，蒙特卡洛方法的核心思想是（）A.通过无限逼近求解精确值B.利用随机抽样模拟概率过程C.将连续问题离散化处理D.基于微积分基本定理进行数值计算某城市交通部门采集了早晚高峰时段各路口的车流量数据，现需预测下周同一时段的拥堵情况，属于（）A.分类问题B.聚类问题C.回归预测问题D.关联分析问题在数学建模竞赛中，对模型结果进行敏感性分析的主要目的是（）A.验证模型的正确性B.评估参数变化对结果的影响程度C.简化模型的复杂度D.提高计算效率下列关于数学软件工具的应用场景，错误的是（）A.MATLAB适合进行矩阵运算与控制系统仿真B.GeoGebra可用于动态几何图形的可视化C.SPSS主要用于符号计算和公式推导D.Maple擅长处理代数方程求根问题在研究“人口增长与资源消耗”的相互关系时，构建微分方程模型的关键是（）A.确定人口增长率的具体数值B.定义资源再生的周期性函数C.建立两个变量间的耦合微分方程组D.假设资源总量为恒定值数据可视化中，箱线图（BoxPlot）不能直观反映的数据特征是（）A.中位数位置B.数据分布的对称性C.异常值的存在D.样本量大小在数学建模报告撰写中，“模型检验”部分应包含的内容是（）A.问题背景介绍B.求解算法的程序代码C.实际数据与模型预测值的对比分析D.模型的理论推导过程某电商平台根据用户浏览记录推荐商品，其背后的数学原理涉及（）A.图论中的最短路径算法B.协同过滤算法C.整数规划模型D.偏微分方程数值解关于数学技术与传统数学研究的差异，下列说法正确的是（）A.数学技术更注重严格的逻辑证明B.传统数学研究不涉及实际应用问题C.数学技术强调借助工具实现问题解决D.两者在研究方法上没有交集二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在数学建模中，常用的“五步法”包括：问题分析、模型假设、________、模型求解、模型检验。某数据集包含1000个样本，每个样本有20个特征，在进行主成分分析（PCA）时，最多可提取________个主成分。使用Excel进行数据处理时，函数=VLOOKUP(A1,B:C,2,FALSE)的作用是在________区域中精确匹配A1的值，并返回对应行第2列的内容。数学技术中的“数字化实验”与物理实验的本质区别在于，前者通过________模拟替代实物操作。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）某中学计划开展“校园垃圾分类优化”项目，需通过数学方法分析现有垃圾桶设置的合理性。（1）请列出至少3项需要采集的关键数据；（2）简述使用层次分析法（AHP）进行选址优化的基本步骤。（12分）某农场为提高灌溉效率，收集了近5年的降水数据（单位：mm）：2020年：[520,610,480,720,590]2021年：[490,580,630,690,550]2022年：[650,570,710,620,580]2023年：[530,640,590,730,680]2024年：[610,560,690,540,700]（1）计算每年降水数据的均值与标准差；（2）使用移动平均法预测2025年的年均降水量（取3年移动窗口）。（12分）在数学实验课上，学生用Python绘制函数图像，遇到如下问题：（1）写出绘制函数y=x³-2x²+sin(x)在区间[-π,π]图像的代码框架（需包含库导入、数据生成、图像绘制步骤）；（2）若要添加函数的导数图像作为对比，应如何修改代码？（12分）某物流公司需优化配送路线，从仓库（A点）出发，向5个配送点（B,C,D,E,F）送货后返回仓库，各点间距离（单位：km）如下表：ABCDEFA081215107B8091465C129081113D1514801612E106111604F75131240（1）该问题属于数学中的什么模型？（2）用贪婪算法设计一条近似最优配送路线，并计算总里程。（12分）为研究“学习时间与成绩的关系”，某教师收集了10名学生的周均数学学习时长（x，单位：小时）与期末成绩（y，单位：分）数据：x:8,10,12,15,18,20,22,25,28,30y:65,72,75,80,85,88,90,92,93,95（1）建立y关于x的线性回归方程（结果保留两位小数）；（2）预测当学习时长为24小时时的成绩。（14分）随着人工智能技术发展，数学教育正面临数字化转型。（1）阐述数学技术在高中教学中的3个具体应用场景；（2）分析使用AI辅助解题系统对学生数学思维培养的潜在影响（至少包含正反两方面）。四、建模实践题（本大题共1小题，共20分）（20分）“校园共享单车调度”问题：某高校投放了500辆共享单车，近期出现部分区域“车满为患”而部分区域“无车可用”的现象。假设你是数学建模小组组长，请完成以下任务：（1）设计一个数据采集方案，至少包含3个维度的信息采集；（2）构建一个简单的调度优化模型，用数学符号描述目标函数和约束条件；（3）说明如何利用手机APP的定位数据与骑行记录优化调度策略；（4）列举模型求解可能遇到的2个技术难点及解决思路。五、技术应用题（本大题共1小题，共20分）（20分）数学软件操作实践：（1）使用GeoGebra绘制函数f(x)=x²lnx的图像，标注其极值点与拐点坐标（需写出关键操作步骤）；（2）用MATLAB编写程序，计算定积分∫₀²(x³+eˣ)dx的数值解（要求分别使用梯形公式和辛普森公式，结果保留4位小数）；（3）简述如何利用Excel的数据透视表功能分析某班级数学考试成绩的分数段分布。参考答案及评分标准（简要版）一、选择题1.C2.B3.C4.B5.C6.B7.C8.C9.D10.B11.B12.C二、填空题模型构建14.2015.B:C16.数学算法三、解答题（要点）17.（1）各区域人流量、垃圾产生量、垃圾桶容量利用率（2）建立层次结构→构造判断矩阵→层次单排序→一致性检验→层次总排序18.（1）2020年均值584，标准差94.34；2021年均值590，标准差68.70；（后续年份计算略）（2）2025年预测值636mm19.（1）importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx=np.linspace(-np.pi,np.pi,100)y=x**3-2*x**2+np.sin(x)plt.plot(x,y)plt.show()（2）添加dy=3*x**2-4*x+np.cos(x)并绘制20.（1）旅行商问题（TSP）（2）贪婪路线A→F→E→B→C→D→A，总里程7+4+6+9+8+15=49km21.（1）回归方程：ŷ=1.72x+60.53（2）预测成绩：1.72×24+60.53≈91.81分22.（1）动态几何演示、数据建模