2025年下学期高中体验学习数学试卷

2025年下学期高中体验学习数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))解析：解不等式(x^2-3x+2<0)，得((x-1)(x-2)<0)，即(1<x<2)，故(A=(1,2))。解不等式(2^x>4=2^2)，得(x>2)，故(B=(2,+\infty))。因此(A\capB=\varnothing)，但选项中无此答案，推测题目可能存在印刷错误。若将(B)改为(2^x>2)，则(B=(1,+\infty))，此时(A\capB=(1,2))，选A。（注：此处按原题选项逻辑，可能命题意图为A选项，实际严谨性需修正）2.函数(f(x)=\ln(x^2-4x+5)+\sqrt{3-2x})的定义域为（）A.((-\infty,\frac{3}{2}])B.((-\infty,1)\cup(5,+\infty))C.((-\infty,1]\cup[5,+\infty))D.([\frac{3}{2},+\infty))解析：要使函数有意义，需满足：(x^2-4x+5>0)，判别式(\Delta=16-20=-4<0)，故恒成立；(3-2x\geq0)，解得(x\leq\frac{3}{2})。综上，定义域为((-\infty,\frac{3}{2}])，选A。3.已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec{b})，则(m=)（）A.4B.-4C.±4D.2解析：向量平行的充要条件为(2\times8-m\timesm=0)，即(m^2=16)，解得(m=\pm4)，选C。4.函数(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))的最小正周期和一条对称轴方程分别为（）A.(\pi)，(x=\frac{\pi}{6})B.(\pi)，(x=\frac{5\pi}{12})C.(2\pi)，(x=\frac{\pi}{3})D.(2\pi)，(x=\frac{\pi}{12})解析：最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)。对称轴方程满足(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi)，即(x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2})，当(k=0)时，(x=\frac{5\pi}{12})，选B。5.已知等比数列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，则数列({a_n})的前5项和(S_5=)（）A.30B.62C.126D.254解析：设公比为(q)，则(a_4=a_1q^3=2q^3=16)，解得(q^3=8)，(q=2)。(S_5=\frac{a_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{2(32-1)}{1}=62)，选B。6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（注：此处假设三视图为一个棱长为2的正方体挖去一个半径为1的半球）A.(8-\frac{2\pi}{3})B.(8-\pi)C.(16-\frac{4\pi}{3})D.(16-2\pi)解析：正方体体积为(2^3=8)，半球体积为(\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pir^3=\frac{2}{3}\pi\times1^3=\frac{2\pi}{3})，故几何体体积为(8-\frac{2\pi}{3})，选A。7.已知直线(l:ax+y-2=0)与圆(C:(x-1)^2+(y-a)^2=4)相切，则(a=)（）A.0B.(\frac{3}{4})C.0或(\frac{3}{4})D.0或(\frac{4}{3})解析：圆心((1,a))到直线(l)的距离(d=\frac{|a\times1+a-2|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{|2a-2|}{\sqrt{a^2+1}})，由相切条件(d=2)，得(\frac{|2a-2|}{\sqrt{a^2+1}}=2)，平方后化简：((a-1)^2=a^2+1)，即(a^2-2a+1=a^2+1)，解得(a=0)，选A。8.已知(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=)（）A.(-\frac{4}{3})B.(\frac{4}{3})C.(-\frac{3}{4})D.(\frac{3}{4})解析：原式分子(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha)，分母(\cos2\alpha)，故原式(=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\tan2\alpha)。由(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{4}{1-4}=-\frac{4}{3})，选A。9.已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2)，则函数(f(x))的极大值点为（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)解析：求导得(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0)，得(x=0)或(x=2)。当(x<0)时，(f'(x)>0)；(0<x<2)时，(f'(x)<0)，故(x=0)为极大值点，选A。10.