信号与线性系统(第3章)

1、第3章线性时不变（LTI)连续系统的时域分析本章内容：3.1线性时不变连续系统的固有响应与强迫响应3.2零输入响应与零状态响应3.3卷积积分和冲激响应既具有线性特性又具有时不变特性的系统称为线性时不变系统，简称LTI系统。 系统分析的步骤：1、建立系统的数学模型2、利用数学工具解方程3、对所得的解赋予物理解释3.1 线性时不变连续系统的固有响应与强迫响应第3章 LTI连续时间系统的时域分析一、一、 LTI连续时间系统的数学描述连续时间系统的数学描述 单输入-单输出系统的激励为 ，响应为 ，则描述LTI连续时间系统的激励与响应之间关系的数学模型为n阶常系数线性微分方程，即：式中 和 均为常数，第

2、3章 LTI连续时间系统的时域分析 x t y t( )(1)()(1)1010( )( )( )( )( )( )nnmmnmmytayta y tb xtbxtb x t,0,1,ia in,0,1,jbjm1na 二、二、n n阶常系数微分方程的求解法阶常系数微分方程的求解法经典时域分析方法 所谓经典时域分析方法就是指借助高等数学中的经典结论，直接对微分方程求解其齐次解和特解的过程。第3章 LTI连续时间系统的时域分析则微分方程的完全解可表示为hp( )( )( )y ty ty t其中h( )y t为方程的齐次解， 为方程的特解。p( )y t1、齐次解的求法齐次解满足齐次方程 001

3、111tyatyatyatynnn 齐次解形式如下：h1( )(intiiytc e单实根时）式中ic将在求得全解后，由系统初始条件确定， i 取决于特征方程 11100nnnaaa12,n L表3.2-1列出了特征根取不同值时所对应的齐次解，其中的根 。 第3章 LTI连续时间系统的时域分析表3.1-1 不同特征根所对应的齐次解形式（教材P50) 特征根 齐次解 单实根 r重实根 一对共轭复根 R重共轭复根 ( )hy ttCetrrrretCtCtC)(0011)sincos(21tCtCet121122000cos()cos().cos()RtRtRRRRtAtetAtetA t et其

4、中 、 和 iCiAi等为待定系数。2、特解的求法特解的形式主要取决于激励信号，见表3.1-2第3章 LTI连续时间系统的时域分析表3.1-2不同激励所对应的特解形式(教材P50)激励 备注B（常数）AA（待定常数） 不等于特征根 等于特征单根 R重特征根 所有特征根均不等于零 R重等于零的特征根( )x ttetp e10ttp tep e1110RtRtttRRp t eptep tep emt1110mmmmp tptp tp1110()Rmmmmtp tptp tpcost或sintcossinptqt所有特征根均不等于j( )pyt特解 经典方法求解LTI连续系统的n 阶常系数线性微

5、分方程的齐次解和特解步骤如下：1、根据 n阶常系数线性微分方程的齐次方程，求解齐次方程的特征根，并得出齐次解 的形式。2、根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解 的形式。3、将特解的形式代入 n阶常系数线性微分方程，通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数。4、将系统的初始状态代入方程的全解，从而求出齐次解的系数。则系统的响应就是方程的全解，即 。第3章 LTI连续时间系统的时域分析)(tyh)(typ)()()(tytytyph齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特征，而与激励信号的函数形式无关，因此，在系统分析中齐次解常称为系统的自由响应 (natural responses) 或

6、固有响应(inherent response)，固有响应的频率称为系统的固有频率(inherent frequency),所以，固有频率就是方程的特征根。特解的形式与系统有关，但主要取决于激励信号，常称之为强迫响应(imposed response)。第3章 LTI连续时间系统的时域分析例3.1-1：写出如图3.1-1RLC电路关于 和的微分方程。第3章 LTI连续时间系统的时域分析 tus tu解: 根据基尔霍夫电压定律和电流定律，先建立方程 )3(0)2() 1 (21121udtdiLuuudtdiLRiiiicscc对上面第二、第三两式求导，考虑到：第3章 LTI连续时间系统的时域分析

7、ciicidtducc21可得：dtduciidtidLdtdiRs212121022221dtdudtidLcii根据上二式，整理可得： tutudttdudttuddttuds21)(222233第3章 LTI连续时间系统的时域分析例3.1-2：一个连续系统的方程描述如下：系统初始状态为 ，求系统的固有响应和强迫响应。 2 22)(2)(3)(tttytyty1)0(, 1)0(yy解: 根据微分方程的齐次方程0232求出解齐次方程的特征根为2, 121故系统的固有频率为2, 121由此可得出齐次解的形式为： 212( )() ( )tthy tc ec eu t第3章 LTI连续时间系统

