高三数学-平面向量多选题专项训练测试试题附解析

高三数学平面向量多选题专项训练测试试题附解析一、平面向量多选题1．题目文件丢失！2．已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.【详解】解：因为，，所以B是的中点，P是的解析：BCD【分析】本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.【详解】解：因为，，所以B是的中点，P是的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；因为，故选项B正确；因为，所以，，故选项D正确.故选：BCD【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.3．已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（）A． B． C． D．答案：AD【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.【详解】设，则，当点P靠近点时，，则，解得，所以，当点P靠近点时，，则，解得，所以，故选：解析：AD【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.【详解】设，则，当点P靠近点时，，则，解得，所以，当点P靠近点时，，则，解得，所以，故选：AD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．中，，，则下列叙述正确的是（）A．的外接圆的直径为4.B．若，则满足条件的有且只有1个C．若满足条件的有且只有1个，则D．若满足条件的有两个，则答案：ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图解析：ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数．易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；当时，三角形是等腰三角形，也是唯一解；当，即，时，满足条件的三角形有两个．故，正确，错误．故选：．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．5．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解答案：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.6．在中，角，，所对各边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．答案：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.7．下列各式中，结果为零向量的是（）A． B．C． D．答案：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.8．在中，，，，则=（）A． B． C． D．答案：AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角.因此，.故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角.因此，.故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.9．下列命题中，正确的是（）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形答案：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.10．（多选题）下列命题中，正确的是（）A．对于任意向量，有；B．若，则；C．对于任意向量，有D．若共线，则答案：ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当时，，故选项B错误；因为，故选项C正确；当共线同向时，，当共线反解析：ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当时，，故选项B错误；因为，故选项C正确；当共线同向时，，当共线反向时，，所以选项D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.11．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若，则存在实数使得B．若，则C．若，则在方向上的投影向量为D．若存在实数使得，则答案：AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；若，则、方向相同，在方向上的投影向量为，C选项错误；若，则以、为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，B选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12．已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．答案：CD【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B错误，D正确；由，所以，故A错误；由，所以，故C正确.故选：CD【点睛】解析：CD【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B错误，D正确；由，所以，故A错误；由，所以，故C正确.故选：CD【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.13．对于，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若，，，则符合条件的有两个D．若，则是钝角三角形答案：BD【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．【详解】在中，对于A，若，则或，当A＝解析：BD【分析】对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．【详解】在中，对于A，若，则或，当A＝B时，△ABC为等腰三角形；当时，△ABC为直角三角形，故A不正确，对于B，若，则，由正弦定理得，即成立．故B正确；对于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C错误；对于D，若，由正弦定理得，∴，∴C为钝角，∴是钝角三角形，故D正确；综上，正确的判断为选项B和D．故选：BD．【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．14．下列说法中错误的是()A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上B．零向量与零向量共线C．若，则D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量答案：AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；零向量与任一向量共线，故B解析：AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；零向量与任一向量共线，故B正确；若，则，故C正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误.故选：AD【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在中，内角的对边分别是，若，则一定是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：A【分析】利用余弦定理化角为边，得出是等腰三角形．【详解】中，c，由余弦定理得，，∴，∴是等腰三角形．【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则等于（）A． B． C． D．解析：B【分析】利用正弦定理可得，结合和余弦定理，即可得答案；【详解】，，，又，，故选：B.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值.18．在中，，，，为的外心，若，、，则（）A． B． C． D．解析：C【分析】作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值.【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，则且，，同理可得，，由，可得，即，解得，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．在梯形中，，，，，则（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：根据向量加法、减法法则将转化为即可求解.详解：由题可得：=,故选A.点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息是解题关键.20．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A． B．C． D．解析：D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，又.故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．21．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为()A． B． C． D．解析：D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】∵非零向量，满足，∴平方得，即，则，由，平方得得，即则，则向量与的夹角的余弦值，，故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．22．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A． B． C．2 D．3解析：D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！23．在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，则等于（）A． B． C． D．解析：D【分析】由，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：，化为，与．解出即可．【详解】解：，，，所以，因为．解得或．因为，所以舍去．．故选：．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则（）A． B．C． D．解析：D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，，即为斜边的中点，又为中点，，为中点，．故选：．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．25．在中，若，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．解析：C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得，由余弦函数性质判断B，然后结合二倍角公式判断CD．【详解】设三边所对的角分别为，由，则∴，正确；由余弦函数性质知，B正确；，，当为钝角时就有，C错误，；，，∴，D正确．故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．26．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则A． B．C． D．解析：A【解析】∵，∴．设中点为，中点为，则,∵为的中位线，且，∴，即．选A．27．已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是()A． B． C． D．解析：C【分析】取夹角为，计算排除，得到答案.【详解】取夹角为，则，，排除，易知.故选：.【点睛