从5名男生和4名女生中选出3人参加数学竞赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）A.80种B.100种C.120种D.140种解析：总选法(C_9^3=84)，无女生的选法(C_5^3=10)，故至少1名女生的选法为(84-10=74)种，选项中无此答案，推测题目应为“5名男生和5名女生”，此时总选法(C_{10}^3=120)，无女生选法(C_5^3=10)，结果为110种，仍无匹配选项。可能原题为“4名男生和5名女生”，总选法(C_9^3=84)，无女生选法(C_4^3=4)，结果80种，选A。（注：题目数据可能存在误差，按选项逻辑优先选A）11.已知椭圆(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))，则椭圆方程为（）A.(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)B.(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1)C.(\frac{x^2}{4}+y^2=1)D.(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1)解析：离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，则(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2)，即(a^2=4b^2)。将点((2,1))代入椭圆方程：(\frac{4}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{2}{b^2}=1)，解得(b^2=2)，(a^2=8)，选A。12.已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，则(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2解析：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f(\frac{1}{2})=\log_2\frac{1}{2}=-1)，选A。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若((x+\frac{1}{x})^n)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中(x^2)的系数为________。解析：二项式系数(C_n^2=C_n^6)（第3项对应(k=2)，第7项对应(k=6)），故(n=2+6=8)。通项公式(T_{k+1}=C_8^kx^{8-k}(\frac{1}{x})^k=C_8^kx^{8-2k})，令(8-2k=2)，得(k=3)，系数为(C_8^3=56)。答案：5614.已知等差数列({a_n})中，(a_3+a_5=14)，(a_2=3)，则(a_7=)________。解析：设公差为(d)，则(a_3=a_2+d=3+d)，(a_5=a_2+3d=3+3d)，由(a_3+a_5=6+4d=14)，解得(d=2)，(a_7=a_2+5d=3+10=13)。答案：1315.已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)处取得极值，且(f(-1)=0)，则(a-b+c=)________。解析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由极值条件(f'(-1)=3-2a+b=0)，且(f(-1)=-1+a-b+c=0)。将(b=2a-3)代入(f(-1))：(-1+a-(2a-3)+c=-1+a-2a+3+c=-a+c+2=0)，即(c=a-2)。则(a-b+c=a-(2a-3)+(a-2)=a-2a+3+a-2=1)。答案：116.已知点(P)是抛物线(y^2=4x)上的动点，(F)是抛物线的焦点，点(A(3,2))，则(|PA|+|PF|)的最小值为________。解析：抛物线准线为(x=-1)，由定义(|PF|=d)（(d)为(P)到准线的距离），故(|PA|+|PF|=|PA|+d)。当(P)、(A)、(M)（(M)为(A)在准线上的射影）三点共线时，(|PA|+d)最小，此时(M(-1,2))（注：此处(A)的纵坐标为2，抛物线(y^2=4x)上点的纵坐标可为2，代入得(x=1)，即(P(1,2))），最小值为(3-(-1)=4)（或(|AM|=3-(-1)=4)）。答案：4三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且(\cosA=\frac{3}{5})，(a=4)，(b=5)。（1）求(\sinB)的值；（2）求(\triangleABC)的面积。解析：（1）由(\cosA=\frac{3}{5})，得(\sinA=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5})。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB})，得(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{5\times\frac{4}{5}}{4}=1)。（2）由(\sinB=1)，得(B=\frac{\pi}{2})，故(c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{25-16}=3)，面积(S=\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}\times4\times3=6)。答案：（1）1；（2）618.