8、的时域分析由激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。2210( )pytp tptp代入微分方程2 22)(2)(3)(tttytyty通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数。得, 2, 112PP20P微分方程的特解为 2( )22pyttt则方程的全解2212( )() ( )22tty tc ec eu ttt第3章 LTI连续时间系统的时域分析将系统的初始状态 代入方程的全解得：1)0(, 1)0(yy121,2cc 则系统的响应就是方程的全解，即22( )(2) ( )22tty teeu ttt其中，齐次解常称为系统的自由响应，特解的形式主要取决于激励信号，常称之为强

9、迫响应。第3章 LTI连续时间系统的时域分析3.2 零输入响应与零状态响应根据线性系统的线性性质，一个线性时不变连续系统的完全响应也可分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应，用 表示；零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号 所引起的响应，用 表示。这样，LTI系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即( )xy t tf( )fyt xfy tytyt第3章 LTI连续时间系统的时域分析零输入、零状态响应方法求解LTI连续系统的 n阶常系数线性微分方程的具体步骤如下：1、 根据n阶常系数线性微分方程的齐次方程，求解齐次方程的特征根，当齐次方

10、程的特征根为单根时，零输入响应的形式 ，并将系统的初始状态代入齐次方程的解，从而求出零输入响应（齐次解）的系数。itniixxeCty1)()(tu2、根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。第3章 LTI连续时间系统的时域分析3、将特解的形式代入n阶常系数线性微分方程，通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数。4、将系统的零初始状态代入方程的零状态响应解从而求出零状态响应中齐次解部分的系数。则系统的响应就是方程的全解，即)()()(1tytueCtyPitniiff)()()(tytytyxf第3章 LTI连续时间系统的时域分析系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可分为

11、零输入响应和零状态响应，它们的关系是：)()()(1tytueCtyPitniiitniixeC1)()(1tytueCPitniif自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应第3章 LTI连续时间系统的时域分析 两种分解方式有明显的区别。虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但二者的系数各不相同， 仅由系统的初始状态所决定，而Ci要由系统的初始状态和激励信号共同来确定。在初始状态为零时，零输入响应等于零，但在激励信号的作用下，自由响应并不为零。也就是说，自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。xiC第3章 LTI连续时间系统的时域分析例3.2-1：一个连续系统的方程描述如下：系统初始

12、状态为 ，求系统的零输入响应和零状态响应。 2 22)(2)(3)(tttytyty1)0(, 1)0(yy解: 根据微分方程的齐次方程0232求出解齐次方程的特征根为2, 121由此可得出零输入响应的形式为： )(tyxtxec1txec220t第3章 LTI连续时间系统的时域分析将初始值代入，得：1)0(21xxxCCy12)0( 21xxxCCy解得零输入响应的系数为2, 321xxcc零输入响应的形式为)(tyxte3te220t特解的形式0122)(ptptptyp代入微分方程，通过平衡方程两边的系数，从而求出特解的系数：, 2, 112PP20P第3章 LTI连续时间系统的时域分析

13、 零状态响应解的形式为：)(tyftfec1()()22tuectf222tt 将系统的零初始状态 代入零状态响应解得：0)0(, 0)0(yy0, 221ffcc则系统的零状态响应解为:)(tyf)(2tuet222tt系统的全响应解为：22)()2()(22tttueetytt第3章 LTI连续时间系统的时域分析例3.2-2已知某LTI系统 的响应是（1）求系统零输入响应和零状态响应；（2）)()()(tftyty)()35()(2tueetytt若 ，求系统 的零输入响应； )()()(tftyty10)0(y（3）求 的零状态响应；) 2() () (tftyty（4）求 的零状态响应

14、。)(2)()()(tftftyty第3章 LTI连续时间系统的时域分析解：（1）由齐次方程 得齐次方程的特征根为故可得系统的零输入响应为零状态响应为011( )5( )txy te u t2( )3( )tfyteu t（2）0)()(tytyxx)()(tuCetytx(0)10y又10C 则可得此时系统零输入响应( )10( )txy te u t第3章 LTI连续时间系统的时域分析（3）由（1）得输入f(t)时系统的零状态响应为:2( )3( )tfyteu t故输入f(t-2)时系统的零状态响应为:2(2)( )3(2)tfyteu t（4）由（1）得输入f(t)时系统的零状态响应为

