2025年下学期高中数学AP课程试卷

2025年下学期高中数学AP课程试卷第一部分：选择题（共45题，105分钟）A部分（30题，不允许使用计算器，60分钟）极限与连续性计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}$的值为（）A.0B.1C.3D.不存在导数的定义设$f(x)=x^2-2x$，则$f'(2)$的值为（）A.2B.4C.6D.8复合函数求导函数$f(x)=\sin(x^3+1)$的导数为（）A.$\cos(x^3+1)$B.$3x^2\cos(x^3+1)$C.$3x^2\sin(x^3+1)$D.$-3x^2\cos(x^3+1)$隐函数求导曲线$x^2+y^2=25$在点$(3,4)$处的切线斜率为（）A.$-\frac{3}{4}$B.$\frac{3}{4}$C.$-\frac{4}{3}$D.$\frac{4}{3}$导数的应用函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极大值点为（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$积分的基本公式$\int(2x^3+\cosx),dx=$（）A.$\frac{1}{2}x^4+\sinx+C$B.$2x^4-\sinx+C$C.$\frac{1}{2}x^4-\cosx+C$D.$2x^4+\cosx+C$定积分的几何意义$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2},dx$的值为（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$分部积分法$\intxe^x,dx=$（）A.$xe^x-e^x+C$B.$xe^x+e^x+C$C.$-xe^x+e^x+C$D.$-xe^x-e^x+C$反常积分的敛散性反常积分$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^3},dx$（）A.收敛于$\frac{1}{2}$B.收敛于$1$C.发散D.收敛于$2$参数方程求导设参数方程为$x=t^2$，$y=t^3$，则$\frac{dy}{dx}=$（）A.$\frac{3}{2}t$B.$\frac{2}{3}t$C.$3t^2$D.$2t$极坐标方程的面积曲线$r=2\cos\theta$所围成的图形面积为（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$4\pi$无穷级数的收敛性级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断泰勒级数展开$e^x$在$x=0$处的泰勒级数前三项为（）A.$1+x+\frac{x^2}{2}$B.$1+x+x^2$C.$1-x+\frac{x^2}{2}$D.$1-x+x^2$微分方程的通解微分方程$\frac{dy}{dx}=2xy$的通解为（）A.$y=Ce^{x^2}$B.$y=Ce^{2x}$C.$y=Cx^2$D.$y=C\sinx$拉格朗日中值定理函数$f(x)=x^2$在区间$[1,3]$上满足拉格朗日中值定理的$\xi=$（）A.1B.2C.3D.4函数的凹凸性函数$f(x)=x^3-3x$的拐点为（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.$(2,2)$洛必达法则$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=$（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2定积分的物理应用物体沿直线运动，速度$v(t)=t^2-2t$（单位：m/s），则$t=0$到$t=3$内的位移为（）A.$-3$mB.$0$mC.$3$mD.$9$m幂级数的收敛半径级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n\cdot2^n}$的收敛半径为（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.4向量函数的导数向量函数$\mathbf{r}(t)=(t^2,\sint,e^t)$的导数$\mathbf{r}'(t)=$（）A.$(2t,\cost,e^t)$B.$(t^3,-\cost,e^t)$C.$(2t,-\cost,e^t)$D.$(t^3,\cost,e^t)$微分方程的特解微分方程$y''+y=0$满足$y(0)=1$，$y'(0)=0$的特解为（）A.$y=\sinx$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=e^{-x}$函数的连续性函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1\ax+b,&x>1\end{cases}$在$x=1$处连续，则$a,b$满足（）A.$a=2,b=-1$B.$a=1,b=0$C.$a=-1,b=2$D.$a=0,b=1$导数的物理意义一物体的运动方程为$s(t)=t^3-3t^2$，则$t=2$时的加速度为（）A.0m/s²B.6m/s²C.12m/s²D.18m/s²反常积分的计算$\int_{0}^{\infty}e^{-2x},dx=$（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.2D.发散泰勒级数的应用$\sinx$在$x=0$处的泰勒级数展开式为（）A.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$B.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$C.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$D.$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$极坐标下的切线方程曲线$r=1+\cos\theta$在$\theta=\frac{\pi}{2}$处的切线斜率为（）A.