（本小题满分12分）某学校为了解学生数学学习情况，随机抽取100名学生进行数学成绩调查，得到如下频率分布表：成绩分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数515303515（1）求这100名学生数学成绩的平均数（同一组数据用该组区间中点值作代表）；（2）若从成绩在[80,90)和[90,100]的学生中任选2人，求至少有1人成绩在[90,100]的概率。解析：（1）平均数(\bar{x}=55\times0.05+65\times0.15+75\times0.3+85\times0.35+95\times0.15)(=2.75+9.75+22.5+29.75+14.25=79)。（2）[80,90)有35人，[90,100]有15人，共50人，任选2人总情况数(C_{50}^2)，至少1人在[90,100]的对立事件为2人都在[80,90)，概率(P=1-\frac{C_{35}^2}{C_{50}^2}=1-\frac{35\times34}{50\times49}=1-\frac{119}{245}=\frac{126}{245}=\frac{18}{35})。答案：（1）79；（2）(\frac{18}{35})19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。解析：（1）连接(A_1C)交(AC_1)于(O)，则(O)为(A_1C)中点，又(D)为(BC)中点，故(OD\parallelA_1B)，由线面平行判定定理得证。（2）以(A)为原点，(AB,AC,AA_1)为坐标轴建系，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，(C(0,2,0))。(\vec{DC_1}=(-1,1,2))，(\vec{DC}=(-1,1,0))，设平面(ADC_1)法向量(\vec{n}=(x,y,z))，由(\vec{n}\cdot\vec{AD}=x+y=0)，(\vec{n}\cdot\vec{DC_1}=-x+y+2z=0)，取(\vec{n}=(1,-1,1))；平面(DC_1C)法向量(\vec{m}=(1,-1,0))，二面角余弦值(|\cos\theta|=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{2}{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3})，由图形知为锐角，故余弦值为(\frac{\sqrt{6}}{3})。答案：（1）见解析；（2）(\frac{\sqrt{6}}{3})20.（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a>0)）。（1）求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在((1,+\infty))上有且只有一个零点，求(a)的取值范围。解析：（1）(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))，令(g(x)=\lnx-2a(x-1))，(g'(x)=\frac{1}{x}-2a)。当(x\in(0,\frac{1}{2a}))时，(g'(x)>0)；当(x\in(\frac{1}{2a},+\infty))时，(g'(x)<0)。若(\frac{1}{2a}\leq1)即(a\geq\frac{1}{2})，则(g(x)\leqg(1)=0)，(f(x))在((0,+\infty))单调递减；若(\frac{1}{2a}>1)即(0<a<\frac{1}{2})，则(f(x))在((0,\frac{1}{2a}))递增，在((\frac{1}{2a},+\infty))递减。（2）由（1）知，当(a\geq\frac{1}{2})时，(f(x))在((1,+\infty))递减，(f(1)=0-a+2a-1=a-1)，若(a=1)，则(f(1)=0)，且(f(x))递减，故只有一个零点(x=1)；当(0<a<\frac{1}{2})时，(f(x))在((1,\frac{1}{2a}))递增，在((\frac{1}{2a},+\infty))递减，(f(\frac{1}{2a}))为极大值，需(f(\frac{1}{2a})<0)，解得(a<\frac{1}{2e})，综上(a=1)或(0<a<\frac{1}{2e})。答案：（1）当(a\geq\frac{1}{2})时，单调递减区间为((0,+\infty))；当(0<a<\frac{1}{2})时，递增区间((0,\frac{1}{2a}))，递减区间((\frac{1}{2a},+\infty))；（2）((0,\frac{1}{2e})\cup{1})21.（本小题满分12分）已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(\sqrt{3})，且过点((2,\sqrt{6}))。（1）求双曲线(C)的方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与双曲线(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求证：点(O)到直线(l)的距离为定值。解析：（1）(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，(c=\sqrt{3}a)，(b^2=c^2-a^2=2a^2)，代入点((2,\sqrt{6}))：(\frac{4}{a^2}-\frac{6}{2a^2}=\frac{4}{a^2}-\frac{3}{a^2}=\frac{1}{a^2}=1)，得(a^2=1)，(b^2=2)，方程为(x^2-\frac{y^2}{2}=1)。（2）联立(\begin{cases}y=kx+m\2x^2-y^2=2\end{cases})，得((2-k^2)x^2-2kmx