15、:)(3)(2tuetytf输入 时系统的零状态响应为:)(tf 223( )6( )3 ( )ttdeu teu ttdt 第3章 LTI连续时间系统的时域分析故输入时系统的零状态响应为:22( ) 6( )3 ( )23( )3 ( )ttfyteu tteu tt 第3章 LTI连续时间系统的时域分析3.3 卷积积分和冲激响应3.3.1单位冲激响应和单位阶跃响应1.定义： LTI连续系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激函数 时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。即：)(t( )0, ( )h tTtLTI)(th)(t0t) 1 ()(t零状态)(th2

16、、h(t)的求解方法第3章 LTI连续时间系统的时域分析由于冲激响应h(t) 是 时系统的零状态响应，所以微分方程可改写为: 从方程可以看出，等式右边不仅含有冲激函数项，还有其高阶导数项。冲激响应h(t) 具有以下特点：( )( )f tt1010d( )d ( )d( )d ( )( )( )ddddnmnmnmh th tttaaa h tbbbtttttLL(1) 由于t0时， 及其各阶导数均为零，此时等式右边恒等于零，这时冲激响应与微分方程的零输入响应有相同的形式；( ) t第3章 LTI连续时间系统的时域分析(2) 冲激响应h(t)的函数形式与 的值的相对大小有直接的关系，即 包含的

17、奇异函数项必须与等式右边的各奇异项相平衡。n，m( )h t因此，在假定特征方程的特征根 均为单根的情况下，则:当 时，inmnm时，h(t)必须含有 的项；( ) t当n4 区间，0)()(21tftf综上所述， 的结果如下：)()(21tftf), 4(04 , 2)4(212 , 010 , 2)2(21)2,(0)()(21tttftf第3章 连续时间系统的时域分析2、当用定义式计算卷积积分时，正确地选取积分的下限和上限是关键的步骤。可分以下几种情况考虑：)(2tf（1）若 ， 为无时限信号，卷积的结果仍是无时限信号，则上、下限可写为：, )(1tf1212( )( )( )( )()

18、y tf tf tff td0t1212( )( )( )( )()y tf tf tff td0t第3章 连续时间系统的时域分析（2）若 为无时限信号， 为因信号，卷积的结果仍是无时限信号，则上、下限可写为)(1tf)(2tf1212( )( )( )( )()ty tf tf tff td0t1212( )( )( )( )()ty tf tf tff td0t（3）若 ， 均为因果信号，则上、下限可写为)(1tf)(2tf12( )( )( )0y tf tf t0t12120( )( )( )( )()ty tf tf tff td0t第3章 连续时间系统的时域分析（4）若 为因果信号

19、， 为反因果信号，则上、下限可写为)(1tf)(2tf1212( )( )( )( )()ty tf tf tff td0t具体情况还要具体分析。12120( )( )( )( )()0y tf tf tff tdt例3.3-3 计算下列信号的卷积积分。（1）（2）（3）第3章 连续时间系统的时域分析tetf21)()()(2tuetft)()(21tuetft)()(2tuetft)()(21tuetft)()(2tuetft解 ： (1)（2）2()3122( )( )( )13ttttty tf tf te edee de2()12002( )( )( )( )() ( )tttttty

20、 tf tf teede u te deeu t（3）第3章 连续时间系统的时域分析2()120332( )( )( )()()()( )11()( )33tttttty tf tf te ueu tde ute de u te de ute u t第3章 连续时间系统的时域分析三、 卷积的性质 1、交换律 卷积积分满足交换律，即 上式说明两信号的卷积积分与次序无关。 2、分配律 卷积积分满足分配律，即 1221( )( )( )( )f tf tf tf t1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t3、结合律卷积积分满足结合律，即 1

21、23123( ) ( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf t4、微分特性 两个函数卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的卷积，即 证明： 同理可以证明 211212df ( )df ( )d( )( )( )( )dddttf tf tf tf tttt1212(1)221112dd( )( )( )()ddddf ()df ( )( )d( )( )( )ddf tf tff tttttff tf tfttt(1)112212df ( )d( )( )( )( )( )ddtf tftftftfttt第3章 连续时间系统的时域分析5、积分特性 两个函数卷积后

22、的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的卷积，即 证明：同理可以证明 121212( )( )d( )d( )( )( )dtttffff tf tf121212( 1)1212( )( )d( ) ()dd( )()dd( )( )d( )( )ttttfffffff tff tft ( 1)121212( )( )d( )d( )( )( )ttffff tftf t第3章 连续时间系统的时域分析6、卷积的微积分 ()( )()()( )121212( )( )( )( )( )( )ijijjif tf tftftftft四、与奇异信号的卷积 1、与冲激函数的卷积 函数 与单位冲激函数

