2025年下学期高中数学与特效制作数学技术试卷

2025年下学期高中数学与特效制作数学技术试卷一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）在三维建模中，若要计算两个向量a=(2,-1,3)与b=(4,2,-1)的数量积，其结果为（）A.3B.5C.7D.9某特效场景中，粒子系统沿参数方程r(t)=(t²,sint,e^(-t))运动，当t=0时的速度向量为（）A.(0,0,0)B.(0,1,-1)C.(0,1,1)D.(2,1,-1)在贝塞尔曲线中，三阶贝塞尔曲线的控制点数量为（）A.2个B.3个C.4个D.5个若要将二维图像中的点(x,y)绕原点顺时针旋转θ角，其变换矩阵为（）A.(\begin{bmatrix}\cosθ&\sinθ\-\sinθ&\cosθ\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}\cosθ&-\sinθ\\sinθ&\cosθ\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}\sinθ&\cosθ\-\cosθ&\sinθ\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}\sinθ&-\cosθ\\cosθ&\sinθ\end{bmatrix})某物理引擎中，物体在力场F(x,y)=(x²,2xy)作用下沿曲线y=x²从(0,0)移动到(1,1)，力所做的功为（）A.0.4B.0.6C.0.8D.1.0在傅里叶变换中，将周期为T的方波信号分解为正弦波叠加时，其基频为（）A.TB.1/TC.2πTD.2π/T三维空间中，平面2x-y+3z=6与直线(\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{2})的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直线在平面上某渲染器使用蒙特卡洛方法计算光照积分，若样本数量从100增加到400，误差估计值将变为原来的（）A.1/4B.1/2C.2倍D.4倍在骨骼动画中，若某关节绕x轴旋转30°，再绕y轴旋转45°，其复合旋转矩阵可表示为（）A.R_y(45°)R_x(30°)B.R_x(30°)R_y(45°)C.R_x(45°)R_y(30°)D.R_y(30°)R_x(45°)分形几何中，科赫雪花的分形维数为（）A.log₂3B.log₃2C.log₄3D.log₃4二、填空题（共5题，每题6分，共30分）若三维空间中平面π₁:ax+by+cz=d与平面π₂:2x-4y+z=5平行，则a:b:c=______。某粒子系统的密度函数为ρ(x,y,z)=xyz，在区域0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1内的总质量为______。在数字图像处理中，使用拉普拉斯算子(\nabla²f=\frac{\partial²f}{\partialx²}+\frac{\partial²f}{\partialy²})对图像f(x,y)=e^(x²+y²)进行边缘检测，其结果为______。若某贝塞尔曲线的控制点为P₀(0,0)、P₁(1,2)、P₂(3,1)、P₃(4,0)，则当参数t=0.5时的曲线上点坐标为______。在流体模拟中，连续性方程(\frac{\partialρ}{\partialt}+\nabla·(ρ\mathbf{v})=0)中，(\nabla·(ρ\mathbf{v}))的物理意义是______。三、解答题（共3题，共70分）（20分）在三维建模中，常使用矩阵变换实现物体的缩放、旋转和平移。（1）已知某模型的顶点坐标为A(1,2,3)，先沿x轴缩放2倍，再绕y轴旋转90°，最后沿z轴平移4个单位，求变换后的坐标。（2）若要将变换后的模型还原为原始状态，需设计一个逆变换矩阵，写出该矩阵的表达式（使用齐次坐标）。（25分）在影视特效中，火焰效果常通过粒子系统模拟，其运动轨迹满足微分方程。（1）已知某粒子的竖直运动速度v(t)满足方程(\frac{dv}{dt}=-g-kv²)（其中g=9.8m/s²，k=0.1kg/m），若初速度v₀=20m/s，求t=1s时的速度（结果保留两位小数）。（2）若粒子质量m=0.5kg，求从t=0到t=1s内空气阻力所做的功。（25分）在虚拟现实场景中，视锥体裁剪是剔除不可见物体的关键技术。（1）已知某相机的视场角为60°，近裁剪面距离为1m，远裁剪面距离为100m，求视锥体在近裁剪面处的宽度（设相机为透视投影，宽高比为1:1）。（2）若某物体的顶点坐标为B(3,4,5)，判断该点是否在视锥体内（需写出判断过程）。四、综合应用题（共30分）（30分）某游戏公司计划开发一款“魔法特效”系统，需通过数学建模实现以下功能：（1）设计一个参数化曲线，使其在t∈[0,1]内形成一个闭合的星形图案，并写出曲线的参数方程。（2）为增强真实感，需计算曲线在t=0.2处的曲率，并分析该点的弯曲程度对粒子发射方向的影响。（3）若粒子沿曲线运动时，其速度大小与曲率成正比（比例系数k=5），求粒子从t=0到t=1的运动总路程。参考答案及评分标准（注：实际试卷中不包含此部分，此处仅为说明内容完整性）一、单项选择题B2.B3.C4.A5.C6.B7.C8.B9.A10.A二、填空题2:-4:1（或1:-2:0.5）12.0.0625（或1/16）13.4(x²+y²+1)e^(x²+y²)(2.25,1.25)15.单位体积内流体质量的变化率三、解答题（1）变换后坐标为(6,2,7)；（2）逆变换矩阵为(\begin{bmatrix}0.5&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&-4\0&0&0&1\end{bmatrix})（旋转逆矩阵为(\begin{bmatrix}0&0&1\0&1&0\-1&0&0\end{bmatrix})）。（1）v(1)≈12.35m/s；（2）阻力做功W≈-142.75J。（1）近裁剪面宽度≈1.1547m；（2）点B在视锥体内（判断过程略）。四、综合应用题（1）星形线参数方程可设为(x=5\cos^3t),(y=5\s