2025年下学期高中数学预测卷八试卷

2025年下学期高中数学预测卷八试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，B={x|log₂(x-1)≤1}，则A∩B=（）A.[1,2]B.(1,2]C.[2,3]D.(1,3]复数z满足z·(1+i)=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，则实数m=（）A.-1B.1C.-3D.3函数f(x)=ln(x²-2x-3)的单调递增区间是（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.8πcm³B.12πcm³C.16πcm³D.24πcm³已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则tan(α+π/4)=（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S=（）A.10B.15C.20D.25已知直线l：mx-y+1=0与圆C：x²+y²-2x-3=0相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A.√3B.2√3C.2D.4从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取3个数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式是（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)已知双曲线C：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，右焦点为F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，若△OFP的面积为√2（O为原点），则双曲线C的方程为（）A.x²/2-y²/4=1B.x²/4-y²/2=1C.x²/3-y²/6=1D.x²/6-y²/3=1已知函数f(x)=x³-3x²+ax+b在x=-1处取得极值，且f(x)的图像与直线y=2x+1相切，则a+b=（）A.-1B.1C.-3D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若x,y满足约束条件{x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2}，则z=x+2y的最大值为.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S3=7，则公比q=.抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=5，则点P的坐标为.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2，b=3，c=√7，则△ABC的面积为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知数列{an}是等差数列，a1=1，且a2,a4,a8成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1/(an·an+1)，求数列{bn}的前n项和Sn.（本小题满分12分）某学校为了解学生的体质健康状况，从高一、高二两个年级中各随机抽取20名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：高一：7273767778808183848586878889909192939495高二：6870727475767880818283848586878890919395（1）根据两组数据完成下面的茎叶图，并通过茎叶图比较两个年级学生体质健康状况的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）从高二年级测试成绩不低于85分的学生中随机抽取2人，求这2人成绩均在90分以上的概率.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC，D为AB的中点.（1）求证：BC1//平面A1CD；（2）若AC=BC=AA1=2，AB=2√2，求二面角A1-CD-A的余弦值.（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，右焦点为F(√3,0).（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，点M(4,0)，设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值.（本小题满分12分）某公司计划投资一个新项目，根据市场调研，预计该项目产品的年销售量x（万件）与年销售价格p（元/件）之间的关系为p=120-2x，且每年固定成本为200万元，每件产品的变动成本为20元.（1）求该项目的年利润y（万元）关于年销售量x（万件）的函数关系式；（2）当年销售量为多少万件时，该项目的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若该公司希望年利润不低于400万元，求年销售量x的取值范围.（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax²+(2-a)x(a∈R).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；（3）当a=1时，求证：对任意的x>0，f(x)+x²-2x<e^x-1恒成立.参考答案及评分标准一、选择题B2.B3.C4.D5.A6.A7.B8.B9.C10.A11.A12.C二、填空题714.215.(4,±4)16.(3√3)/2三、解答题（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得a4²=a2·a8，即(1+3d)²=(1+d)(1+7d)，解得d=1，所以an=n.（2）bn=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，Sn=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1).（1）茎叶图略.高一年级学生体质健康状况的平均值高于高二年级，且分散程度小于高二年级.（2）高二年级测试成绩不低于85分的学生有7人，其中成绩在90分以上的有3人，所求概率为C(3,2)/C(7,2)=3/21=1/7.（1）连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O为AC1的中点，又D为AB的中点，所以OD//BC1，又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1CD.（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，求得平面A1CD的法向量为n=(1,1,1)，平面ACD的法向量为m=(0,0,1)，所以二面角A1-CD-A的余弦值为|m·n|/(|m|·|n|)=1/√3=√3/3.（1）由题意得c=√3，e=c/a=√3/2，所以a=2，b²=a²-c²=1，椭圆C的标准方程为x²/4+y²=1.（2）当直线l斜率不存在时，l:x=√3，求得k1+k2=0；当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-√3)，联立椭圆方程，利用韦达定理可证k1+k2=0，综上，k1+k2为定值0.（1）y=(120-2x)x-20x-200=-2x²+100x-200(x>0).（2）y=-2(x-25)²+1050，当x=25时，年利润最大，最大年利润为1050万元.（3）由-2x²+100x-200≥400，解得10≤x≤40，所以年销售量x的取值范围是[10,40].（1）f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=-(2x+1)(ax-1)/x(x>0).当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0,1/a)上单调递增，在(1/a,+∞)上单调递减.（2）由（1）知，当a≤0时，f(x)至多有一个零点；当a>0时，f(x)的最大值为f(1/a)=ln(1/a)-1+(2-a)/a=-lna+1-1/a.要使f(x)有两个零点，需-lna+1-1/a>0，令g(a)=-lna+1-1/a(a>0)，则g'(a)=-1/a+1/a²=(1-a)/a²，所以g(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，g(a)≤g(1)=0，所以当且仅当a=1时，f(x)有两个零点.（3）当a=1时，f(x)=lnx-x²+x，要证lnx-x²+x+x²-2x<e^x-1，即证lnx-x<e^x-1，令h(x)=e^x-lnx-x-1(x>0)，h'(x)=e^x-1/x-1，h''(x)=e^x+1/x²>0，所以h'(x)在(0,+∞)上单调递增，又h'(1)=e-2>0，h'(1/2)=√e-3<0，所以存在x0∈(1/2,1)，使得h'(x0)=0，所以h(x)在(0