23、 卷积的结果仍然是函数 本身，即 。 证明： (3-67) 这个性质在信号与系统课程中有着很重要的用途，并且可以进一步扩展。 (1) 延时特性( )f t( )t( )f t( )( )( )f ttf t( )( )( ) ()d( ) ()d( )f ttftf ttf t 000( )()( ) ()d()f tt tft tf t t 第3章 连续时间系统的时域分析 也可以利用以上的微分性质，可以得出：（2）微分特性00( )()()f tttf tt( )( )( )f ttf t00( )()()f tttf tt()()( )( )( )mmf ttft( )( )00( )()

24、()mmf tttftt第3章 连续时间系统的时域分析2、与阶跃函数的卷积 函数 与阶跃函数 卷积的结果是相当于对函数 进行积分，即 。 证明：利用卷积的积分性质有 还有 所以 其实它对应着卷积积分中的积分特性。 ( )f t( )u t( )f t( 1)( )( )( )f tu tft( 1)( 1)( )( )( )( )( )( )f ttf ttf tu t( 1)( 1)( 1)( )( )( )( )( )f ttfttftt( 1)( )( )( )( )df tu tftf第3章 连续时间系统的时域分析五、卷积的性质在求解卷积运算中的应用例3.3-4 求 的解。解：2e(

25、)( )tu tu t( 1)2222220e( )( )e( )e( )de1eed( )( )( )022tttttu tu tu tutu tu tu t例3.3-5 求解图3.1中 ， 函数卷积 的结果。 ( )f t( )g t( )( )f tg t图3.1 例3.3-5图第3章 连续时间系统的时域分析解：由于 ， ( )( )(1)f tu tu t( )2 ( )g tu t( )( )f tg t(-1)(1)( )( )ftgt( 1)( )( )(1) (1)fttu ttu t(1)( )2 ( )gtt( 1)(1)( )( ) ( )(1) (1) 2 ( )ftg

26、ttu ttu tt结果的图形如图3.1(c)所示。2( )2(1) (1)tu ttu t第3章 连续时间系统的时域分析六、六、 系统的卷积分析法系统的卷积分析法 ( )( )( )fytf th t略证：任一连续信号 可以分解成一系列矩形脉冲之和，把激励分解为许多高度为 ，宽度为 的窄脉冲之和。在 的极限情况下，此时可写为： tf()f n()(1)u tnu tn 1nu tnu tnf tf n 0nd , ( )* ( )f tftdf tt 第3章 连续时间系统的时域分析考虑任意激励信号 ，若LTI系统在窄脉冲作用下的零状态响应为 ，则根据线性非时变系统的零状态线性性质和平移不变性

27、，在以上一系列窄脉冲作用下，系统的零状态响应近似为第3章 连续时间系统的时域分析)(tf()nh tn ()fnnytf nh tn 在 的极限情况下，则有：0nd , ( )* ( )fytfh tdf th t3.3.3 冲激响应表示的系统特性 由于冲激响应 直接描述了系统的特性，因此对于各类系统及相互组合的系统，完全可以对各个子冲激响应进行研究后，得出总的冲激响应 。一、级联系统的冲激响应 几个系统相互级联，如图3.18所示。假定第一级的冲激响应为 第二级的冲激响应为 ，总的冲激响应为 。( )h t( )h t1( )h t2( )h t( )h t图图3.2 级联系统的冲激响应模型级

28、联系统的冲激响应模型第3章 连续时间系统的时域分析 从图3.2可以得到以下的结论： 121211( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )y tx th ty tx th th tx tx th t1( )( )Niih th t 式中的( )ih t表示各子系统的冲激响应，共有N级级联。12( )( )( ) ( )( )h ty tx th th t14444 424444 4 3 由此得出，对于级联系统，系统总的冲激响应为各自冲激响应的卷积积分，即第3章 连续时间系统的时域分析 几个系统相互并联，如图3.3所示。假定第一个的冲激响应为 ，第二个的冲激响应为 ，总的冲激响

29、应为 。1( )h t2( )h t( )h t图图3.3 并联系统的冲激响应模型并联系统的冲激响应模型二、并联系统的冲激响应由图3.3可以得到以下的结论：12111222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )y tx tx tx tx th ty tx th tx th tx tx th t第3章 连续时间系统的时域分析 由此得出，对于并联系统，系统总的冲激响应为各自冲激响应的和，即1( )( )Niih th t( )ih t12( )( )( ) ( )( )h ty tx th th t14444 424444 4 3 式中的 表示各子系统的冲激响应，共有N级并联。