2025年下学期高中数学与博弈论应用试卷

2025年下学期高中数学与博弈论应用试卷一、选择题（每题5分，共30分）博弈论的核心研究对象是（）A.单个决策者的最优选择B.多个决策者之间的策略互动C.随机事件的概率分布D.线性规划问题的求解下列哪项不属于博弈的基本要素（）A.参与者（Players）B.策略（Strategies）C.支付（Payoffs）D.随机变量“囚徒困境”中，两名嫌疑犯的占优策略是（）A.都坦白B.都不坦白C.一人坦白一人不坦白D.随机选择策略纳什均衡的核心特征是（）A.所有参与者的收益最大B.单方面改变策略无法提高自身收益C.必须存在占优策略D.合作策略优于竞争策略在“性别战”博弈中（男方偏好足球，女方偏好芭蕾，双方都希望在一起），纳什均衡的数量是（）A.0个B.1个C.2个D.4个动态博弈与静态博弈的主要区别是（）A.参与者数量不同B.策略选择是否有先后顺序C.是否存在纳什均衡D.支付矩阵的维度不同二、填空题（每空3分，共30分）博弈论中，若无论其他参与者选择何种策略，某参与者的最优策略始终不变，则该策略称为__________。“囚徒困境”中，若双方都选择不坦白，各自的支付为__________年刑期；若双方都坦白，各自的支付为__________年刑期。纳什均衡的定义是：在一个策略组合中，每个参与者的策略都是对其他参与者策略的__________。用支付矩阵表示博弈时，矩阵的行代表__________的策略，列代表__________的策略，矩阵中的数值代表双方的__________。在“选数字博弈”中（全班选择1-100的数字，最接近平均数2/3者获胜），若所有参与者都理性迭代剔除劣势策略，最终的均衡结果是选择数字__________。动态博弈的分析工具是__________（填“支付矩阵”或“博弈树”），常用的求解方法是__________。三、简答题（每题10分，共20分）简述占优策略均衡与纳什均衡的区别，并举例说明。（提示：可结合“囚徒困境”或“智猪博弈”分析）为什么“囚徒困境”中个体理性会导致集体非理性？如何通过重复博弈缓解这一矛盾？四、计算题（15分）背景：甲、乙两家公司生产同类产品，面临“降价”或“不降价”的策略选择。支付矩阵如下（单位：万元，左为甲收益，右为乙收益）：乙：降价乙：不降价甲：降价(40,40)(80,20)甲：不降价(20,80)(60,60)问题：（1）找出甲、乙两家公司的占优策略（若存在）；（5分）（2）求出该博弈的纳什均衡；（5分）（3）若双方合作选择“不降价”，相较于纳什均衡，总收益增加多少？（5分）五、案例分析题（25分）背景：某班级计划组织秋游，现有A、B两个目的地备选：A地风景优美但交通成本高，B地交通便利但风景一般。全班50名学生需投票选择，规则如下：每位学生私下提交A或B的选择，不允许交流；若选择A的人数超过30人，则最终去A地，否则去B地；选择A地时，每位学生需承担交通成本50元；选择B地时，交通成本为20元。问题：（1）将该情境转化为一个两人博弈模型（假设全班分为两组，每组代表一个“虚拟参与者”，策略为“选A”或“选B”，支付为每组的平均净收益），写出支付矩阵；（10分）（2）分析该博弈是否存在占优策略均衡或纳什均衡；（10分）（3）若允许学生提前沟通协商，结果可能如何变化？（5分）六、应用题（30分）背景：在一个寡头垄断市场中，两家企业（企业1和企业2）生产相同产品，面临产量竞争。市场需求函数为(P=100-Q)（(Q=q_1+q_2)，(q_1)、(q_2)分别为两家企业的产量），生产成本为零。问题：（1）若两家企业同时决定产量（古诺模型），求纳什均衡时的产量(q_1^*)、(q_2^*)和利润(\pi_1^*)、(\pi_2^*)；（15分）（2）若企业1先决定产量，企业2后决定产量（斯塔克尔伯格模型），求均衡时的产量和利润，并比较与（1）的结果差异；（10分）（3）解释为什么动态博弈中先行动者可能获得优势。（5分）七、开放探究题（25分）主题：博弈论在环境保护中的应用背景：假设有两个相邻的工厂，均需处理生产废水。若两家工厂都投资建设污水处理设备，每家成本为30万元，环境收益（减少罚款、提升声誉等）为50万元；若只有一家投资，投资方成本30万元、收益50万元，未投资方收益0万元（因污染被罚款抵消）；若两家都不投资，每家因罚款损失20万元。任务：（1）构建支付矩阵，分析该博弈的纳什均衡；（10分）（2）若政府对未投资企业罚款增加到40万元，均衡结果是否改变？说明理由；（5分）（3）结合“囚徒困境”的启示，提出一种促进企业合作治污的机制。（10分）八、附加题（10分，不计入总分）“猎鹿博弈”：两个猎人可选择“猎鹿”（需合作，成功则每人获得10单位收益）或“猎兔”（单独行动，每人获得3单位收益）。若一人猎鹿、一人猎兔，则猎鹿者收益0，猎兔者收益3。（1）写出该博弈的支付矩阵；（4分）（2）分析该博弈的纳什均衡，并说明其与“囚徒困境”的本质区别。（6分）注意事项：所有题目需写出必要的计算过程或推理步骤；案例分析题可结合生活实际补充合理假设；卷面整洁，字迹清晰，逻辑严谨。试卷设计说明：知识覆盖：涵盖博弈论基本概念（占优策略、纳什均衡）、经典模型（囚徒困境、性别战、古诺模型）、分析工具（支付矩阵、博弈树）及实际应用（环境保护、市场竞争），符合高中数学与博弈论