$-1$B.0C.1D.2二重积分的计算$\iint_{D}xy,dA$，其中$D:0\leqx\leq1$，$0\leqy\leq1$，则积分值为（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.2无穷级数的和$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=$（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.发散曲线的弧长曲线$y=\frac{2}{3}x^{3/2}$从$x=0$到$x=3$的弧长为（）A.2B.4C.6D.8微分方程的类型方程$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\sin\left(\frac{y}{x}\right)$是（）A.可分离变量方程B.齐次方程C.线性方程D.伯努利方程B部分（15题，允许使用计算器，45分钟）函数的极限$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=$（）A.$e$B.$e^2$C.$e^3$D.$e^4$导数的应用函数$f(x)=x^4-4x^3+4x^2$在区间$[0,3]$上的最小值为（）A.$-4$B.$0$C.$4$D.$16$积分的近似计算用梯形法则近似计算$\int_{0}^{2}x^2,dx$，取$n=2$，则近似值为（）A.2B.3C.4D.5定积分的物理应用一物体在力$F(x)=3x+1$（单位：N）的作用下沿$x$轴从$x=0$移动到$x=2$（单位：m），则力所做的功为（）A.8JB.10JC.12JD.14J微分方程的数值解法用欧拉方法求解微分方程$\frac{dy}{dx}=y$，$y(0)=1$，步长$h=0.1$，则$y(0.2)\approx$（）A.1.21B.1.22C.1.23D.1.24函数的最值函数$f(x)=xe^{-x}$在区间$[0,5]$上的最大值为（）A.$e^{-1}$B.$2e^{-2}$C.$3e^{-3}$D.$5e^{-5}$反常积分的计算$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}},dx=$（）A.1B.2C.3D.发散幂级数的收敛区间级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛区间为（）A.$(-1,1)$B.$[-1,1)$C.$(-1,1]$D.$[-1,1]$向量的数量积向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，$\mathbf{b}=(4,5,6)$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=$（）A.32B.34C.36D.38参数方程的面积参数方程$x=t^2$，$y=t^3$，$t\in[-1,1]$所围成的图形面积为（）A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{6}{5}$C.$\frac{8}{5}$D.$\frac{12}{5}$二重积分的换元法$\iint_{D}(x+y),dA$，其中$D$由$x+y=1$，$x=0$，$y=0$围成，则积分值为（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$无穷级数的敛散性级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断曲线的曲率曲线$y=x^2$在点$(1,1)$处的曲率为（）A.$\frac{2}{(1+4)^{3/2}}$B.$\frac{2}{(1+4)^{1/2}}$C.$\frac{1}{(1+4)^{3/2}}$D.$\frac{1}{(1+4)^{1/2}}$微分方程的通解方程$\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}$的通解为（）A.$y=e^{-x}+Ce^{-2x}$B.$y=e^{-x}+Ce^{2x}$C.$y=-e^{-x}+Ce^{-2x}$D.$y=-e^{-x}+Ce^{2x}$傅里叶级数的系数$f(x)=x$在$[-\pi,\pi]$上的傅里叶级数中，$a_0=$（）A.$-\pi$B.0C.$\pi$D.$2\pi$第二部分：解答题（共6题，90分钟）A部分（2题，允许使用计算器，30分钟）导数与积分的综合应用已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$。（1）求$f(x)$的单调区间和极值；（2）求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；（3）计算$\int_{0}^{2}f(x),dx$，并解释其几何意义。微分方程的应用某物体在冷却过程中，温度$T(t)$满足微分方程$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)$，其中$k>0$为常数，$T_0$为环境温度。已知初始温度$T(0)=100^\circC$，环境温度$T_0=20^\circC$，且$t=10$分钟时温度为$60^\circC$。（1）求$T(t)$的表达式；（2）求温度降至$30^\circC$所需的时间。B部分（4题，不允许使用计算器，60分钟）级数的收敛性与和函数已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$。（1）求该级数的收敛半径和收敛区间；（2）求其和函数$S(x)$；（3）计算$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$的值。参数方程与极坐标已知参数方程$x=t-\sint$，$y=1-\cost$，$t\in[0,2\pi]$。（1）求该曲线在$t=\frac{\pi}{2}$处的切线方程；（2）求该曲线所围成的图形面积；（3）求该曲线的长